基于廣義誤差分布擴展標準的多分形模型參數估計和波動率預測

1資產收益模型自20世紀90年代以來，中國的股市快速發展，規模不斷擴大。但是,作為新興市場,我國股市存在自由化程度較低、市場結構不夠健全、市場投機性較強等不足。另外,正如爆發于2007年的全球金融危機表現出來的那樣,隨著金融全球化進程的推進,國外的各種政策變化和信息沖擊對我國市場的影響力正在逐步增強。國內外因素共同加劇了我國金融市場的波動性。這迫切要求我們不斷提高波動率預測能力,以更好地管理金融風險。綜觀波動率建模與預測的文獻資料,標準GARCH模型能夠刻畫波動集聚性、時變性,在短期波動率預測中一般具有最好的表現,是目前最為常用的波動預測模型。但是,考慮更多資產收益典型事實(如長記憶性、區制轉換等)的模型往往能夠提高樣本外預測能力。其中,多分形(multifractality)指數據的不同階矩的標度行為的變異性,或者說是不同階矩存在不同程度的長程相依(long-termdependence),近年來已經得到經濟物理學家的廣泛認可,可以說是資產收益的另一個典型事實。特別地,Mandelbrot等提出的資產收益多分形模型(multifractalmodelofassetreturns,MMAR)被認為是迄今為止最全面地刻畫資產價格波動特征的模型。進一步地,Calvet和Fisher提出馬爾可夫轉換多分形模型(Markov-switchingmultifractalmodelofassetreturns,MSM),克服了MMAR的非平穩性,同時保留了MMAR的優良特性,是另一種波動建模的良好選擇,如Idier利用MSM模型研究巴黎、法蘭克福、倫敦和紐約四個市場的聯動性,發現了MSM在解釋資產價格共同變化與聯系、經濟周期判斷、波動的長記憶性等方面具有重要作用。Chuang等在標普500指數波動率預測比較研究中發現,MSM模型相對歷史波動率、隱含波動率和GARCH模型具有更強的波動率預測能力。Lux等通過基于不同數據生成過程的蒙特卡洛模擬研究驗證了MSM模型相對較強的波動預測能力。盡管已經有少量研究通過實證研究證實了MSM的優勢及其在資產定價、金融風險管理領域的應用前景,但相關的實證研究還很少,且集中針對發達金融市場的股票、匯率等數據集,缺乏來自新興市場的經驗證據。另一方面,標準MSM模型假定殘差序列服從正態分布,這與金融資產收益序列普遍存在的尖峰厚尾現實不符。為了考慮收益率分布的厚尾特征,Lux和Morales-Arias將學生t分布引入MSM模型,實證結果表明MSM-t模型在總體上預測能力優于MSM、(FI)GARCH模型,且MSM和(FI)GARCH模型的聯合預測能力高于任意單個模型。可見,更貼近資產收益分布實際的厚尾分布殘差假定有助于改進MSM模型的波動預測能力。目前MSM模型的殘差分布也僅限于正態分布和學生t分布。廣義誤差分布(generalizederrordistribution,GED)的自由度參數范圍比學生t分布更大,能夠更加靈活地描述收益率分布的尾部特征。借鑒GARCH模型的殘差設定方案,在理論上,將GED引入MSM模型不僅能降低不恰當殘差假定導致的模型設定誤差,而且有助于探討波動率長記憶性與收益分布厚尾特征的動態關系。因此,有必要利用GED擴展標準MSM模型。與已有研究相比,本文的主要工作是:第一,首次利用GED擴展標準MSM模型,并探討相應的參數估計和波動預測問題;第二,應用MSM模型預測中國股市波動率,通過與GARCH、FIGARCH模型的比較,驗證MSM模型在中國股市波動率預測中的適用性,為多分形波動建模提供來自新興市場的經驗證據。2基于ged的擴展標準msm模型假設瞬時波動率Mt由k個波動乘子(volatilitycomponents)組成,Mt=(M1,t;M2,t;…;Mk,t)∈,Mt的波動乘子Mi,t為獨立同分布的隨機變量,Mi,t的分布函數為M,要求滿足M≥0,E(M)=1。Mi,t對應的轉換概率γi,不同且獨立。假設t-1時刻的波動率Mt-1已知,則在t時刻,Mt的波動乘子Mi,t以概率γi轉換,并從M分布中取值;Mi,t以概率1-γi保持t-1時刻的取值Mi,t-1不變。與之對應的波動狀態向量為Mt={(m1,…,md}∈(d=2k)。收益率和波動率的表達式分別為:其中,σ表示無條件波動率,μt為收益率殘差,標準模型假定μt～N(0,1)。在Mt條件下,rt-E(rt)～N(0,)。下面利用GED擴展標準MSM模型。GED也稱為廣義正態分布,密度函數為:其中表伽馬函數。Calvet和Fisher假設M服從二項分布,且Mi,t以相同概率分別取值m0和m1。由M的限制條件有:m0值反映了序列的不同波動狀態,m0越大,MSM模型可以刻畫的異常值越多,序列的長記憶和多分形特征越明顯。當m0=1時,波動率為常數,此時序列不具有長記憶和多分形特征。收益率殘差服從標準學生t分布或標準GED分布時,MSM的模型參數向量為其中,m0為波動乘子的分布參數,σ為無條件波動率,b和γk為波動乘子的轉換概率參數,v表示自由度,也稱形狀參數。從參數化程度看,MSM模型與GARCH模型一樣簡單,但通過波動乘子的狀態轉換卻能產生更為靈活多樣的波動特征,以增強對真實波動率的擬合程度。