2024屆新高考數學一輪復習配套練習專題7.4數列求和練基礎練基礎1．（2021·全國高三其他模擬）設數列{an}的前n項和為Sn，若，則S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2017·全國高考真題（理））（2017新課標全國II理科）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞3．（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數的等比數列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．24．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）【多選題】在《增刪算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則下列說法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路5.（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數列{an}的前n項和.若，則S4=___________．6．（2021·四川成都市·石室中學高三三模）記為遞增等比數列的前n項和，若，則的值為______.7．（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））已知正項等比數列的前項和為，，，則數列中不超過2021的所有項的和為___________.8．（2021·福建高三其他模擬）記為等比數列的前項和，已知，．（1）求；（2）求數列的前項和．9．（2021·遼寧高三其他模擬）已知為等差數列，為等比數列，且滿足．（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數n，設，求數列的前n項和．10．（2021·廣東實驗中學高三其他模擬）已知數列{an}中，a1＝1，其前n項和Sn，滿足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）記bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·吉林松原市·高三月考）在數學課堂上，為提高學生探究分析問題的能力，教師引導學生構造新數列：現有一個每項都為1的常數列，在此數列的第項與第項之間插入首項為2，公比為2，的等比數列的前項，從而形成新的數列，數列的前項和為，則（）A． B．C． D．2．【多選題】（2021·河北高三其他模擬）數學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形中，作它的內接正方形，且使得；再作正方形的內接正方形，且使得；類似地，依次進行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設第n個正方形的邊長為(其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，…)，第n個直角三角形(陰影部分)的面積為(其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，…)，則（）A．數列是公比為的等比數列 B．C．數列是公比為的等比數列 D．數列的前n項和3．（2022·河南高三月考（文））已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數列滿足，正項等比數列滿足首項為1，前3項和為7.（1）求與的通項公式；（2）求的前n項和.5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三其他模擬（理））已知數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求最小值.6．（2021·四川省綿陽南山中學高三其他模擬（理））已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，且.（1）求數列的通項公式；（2）若存在正整數，使得，求的最小值.7.（2021·全國高三其他模擬）已知數列是以為首項，為公比的等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）在數列中，去掉第項，第項，…，第項（為正整數）得到的數列記為，求數列的前項和.8．（2020屆浙江省溫麗聯盟高三第一次聯考）設是等差數列的前項和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出數列的通項公式；（Ⅱ）設，求證：.9．（2019·浙江高考模擬）已知數列中，，（1）令，求證：數列是等比數列；（2）令，當取得最大值時，求的值.10．（2020屆山東濟寧市兗州區高三網絡模擬考）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數列的公差為，前n項和為，等比數列的公比為q，且，____________．（1）求數列，的通項公式．（2）記，求數列，的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））數列中，，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021·浙江高考真題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（）A． B． C． D．3．（2020·全國高考真題（理））設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．4.（2020·全國高考真題（文））設等比數列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．5.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區間中的項的個數，求數列的前項和．6.（2020·天津高考真題）已知為等差數列，為等比數列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．專題7.4數列求和練基礎練基礎1．（2021·全國高三其他模擬）設數列{an}的前n項和為Sn，若，則S99＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】采用裂項相消法求數列的和【詳解】因為，所以故選C.2．