熱點典例中考熱點加餐：圓的綜合問題熱點訓練第三章

圓課前小測課前小測知識小測1．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接BC、BD、AC，下列結論中不一定正確的是（）A．∠ACB=90° B．OE=BE C．BD=BC D．△BDE∽△CAE

B課前小測2．如圖，⊙O的直徑AB與弦CD（不是直徑）交于點E，且CE=DE，∠A=30°，OC=4，那么CD的長為（）A． B．4 C． D．83．（2015秋?越秀區期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若AB=OA=OB，則∠C等于（）A．30° B．40° C．60° D．80°

CA課前小測4．（永安市質檢）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交AC于D點，則陰影部分面積為__________．（結果保留π）

5．（2016?曲靖一模）如圖，AB是半圓的直徑，點C在半圓周上，連接AC，∠BAC=30°，點P在線段OB上運動．則∠ACP的度數可以是

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2﹣60°課前小測6．（黃岡）如圖，在△ABC中，AB=AC=，BC=2，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC兩邊于點D、E，則△CDE的面積為

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熱點典例知識點1圓的綜合題例1（深圳）如圖1，已知在⊙O中，點C為劣弧AB上的中點，連接AC并延長至D，使CD=CA，連接DB并延長DB交⊙O于點E，連接AE.（1）求證：AE是⊙O的直徑；（2）如圖2，連接EC，⊙O半徑為5，AC的長為4，求陰影部分的面積之和.（結果保留π與根號）熱點典例【分析】（1）連接CB，AB，CE，由點C為劣弧AB上的中點，可得出CB=CA，再根據CD=CA，得△ABD為直角三角形，可得出∠ABE為直角，根據90度的圓周角所對的弦為直徑，從而證出AE是⊙O的直徑；（2）由（1）得△ACE為直角三角形，根據勾股定理得出CE的長，陰影部分的面積等于半圓面積減去三角形ACE的面積.熱點典例（1）證明：連接CB，AB，CE，∵點C為劣弧AB上的中點，∴CB=CA，又∵CD=CA，∴AC=CD=BC，∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，∵Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半，∴∠ABD=90°，∴∠ABE=90°，即弧AE的度數是180°，∴AE是⊙O的直徑；（2）解：∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∵AE=10，AC=4，∴根據勾股定理得：CE=2，∴S陰影=S半圓﹣S△ACE=12.5π﹣×4×2=12.5π﹣4.熱點典例類比精煉1.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一點，以點O為圓心，OB長為半徑作圓，恰好經過點A，并與BC交于點D.（1）判斷直線CA與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若AB=2，求圖中陰影部分的面積（結果保留π）.熱點典例（2）∵AB=2，AB=AC，∴AC=2，∵OA⊥CA，∠C=30°，∴OA=AC?tan30°=2?=2.∴S扇形OAD==π.∴圖中陰影部分的面積等于S△AOC-S扇形OAD=2-π.解：（1）直線CA與⊙O相切.如圖，連接OA.∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°∠DOA=2∠B=60°.∴∠CAO=90°，即OA⊥CA.∵點A在⊙O上，∴直線CA與⊙O相切；熱點典例例2:如圖，在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別為（0，8）、（6，0），以AC為直徑作⊙O，交坐標軸于點B，點D是⊙O上一點，且弧BD=弧AD，過點D作DE⊥BC，垂足為E.（1）求證：CD平分∠ACE；（2）判斷直線ED與⊙O的位置關系，并說明理由；（3）求線段CE的長.熱點典例【分析】（1）根據四邊形ABCD是⊙O內接四邊形，可得∠DCE=∠BAD，根據弧BD=弧AD，可得∠BAD=∠ACD，等量代換得到∠DCE=∠ACD，從而求解；（2）直線ED與⊙O相切.連接OD.根據圓的性質和等邊對等角可得∠ODC=∠OCD，等量代換得到∠DCE=∠ODC，根據平行線的判定和性質得到∠ODE=∠DEC，再根據垂直的定義和性質可得OD⊥DE，根據切線的判定即可求解；

（3）延長DO交AB于點H.根據三角形中位線定理可得HO=BC=3，根據勾股定理可得OD，得到HD，再根據矩形的判定和性質得到BE=HD=8，從而得到CE的長.熱點典例解：（1）∵四邊形ABCD是⊙O內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，又∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，∵弧BD=弧AD，∴∠BAD=∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∴CD平分∠ACE.（2）直線ED與⊙O相切.連接OD.∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，又∵∠DCE=∠ACD，∴∠DCE=∠ODC，∵OD∥BE，∴∠ODE=∠DEC，又∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°∴OD⊥DE，∴ED與⊙O相切.熱點典例（3）延長DO交AB于點H.∵OD∥BE，O是AC的中點，∴H是AB的中點，∴HO是△ABC的中位線，∴HO=BC=3，又∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，又∵O是AC的中點∴OD=AC=×=5，∴HD=3+5=8，∵∠ABC=∠DEC=∠ODE=90°，∴四邊形BEDH是矩形，∴BE=HD=8，∴CE=8﹣6=2.熱點典例類比精煉2.已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD.（1）求證：∠DAC=∠DBA；（2）求證：P是線段AF的中點.熱點典例（1）證明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA；熱點典例（2）證明：∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，∴PD=PA，∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF，∴PA=PF，即P是線段AF的中點.熱點訓練3.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，CD⊥AB，若∠DAB=65°，則∠AOC等于（）A.25° B.30° C.50° D.65°C熱點訓練4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB上一點，⊙O與BC相切于點E，交AB于點F，連接AE，若AF=2BF，則∠CAE的度數是

.30°熱點訓練5.已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；（3）求圖中陰影部分的面積.證明：（1）連接DO.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠C=60°.∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形.∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°-∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF為⊙O的切線；

熱點訓練（2）∵△OAD是等邊三角形，∴AD=AO=AB=2.∴CD=AC﹣AD=2.Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1.∴DF=；（3）連接OE，由（2）同理可知CE=2.∴CF=1，∴EF=1.∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）?DF=，∴S扇形OED==，∴S陰影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣.6.如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在優弧

上.（1）求出A，B兩點的坐標；（2）試確定經過A、B且以點P為頂點的拋物線解析式；（3）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.熱點訓練解：（1）如圖，作CH⊥AB于點H，連接OA，OB，∵CH=1，半徑CB=2∴HB=，故A（1﹣

，0），B（1+，0）.熱點訓練（2）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3），設拋物線解析式y=a（x﹣1）2+3，把點B（1+，0）代入上式，解得a=﹣1；∴y