含參數擾動的多元化混沌系統的控制

自20世紀90年代以來，許多混合控制算法已被提出。但是,對含參數擾動的混沌系統進行控制的研究工作卻較少。實際上,由于系統本身存在熱噪聲及電子管內的散彈噪聲等內部噪聲,很多混沌系統的參數會由于這些內部噪聲的原因而在有界范圍內波動,因此,研究含參數擾動混沌系統的控制問題具有實用意義。基于這一原因,本文使用反步自適應控制方法對含參數擾動的Liu混沌系統的控制問題進行了研究。首先從理論上詳細介紹了反步設計法的原理,然后從理論上詳細分析了將反步設計法、Lyapunov穩定性定理及自適應控制技術三種理論相結合設計得到的控制技術,再將以上控制技術應用于含參數擾動的Liu混沌系統并從理論上設計出具體的控制器,再根據理論進行數值模擬并給出數值模擬結果。理論推導及數值模擬都發現,將以上三種理論相結合設計得到的控制器加在含參數擾動的Liu混沌系統的兩個不同方程中將得到兩種不同的控制器。1基于lyapunov控制的漸近穩定控制考慮如下單輸入單輸出非線性系統:{˙xi=xi+1+fi(x1,?,xi),i=1,?,n,˙xn=fn(x1,?,xn)+u,(1)式中,x∈Rn是系統的狀態,u∈R是輸入變量,fi(x1,…,xi)為系統的非線性部分。反步設計法是把每一個子系統中的xi+1看作虛擬控制,通過確定適當的虛擬反饋xi+1=φi(i=1,…,n-1),控制系統達到漸近穩定。通常,系統的解很難直接滿足xi+1=φi,我們希望能夠通過控制的作用,使xi+1與虛擬反饋φi之間具有漸近特性,從而漸近地實現整個系統的控制。首先,利用虛擬控制,引進n個誤差變量zi(i=1,…,n):{z1=x1,z2=x2-φ1(x1),?zn=xn-φn-1(x1,?,xn-1),(2)式中,φi(i=1,…,n-1)是虛擬反饋控制,待定。我們將對每一子系統構造一個Lyapunov函數,使該狀態分量具有適當的漸近特性。系統(2)為系統(1)的微分同胚,為了控制系統(1)達到漸近穩定,只要控制系統(2)達到漸近穩定即可。第1步:對z1求導得˙z1=x2+f1(x1)=-z1+x1+x2+f1(x1),(3)定義狀態1的Lyapunov函數為V1=(1/2)z21,并取φ1=-x1-f1(x1)??φ1(z1),可得{˙z1=-z1+z2,˙z2=x3+f2(x1,x2)-??φ1?z1˙z1?x3+~f2(z1,z2),˙V1=-z21+z1z2,(4)式(4)中,若z2=0(即?φ1=-x1-f1(x1)),則由式(4)可知:z1漸近穩定。然而,一般情況下z2≠0,為使z2=x2-?φ1(z1)具有期望的漸近特性,再引入虛擬控制φ2,并定義相應的Lyapunov函數。第2步:定義V2=z22/2+V1,取?φ2?-z1-z2+~f2(z1,z2),可得{˙z1=-z1+z2,˙z2=-z1-z2+z3,˙z3=x4+f3(x1,x2,x3)-2∑i=1??φ2?zizi?x4+~f3(z1,z2,z3),˙V2=-z21-z22+z2z3,(5)式(5)中,若z3=0(即?φ2=-z1-z2+~f2(z1,z2)),則由式(5)可知z1、z2漸近穩定。但一般情況下z3≠0,為使z3=x3-?φ3具有期望的漸近特性,再引入虛擬反饋φ3,如此下去,可得到一般情形下的虛擬控制以及Lyapunov函數。第i步:定義Lyapunov函數以及虛擬控制如下:{Vi=(z12+?+zi2)/2,φ?i?-zi-1-zi+fi~(z1,?,zi),(6)因此,得{z˙i=zi+1+φ?i(z1,?,zi)+fi~(z1,?,zi)=-zi-1-zi+zi+1,V˙i=-(z12+?+zi2)+zi[zi+1+φ?i(z1,?,zi)+fi~(z1,?,zi)]=-(z12+?+zi2)+zizi+1,推導得到,在第n-1步{z˙n-1=-zn-2-zn-1+zn-1zn,φ?n-1=-zn-2-zn-1+f~n-1(z1,?,zn-1),V˙n-1=-(z12+?+zn-12)+zn-1zn,同理可得,在最后一步{z˙n=fn(z1,?,zn)+u-∑i=1n-1?φ?n-1?ziz˙i=fn~(z1,?,zn)+u,V˙n=-(z12+?+zn-12)+zn-1zn+zn[fn~(z1,?,zn)+u],(7)選取反饋控制律為u=φ?n(z1,?,zn)=-zn-1-zn-fn~(z1,?,zn),(8)將式(8)代入式(7)得{z˙n=-zn-zn-1,V˙n=-(z12+?+zn-12+zn2),(9)由Lyapunov穩定性定理可知,誤差系統(9)是指數漸近穩定的。因此,原系統將在以上所述控制律作用下指數漸近穩定。