（2017·全國高考真題（理））（2017新課標全國II理科）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞【答案】B【解析】設塔頂的a1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數列，∴S7=a1解得a1=3．故選：B．3．（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數的等比數列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】C【解析】設正數的等比數列{an}的公比為，則，解得，，故選C．4．（2020·山東曲阜一中高三3月月考）【多選題】在《增刪算法統宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則下列說法正確的是（）A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】設此人第天走里路，則數列是首項為，公比為的等比數列，因為，所以，解得，對于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正確；對于B，由于，所以B不正確；對于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正確；對于D，由于，所以D正確，故選：ACD5.（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數列{an}的前n項和.若，則S4=___________．【答案】.【解析】設等比數列的公比為，由已知，即解得，所以．6．（2021·四川成都市·石室中學高三三模）記為遞增等比數列的前n項和，若，則的值為______.【答案】1023【解析】首先利用已知條件求得等比數列的公比和首項，最后根據等比數列的前n項和公式求出即可.【詳解】因為數列為等比數列，所以，解得，設等比數列的公比為，因為，所以即，解得或，因為等比數列是遞增數列，所以，，所以.故答案為：10237．（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））已知正項等比數列的前項和為，，，則數列中不超過2021的所有項的和為___________.【答案】2046【解析】先根據題意列方程組，求出通項公式，再判斷不超過2021的所有項的和為前10項的和，直接利用等比數列的前n項和公式求和即可.【詳解】設正項等比數列的公比為q，，因為，，所以，解得：，所以.令，解得：.所以數列中不超過2021的所有項的和為：.故答案為：2046.8．（2021·福建高三其他模擬）記為等比數列的前項和，已知，．（1）求；（2）求數列的前項和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比數列的公比，由，即可求解；（2）由（1）求出通項公式，可得數列為等比數列，根據等比數列的前項和公式，即可得出結論.【詳解】（1）令，則由可得，當時，由可得，兩式相減，可得，即，依題意，為等比數列，故；（2）由（1）可知為首項等于1，公比等于2的等比數列，故；故為首項等于，公比等于的等比數列，故．故．9．（2021·遼寧高三其他模擬）已知為等差數列，為等比數列，且滿足．（1）求和的通項公式；（2）對任意的正整數n，設，求數列的前n項和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）設出數列的公差和公比，結合條件求出公差和公比，然后寫出通項公式；（2）求出，結合錯位相減法求和可得數列的前n項和．【詳解】（1）設等差數列的公差為d，等比數列的公比為q，由，則1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，因為，所以，整理得，解得q＝2，所以；（2），，兩式相減，得所以．10．（2021·廣東實驗中學高三其他模擬）已知數列{an}中，a1＝1，其前n項和Sn，滿足an+1＝Sn+1（n∈N*）．（1）求Sn；（2）記bn＝，求數列{bn}的前n項和Tn．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由數列的遞推式和等比數列的定義、通項公式，可得所求；（2）求得，由數列的裂項相消求和，化簡即可得到答案.【詳解】（1）當時，，又，所以，即，在中，令，可得因為，所以故是首項為1，公比為2的等比數列，其通項公式為，所以.（2）因為所以故練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．【多選題】（2021·吉林松原市·高三月考）在數學課堂上，為提高學生探究分析問題的能力，教師引導學生構造新數列：現有一個每項都為1的常數列，在此數列的第項與第項之間插入首項為2，公比為2，的等比數列的前項，從而形成新的數列，數列的前項和為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根據題意求出n，然后即可求出，再利用錯位相減法求出新數列的和.【詳解】設介于第個1與第個1之間或者為這兩個1當中的一個，則從新數列的第1個1到第個1一共有項，從新數列的第1個1到第個1一共有項，所以，解得，而，所以，故A正確，B錯誤；，令，則，，，所以，故D正確，C錯誤，故選：AD.2．【多選題】（2021·河北高三其他模擬）數學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形中，作它的內接正方形，且使得；再作正方形的內接正方形，且使得；類似地，依次進行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示.設第n個正方形的邊長為(其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，…)，第n個直角三角形(陰影部分)的面積為(其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，…)，則（）A．數列是公比為的等比數列 B．C．數列是公比為的等比數列 D．數列的前n項和【答案】BD【解析】先得到，即可判斷A，再求出，可判斷B與C，最后求出，可判斷D.【詳解】如圖：由圖知，對于A：，數列是公比為的等比數列，故A不正確；對于BC：因為，所以，所以數列是首項為，公比為的等比數列，故B正確，C不正確；對于D：因為，故D正確，故選：BD.3．（2022·河南高三月考（文））已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，化簡得到，結合等比數列的通項公式，即可求解；（2）由（1）知，單調，結合等差數列的求和公式和乘公比錯位相減法，即可求解.【詳解】（1）由題意，數列滿足，可得，即，又因為，可得，所以，所以，即數列的通項公式.（2）由（1）知，可得，則.令，則，所以，所以.所以.