另外,收益率分布與殘差分布假定和波動過程密切相關。與GARCH族模型不同,MSM模型的殘差分布假定與波動過程會相互影響,這種交互作用最終共同決定了收益率分布。利用極大似然法估計MSM模型參數,在GED殘差分布假定下,對數似然函數為:其中,rt代表第t天的收益率,ω(rt)=(g[rt;σ2(m1),],…,g[rt;σ2(md)])代表rt在不同波動狀態下的概率密度組成的向量,A指狀態轉移矩陣,其元素為aij=P(Mt+1=mj|Mt=mi)i,j=1,…d,Πt為條件概率矩陣,它可以通過ω(rt-1)和A計算。獲得參數估計值以后,波動率預測通過貝葉斯方法實現,即首先利用參數估計值預測波動狀態空間{m1,…,md],那么,給定Πt的條件下,未來波動狀態的概率分布為:最后結合波動狀態空間和波動狀態概率分布,預測未來波動率:3確認研究3.1描述性統計分析樣本數據為上證綜指2006年1月2日至2013年3月29日的每日收盤價,共計1758個交易日。日收益率通過相鄰兩個交易日的對數收盤價之差計算,共1757個收益率數據,其中前1045個樣本數據用于模型樣本內估計,后712個樣本數據用于模型預測。數據來源于同花順炒股軟件。由表1所示的描述性統計結果及相關檢驗結果可以發現:上證綜指日收益率序列不服從正態分布,存在明顯的尖峰厚尾特征;序列平穩,存在ARCH效應,可以采用GARCH類模型進行波動率建模;Sattarhoff提出的多分形檢驗統計量M在99%置信水平下拒絕原假設,表明收益率序列存在顯著的多分形性,有必要在波動率建模中考慮多分形特性。3.2fiearch模型簡單模型往往展現出良好的波動預測能力,而長記憶性是多分形特性的一種最常見表現形式。因此,后文考慮標準GARCH和考慮長記憶性的FI-GARCH模型作為對比模型。由于FIGARCH模型存在對系數的限制,過多滯后項會增加參數估計誤差,因而選擇FIGARCH(1,d,1)模型。限于篇幅,GARCH模型和FIGARCH模型的參數估計結果不在文中列示,有需要可向作者索取。表2列示了不同殘差分布假定下的MSM模型參數估計結果。MSM、MSM-t和MSM-GED的分布參數m0均顯著不等于1,說明收益率序列存在長記憶性和多分形性。MSM-GED自由度顯著小于2,說明表明收益率殘差序列具有比正態分布更厚的尾部特征。值得注意的是,殘差分布假定對MSM模型的參數估計具有顯著影響:對于分布參數m0,MSM-t和MSM-GED的m0值比MSM模型小,這說明在學生t分布和GED假定下,為獲得更好的擬合效果,必須在表征尾部厚度的自由度參數v和刻畫分形特征的分布參數m0之間權衡;厚尾殘差分布假定會影響MSM模型的分形參數,進而影響其波動預測能力。3.3殘差假定對模型預測的影響為評價不同模型的波動預測能力,采用滾動窗口法進行動態預測,即設定時間窗口H=1045,利用t至t+1044(t=1,…712)估計模型參數,基于參數估計值分別進行向前1天、5天、10天和22天的波動率預測。以日內收益平方作為市場真實波動率的代理變量,采用常見預測誤差指標,如MAE、RMSE、QLIKE、R2LOG、HMAE和HMSE等綜合評價波動率預測精度,結果如表3、表4所示。HMAE和HMSE給出的結果與表4類似,這里不列出。首先進行同一模型在不同殘差假定和不同預測期的預測誤差分析。對于GARCH模型,當預測期相同時,改變殘差假定對波動率預測能力基本沒有影響;在相同的殘差假定下,隨著預測期延長,其預測誤差隨之增加,預測能力下降。FIGARCH模型的情形與之類似。對于MSM模型,在相同的殘差假定下,隨著預測期的延長,預測誤差也會隨之變大,這與GARCH和FIGARCH模型相似;當預測期相同時,根據QLIKE和R2LOG的結果,采用厚尾分布殘差假定可以在一定程度上降低波動率預測誤差,提高預測能力,其中尾部參數靈活度更高的GED表現最好。這與殘差分布假定的作用機理有關,MSM模型的不僅可以通過參數估計值影響波動預測結果,還可以通過未來波動狀態的概率分布實現影響,而(FI)GARCH模型殘差假定只會影響模型參數估計,對樣本內的擬合效果影響更顯著,對樣本外預測的影響不明顯。因此,MSM模型在波動預測中可以更加充分地利用殘差分布假定新息,從而獲得更接近真實波動率的預測值,具有更強的波動率預測能力,尤其是尾部信息更豐富的MSM-GED模型。其次進行不同模型的橫向比較。在相同殘差分布假定下,根據MAE和RMSE,三個模型的短期(向前1天)預測能力無差異,但QLIKE和R2LOG顯示MSM模型具有更強的短期預測能力。在中長期(向前一周、兩周、一個月)波動預測中,無論在何種殘差分布假定下,所有預測誤差均表明MSM模型能夠提供更精確的波動率預測。綜合三種殘差分布和三個波動模型組成的9種情形來看,在向前一天的短期預測中,MAE和RMSE顯示所有模型的預測效果無差異,其他誤差指標說明MSM-GED模型的預測效果最優。在中長期預測中,除了MAE和RMSE指示的極少數情形外,所有誤差指標均說明MSM-GED模型具有最好的波動率預測效果。4多分形性模型分析本文在MSM模型中引入GED殘差分布假定,并利用極大似然法估計模型參數,通過貝葉斯更新預測波動率。以上證綜指日收益率為樣本數據的實證研究表明,中國股市確