2參數中斷系統的控制2.1lyapunov函數含參數擾動的Liu混沌系統的狀態方程:{x˙=a(y-x),y˙=bx-xz,z˙=4x2-cz+u1,(10)式中,a(t)∈[a,aˉ]、b(t)∈[b,bˉ]和c(t)∈[c,cˉ]為系統參數(這些系統參數因存在擾動而在一定范圍內波動),x,y,z是系統狀態變量,u1是控制輸入。假設a,b和c都是正常數,同時,在文中余下部分的研究中這個假設也成立。根據穩定性原理,確定合適的控制律u1,使系統(10)在某個有界點上漸近穩定。第一步:對x子系統,定義V1(x)=x2/2,取φ1(x)=0,則當y=α1(x)時,x子系統滿足V˙1(x)=-ax2+axy,φ1(x)=px,p<1。定義誤差變量w2為w2=y-φ1(x),(11)則(x,y)子系統可以表示為{x˙=a(w2+px-x),w˙2=-xz-paw2+[b+p(1-p)a]x,(12)進一步,把z看作是系統的虛擬控制輸入,并假定當z=φ2(x,w2)時,系統(12)漸近穩定。定義系統(12)的Lyapunov函數為V2(x,w2)=V1(x)+(1/2)w22,等式兩邊對時間求導:V˙2=-a(1-p)x2-paw22+[a+b+p(1-p)a-z]xw2,(13)令φ2(x,w2)=k,并且對任意ε1>0均有不等式2pq≤ε1p2+ε1-1q2成立,則式(13)可變為V˙2≤(ε1-pa)w22+{-a(1-p)+ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4}x2,(14)若V˙2<0,則系統(12)漸近穩定。顯然,只要w22及x2的系數小于零,即{ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4-a(1-p)<0,ε1-pa<0,(15)即可保證V˙2<0。由不等式(15)可求解出k的取值范圍:{aˉ+bˉ+p(1-p)aˉ-2aε1(1-p)<k<a+b+p(1-p)a+2aε1(1-p),0<ε1<pa,(16)令誤差變量w3為w3=z-φ2(x,w2),(17)則(x,y,z)系統可表示為{x˙=a(w2+px-x),w˙2=-x(w3+k)-paw2+[b+p(1-p)a]x,w˙3=-c(w3+k)+4x2+u1,(18)定義Lyapunov函數V3(x,w2,w3)=V2(x,w2)+(1/2)w32+(1/2h)(cˉ^-cˉ)2,cˉ^為自適應控制律,h>0。將V3對時間求導:V˙3=Μ+w3(-ck-xw2+4x2+u1)+(cˉ^-cˉ)cˉ^˙/h≤Μ+|kw3|cˉ+w3(-xw2+4x2+u1)+(cˉ^-cˉ)cˉ^˙/h,(19)其中M=[a+b+p(1-p)a-z]xw2-a(1-p)x2-paw22-cw32。我們引入如下自適應控制律來消除式(19)中的|kw3|cˉ項。引入自適應控制律cˉ^˙=h|kw3|,(20)令u1=xw2-4x2-w3k2cˉ^2|w3||k|cˉ^+r∥e∥2,(21)其中,0<r<-η,∥e∥=x2+w22+w32,η=max{ε1-pa,-c,θ1,θ2},θ1=ε1-1[aˉ+bˉ+p(1-p)aˉ-k]2/4-a(1-p),θ2=ε1-1[a+b+p(1-p)a-k]2/4-aˉ(1-p),可得V˙3≤Μ+r∥e∥2≤(η+r)∥e∥2,(22)由Lasalle-Yoshizawa定理,系統(18)在(0,0,0)點漸近穩定。由式(11)和式(17)可知,系統(10)在(0,0,k)點漸近穩定。若去掉系統(10)的第三式中的控制輸入u1,同時在該系統的第二式中加入控制輸入u2得{x˙=a(y-x),y˙=bx-xz+u2,z˙=4x2-cz,(23)通過計算可得,當u2=x(z-k)(k滿足式(16))時,系統(23)在點(0,0,0)漸近穩定。2.2初始狀態的數值模擬設a=10+sin2t,b=40+2cos5t和c=2.5+0.2cos8t。取ε1=4,p=5/9,將以上參數代入式(16)可求得k的取值范圍:47.7160<k<57.2222。選取k=52,可得r<1。取r=0.0001,h=0.01,cˉ^(0)=1,系統的初始狀態為[x(0),y(0),z(0)]=[10,-10,10]。系統(10)在式(20)、(21)的控制輸入下漸近穩定于點(0,0,52),數值模擬結果如圖1所示。系統(23)在u2=x(z-k)的控制輸入下漸近穩定于點(0,0,0),數值模擬結果如圖2所示。當t→∞時,自適應控制變量趨向于某一有界固定值,數值模擬結果