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數列滿足，正項等比數列滿足首項為1，前3項和為7.（1）求與的通項公式；（2）求的前n項和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設等差數列的公差為d，運用等差數列的通項公式，可得首項和公差，可得；設正項等比數列的公比為q，q>0，由等比數列的通項公式，解方程可得q，進而得到；（2）由（1）可得，利用錯位相減法求和，即可得答案.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為d，由，可得，解得，則；設正項等比數列的公比為q，q>0，由首項為1，前3項和為7，可得，解得q=2，則；（2）由（1）可得，所以，則，兩式相減可得=，所以.5．（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三其他模擬（理））已知數列滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，求最小值.【答案】（1）；（2）最小值為.【解析】（1）由已知條件得到為等比數列，即可得到通項；（2）錯位相減求出，根據單調性求出最小值.【詳解】解：（1）由，得，是以2為公比的等比數列，記公比為，又，，；（2），，，兩式相減，得，即，又，單調遞增，時，最小，最小值為.6．（2021·四川省綿陽南山中學高三其他模擬（理））已知是等比數列的前項和，，，成等差數列，且.（1）求數列的通項公式；（2）若存在正整數，使得，求的最小值.【答案】（1）；（2）11.【解析】（1）設數列的公比為，根據條件列出，求得首項和公比，從而求得通項公式；（2）由（1）求得，分奇偶求解即可求得滿足條件的最小n值.【詳解】（1）設數列的公比為，則，．由題意得，即，解得.故數列的通項公式為.（2）由（1）有.由得，，即.當為偶數時，，上式不成立；-當為奇數時，，即，則.綜上，的最小值為11.7.（2021·全國高三其他模擬）已知數列是以為首項，為公比的等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）在數列中，去掉第項，第項，…，第項（為正整數）得到的數列記為，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由等比數列通項公式可求得，進而得到；（2）設，數列的前項和為，數列的前項和為，根據三者之間的關系可整理得到當為偶數時，，當為奇數時，，利用等差數列求和公式可整理求得結果.【詳解】（1）由題意得：，；（2）設，數列的前項和為，數列的前項和為；，，…①，，…②，，，…③，由①知：當時，；由③知：當時，；當為偶數時，，；由②知：當時，，即當為奇數時，；；綜上所述：.8．（2020屆浙江省溫麗聯盟高三第一次聯考）設是等差數列的前項和，其中，且.（Ⅰ）求的值，并求出數列的通項公式；（Ⅱ）設，求證：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）解：令，則，則，令，則，得，∵為等差數列，∴，∴，∴，∴，，，∴，∴，數列的通項公式為；（Ⅱ）證：由題意得，∴，∴，∴，∴，∵，∴為遞增數列，即，∴成立．9．（2019·浙江高考模擬）已知數列中，，（1）令，求證：數列是等比數列；（2）令，當取得最大值時，求的值.【答案】（I）見解析（2）最大，即【解析】（1）兩式相減，得∴即：∴數列是以2為首項，2為公比的等比數列（2）由（1）可知，即也滿足上式令，則，∴最大，即10．（2020屆山東濟寧市兗州區高三網絡模擬考）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數列的公差為，前n項和為，等比數列的公比為q，且，____________．（1）求數列，的通項公式．（2）記，求數列，的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】方案一：選條件①（1）解得或（舍去）（2）方案二：選條件②（1）解得或（舍去）（2）方案三：選條件③解得或（舍去）（2）練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2020·全國高考真題（理））數列中，，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】在等式中，令，可得，，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，則，，，則，解得.故選：C.2．（2021·浙江高考真題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然可知，，利用倒數法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據裂項相消法即可得到，從而得解．【詳解】因為，所以，．由，即根據累加法可得，，當且僅當時取等號，，由累乘法可得，當且僅當時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．3．（2020·全國高考真題（理））設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，為的等差中項，，；（2）設的前項和為，，，①，②①②得，，.4.（2020·全國高考真題（文））設等比數列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等比數列的公比為，根據題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據，可得，整理得，因為，所以.5.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區間中的項的個數，求數列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由于數列是公比大于的等比數列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數列的通項公式為.（2）由于，所以對應的區間為：，則；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個；對應的區間分別為：，則，即有個.所以.6.（2020·天津高考真題）已知為等差數列，為等比數列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當n為奇數時，，當n為偶數時，，對任意的正整數n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數列的前2n項和為.專題7.5數列的綜合應用練基礎練基礎1．