二項分布二項分布/possion二項分一、二項分布的概念與特（一）成敗型實驗（Bernoulli實驗在醫學衛生領域的許多實驗或觀察中，人們感興趣的是某事件是否發生。如用白鼠做某藥物的毒性實驗，關心的是白鼠是否死亡；某種新療法臨床實驗觀察患者是否治愈；觀察某指標的化驗結果是否呈陽性等。將我們關心的事件A出現稱為成功，不出現稱為失敗，這類試驗就稱為成-敗型實驗。指定性資料中的二項分類實驗成-敗型（Bernoulli）實驗序列滿足以下三個條件的n次實驗構成的序列稱為成-敗型實驗序列。1）每次實驗結果，只能是兩個互斥的結果之一（A或非A）。相同的實驗條件下，每次實驗中事件A的發生具有相同的概率π。（非A的概率為1-π）。實際工作中要求π是從大量觀察中獲得的較穩定的數值各次實驗獨立。各次的實驗結果互不影響（二）二項分布的概率函二項分布是指在只能產生兩種可能結果（如“陽性”或“陰性”）之一的n次獨立重復實驗中，當每次試驗的“陽性”概率保持不變時，出現“陽性”的次數X=0,1,2,…,n的一種概率分布。若從陽性率為π的總體中隨機抽取大小為n的樣本，則出現“陽性”數為X的概率分布即呈現二項分布，記作B(X;n,π)或B(n,π)舉例設實驗白鼠共3只，要求它們同種屬、同 互不相容事件的加法定

獨立事件的乘法定構成成-敗型實驗序列的n次實驗中，事件A出現的次數X的概率分布為：PX

CX

nn其中X=0，1，2…，nnn，π是二項分布對于任何二項分布，總P40PP(mmmfffffff)3(1)np(x)Cxx(1)nx,x0,1,2,,nnp(x)Cxx(1)nx,x0,1,2,,n[[(1)]nC00(1)nC11(1)n1Cxx(1)nxCnn(1)0nnnnp(0)p(1)p(2)p(x)p(x)n

(1)

p(x)[(1)]nnp(0)p(0)0!(101)! (1)0(1)10210 (1)(1)910(210)p(2)p(2) (1)2(1)845(210)p(3) (1)3(1)7120(210)抽到3只和3只以下雄性動物的概率FF(3)P(0)P(1)P(2)21010(210)45(210)120(210176(210n011 2 554(1)例4-2臨床上用針灸治療某型頭疼，有效的概率為現以該療法治療3例，其中2例有效的概率是多大分析：治療結果為有效和無效兩類，每個患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為0.6，符合二項分布的條件。2例有效的概率是一例以上有效的概或（三）二項分布的特1.取決于n，π。可以看出，當π=0.5時分布對稱，近似對稱分布。當π≠0.5時，分布呈偏態，特別是n較小時，π偏離0.5越遠，分布的對稱性越差，但只要不接近1和0時，隨著n（三）二項分布的特1.1-π不太小，而n處理二項分布的問題2.二項試驗出現“陽性”結果的概率均為π，2.二項獨立重復實驗中，出現陽性次

方差

2

n1n1例實驗白鼠3只，白鼠用藥后死亡的=3×0.6=1.8（只 如果以率表示，將陽性結果 ，則P的總體均

p總體標準差

np 例4-4如果某地鉤蟲感染率為6.7%,隨機觀察150人,樣本鉤蟲感染率為p,求p的抽樣誤 二、二項分布（一）二、二項分布例4-5如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當(二)單側累計概率計二項分布出現陽性次數至少為KPX

K

nnxk

PX

nnxk

X!n

X1!

n陽性次數至多為K次的kk kk

X

nP Px0

x0

X!nX 例4-6 如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當地150人，其中至多有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有2人感染鉤蟲的概率有多大?至少有20人感染鉤蟲的概率有多大?至多有2名感染的概率為至少有2名感染的概率為至少有20名感染的概率為Poisson分布的概一、PoissonPoisson分布的概Poisson分布也是一種離散型分布，用以描述罕見事件發生次數的概率分布。Poisson分布也可用于研究單位時間內(或單位空間、容積內)某罕見事件發生次數的分布，如分析在單位面積或容積內細菌數的分布，在單位空間中某種昆蟲或野生動物數的分布，粉塵在觀察容積內的分布，放射性物質在單位時間內放射出質點數的分布等。Poisson分布一般記作 。Poisson分布作為二項分布的一種極限情Poisson分布可以看作是發生的概率π很小，而觀察例數很大時的二項分布。除要符合二項分布的三個基本條件外，Poisson分布還要求π或1-π接近于0和1有些情況π和n都難以確定，只能以觀察單位(時間、空間、容積、面積)內某種稀有事件的發生數X等來表示，如每毫升水中大腸桿菌數，每個觀察單位中粉塵的記數，單位時間內放射性質點數等，只要細菌、粉塵、放射性脈沖在觀察時間內滿足以上條件，就可以近似看為Poisson分布。二、Poisson分布的特PoissonP(X

eX式中為Poisson分布的總體均數，X為觀察單位時間內某稀有事件的發生次數；e為自然對數的底，為常數，約等于2.71828。如某地20年間共出生短肢畸形兒10名，平均每年0.5名。就可用代入Poisson分布的概率函數來估計該地每年出生此類短肢畸形兒的人數為0，1，2…的概率P(X)。Poisson分布的特性Poisson分布的的總體均數與總體方差相等，均為。均數之和 為X1，再獨立地從總體均數為的Poisson布總體中隨機抽出另一份樣本，其中稀有事件的發生次數為X2，則他們的合計發生數T=X1+X2也服從Poisson分布，總體均數為。Poisson分布的這些性質還可以推Poisson分布的情形。例如，從同一水源獨立地取水樣5次，進行細菌培養，每次水樣中的菌落數分別為，均服從Poisson分布，分別記為，把5份水樣混合，其合計菌數也服從Poisson分布，記為 其均數為。醫學研究中常利用Poisson分布的可加性小的觀察單位合并以增大發生次數X，以便用正態近似法進行統計推斷。二、Poisson（一）概率估例4-7 如果某地新生兒先天性心臟病的發病概率為80/00，那么該地120名新生兒中有4人患先天性心臟病的概率有多大?(二)單側累計Poisson分布出現陽性次數至多為次的概率PX

K

kx0k

PX

kx0k

eX陽性次數至少為K次的

K

1

k例4-8如果某地新生兒先天性心臟病的發病概至多有4人患先天性心臟病的概率至少有5人患先天性心臟病的概例4-9實驗顯示某100cm2培養皿平均菌落數為6個，該培養皿菌落數小于3該培養皿菌落數大于1三、二項分布、Poisson分布的當nπ或n（1-π）都大于5時，二項分布B(X;n,π)二項分布累積概率的正態近似k n

k0.5nPX

K

Cnx0

pxq nn1 n

k0.5nPX

K

Cnxk

pxq

1 n1n1

0.5n 0.5nPk1

K2

為標準正態分布的分布函例4- 如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機觀察當150人,其中至少有20人感染鉤蟲的概率有多大nn(1-π)=150×(1-至少有20人感染鉤蟲的概率為50%PoissonPoisson分布，當總體均數小于5時，越小，分布越呈偏態，隨著的增大，分布逐漸趨向于對稱。理論上可以證明，隨著Poisson分布也漸近為正態分布。當時，Poisson分布累積概率的正態近似公PX

K

k0.5 PX

K

PXK