（2021·浙江高三專題練習）已知正項等差數列和正項等比數列}，，是，的等差中項，是，的等比中項，則下列關系成立的是（）A． B．C． D．2．（2021·江西贛州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名數學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題.現有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（）A．5 B．6 C．7 D．83.【多選題】（2020·湖南高三月考）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設的農產品土特產品加工廠的原材料進貨，因產品質優價廉，上市后供不應求，據測算每月獲得的利潤是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續.設第月月底小王手中有現款為，則下列論述正確的有（）(參考數據：)A．B．C．2020年小王的年利潤為40000元D．兩年后，小王手中現款達41萬4．（2021·江西高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數列的部分項，，，……構成等比數列，且，，，則___________.5．（2021·西安市經開第一中學高三其他模擬（理））數列滿足：，點在函數的圖像上，其中為常數，且（1）若成等比數列，求的值；（2）當時，求數列的前項的和.6.（2021·江蘇高考真題）已知數列滿足，且.（1）求證：數列為等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）求數列的前項和.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知在等差數列中，為其前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和為且求的取值范圍.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模擬）在數列中，.等差數列的前兩項依次為，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.9．（2021·重慶高三三模）已知數列的前項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式：（2）設，數列的前項和為，求證：．10．（2021·沂水縣第一中學高三其他模擬）在數列中，，且成等比數列．（1）證明數列是等差數列，并求的通項公式；（2）設數列滿足，其前項和為，證明：．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河南鄭州市·高三三模（文））1967年，法國數學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數維到分數維的飛躍.1977年他正式將具有分數維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數學分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規則現象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為，對任意的正整數n，都有，則a的最小值為__________．2．（2020·沙坪壩區·重慶南開中學高三月考）已知數列是公差不為0的等差數列，其前項和為，滿足，且，，成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和為，實數使得對任意恒成立，求的取值范圍.3．（2021·全國高三其他模擬）有下列三個條件：①數列是公比為的等比數列，②是公差為1的等差數列，③，在這三個條件中任選一個，補充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.設數列的前項和為，，對任意的，都有___________.已知數列滿足，是否存在，使得對任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.4.（2021·四川自貢市·高三三模（文））已知數列{an}的前n項和為Sn，，數列{bn}是等差數列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求數列和的通項公式；（2）若，記數列{cn}的前n項和為Tn，證明：3Tn＜1．5．（2021·全國高三其他模擬）在①；②；③成等差數列這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：數列{an}是各項均為正數的等比數列，前n項和為Sn，a1＝2，且___.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若（），求數列{bn}的前n項和Tn.6．（2021·寧波市北侖中學高三其他模擬）已知數列滿足，記數列的前項和為，（1）求證：數列為等比數列，并求其通項；（2）求的前項和及的前項和為．7．（2021·湖北高三其他模擬）在等比數列{an}中，公比，其前n項和為Sn，且S2=6，___________.（1）求數列{an}的通項公式；（2）設，且數列{cn}滿足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求數列{cn}的通項公式.從①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3與2的等差中項，這三個條件中任選一個，補充到上面問題中的橫線上，并作答.8．（2021·全國高三其他模擬）從①，②，③中任選一個填入下面的空中，并解答．設等比數列的公比，且____．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．9．（2021·浙江高三其他模擬）已知數列{}滿足，且=，n∈（是等比數列，是等差數列），記數列{}的前n項和為，{}的前n項和為，若公比數q等于公差數d，且（1）求數列{}的通項公式；（2）記為數列{}的前n項和，求（n≥2，且n∈）的最小值．10．（2021·浙江金華市·高三三模）若數列的前n項和為，.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿足，其前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·北京高考真題）在等差數列中，，．記，則數列（）．A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項2.（2020·浙江省高考真題）已知等差數列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．3.（2019年浙江卷）設，數列中，，,則（）A.當 B.當C.當 D.當4．（2020·江蘇省高考真題）設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列．已知數列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．5.（2019年浙江卷）設等差數列的前項和為，，，數列滿足：對每成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）記證明：6.（2021·天津高考真題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數列；（ii）證明專題7.5數列的綜合應用練基礎練基礎1．（2021·浙江高三專題練習）已知正項等差數列和正項等比數列}，，是，的等差中項，是，的等比中項，則下列關系成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設等差數列公差為d，等比數列公比為q，由題意可得：，進而可得結果.【詳解】設等差數列公差為d，等比數列公比為q，由題意可得：A.,故A不正確；B.，故B正確；C.，故C不正確；D.，故D不正確.故選：B2．（2021·江西贛州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名數學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題.現有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】把各層的鉛筆數看出等差數列，利用求和公式得到，由n為264的因數，且為偶數，把四個選項一一代入驗證即可.【詳解】設最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，由等差數列前n項和公式得：，∴，∵,∴n為264的因數，且為偶數，把各個選項分別代入，驗證，可得：n=8滿足題意.故選：D3.【多選題】（2020·湖南高三月考）在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設的農產品土特產品加工廠的原材料進貨，因產品質優價廉，上市后供不應求，據測算每月獲得的利潤是該月月初投人資金的，每月月底需繳納房租600元和水電費400元，余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續.設第月月底小王手中有現款為，則下列論述正確的有（）(參考數據：)A．B．C．2020年小王的年利潤為40000元D．兩年后，小王手中現款達41萬【答案】BCD【解析】由題可知，月月底小王手中有現款為，月月底小王手中有現款為之間的遞推關系為，，進而根據遞推關系求出通項公式即可得答案.【詳解】對于A選項，元，故A錯誤對于B選項，第月月底小王手中有現款為，則第月月底小王手中有現款為，由題意故B正確；對于C選項，由得所以數列是首項為公比為1.2的等比數列，所以，即所以2020年小王的年利潤為元，故C正確；對于D選項，兩年后，小王手中現款為元，即41萬，故D正確.故選：BCD.4．（2021·江西高三其他模擬（理））已知公差不為0的等差數列的部分項，，，……構成等比數列，且，，，則___________.【答案】【解析】設等差數列的公差為，則，由等比數列的性質列式求得．然后再由等差數列與等比數列的通項公式列式求得．【詳解】解：設等差數列的公差為，則，

由已知，

即，得，

于是，在等比數列中，公比．

由為數列的第項，知；

由為數列的第項，知，

，故.

故答案為．5．（2021·西安市經開第一中學高三其他模擬（理））數列滿足：，點在函數的圖像上，其中為常數，且（1）若成等比數列，求的值；（2）當時，求數列的前項的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先由條件，列式表示為，，，再根據數列是等比數列求的值；（2）由條件，歸納可知，再求數列的前項的和.【詳解】解：（1）由可得，，，所以，，.又，，成等比數列，所以，則，又，故.（2）時，，∴，，…，，.6.（2021·江蘇高考真題）已知數列滿足，且.（1）求證：數列為等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）求數列的前項和.【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】（1）計算得到，得到答案.（2），得到數列通項公式.（3）根據分組求和法計算得到答案.【詳解】（1）由，得，∴，又，∴是首項為3，公比為3的等比數列.（2），∴.（3）.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知在等差數列中，為其前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和為且求的取值范圍.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由條件求得公差，寫出通項公式；（2）求出通項公式，利用分組求和求得，且單增，找到符合的最小n值即可.【詳解】（1）由等差數列性質知，，則，故公差，故（2）由（1）知，易知單調遞增，且，，故，解得，.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模擬）在數列中，.等差數列的前兩項依次為，.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和.【答案】（1）cn=8n-10；（2）Sn=(4n-9)×2n+2+36.【解析】（1）根據遞推公式計算，，利用等差數列公式計算得到答案.（2）將題目中兩式相加得到，故是首項為2，公比為2的等比數列，計算得到通項公式，再利用錯位相減法計算得到答案.【詳解】解（1）∵a1=b1=1，∴，則數列{cn}的公差d=6-(-2)=8.∴數列{cn}的通項公式為cn=-2+8(n-1)=8n-10.（2）an+1=3an-bn-3n-1，①bn+1=3bn-an+3n+1，②①+②，得an+1+bn+1=2(an+bn).∵a1+b1=2，∴數列{an+bn}是首項為2，公比為2的等比數列，∴an+bn=2n.∴Sn=-2×2+6×22+…+(8n-10)×2n，則2Sn=-2×22+6×23+…+(8n-10)×2n+1，∴Sn-2Sn=-4+8(22+23+…+2n)-(8n-10)×2n+1，即-Sn=-4+8(2n+1-4)-(8n-10)×2n+1=(18-8n)×2n+1-36，∴Sn=(4n-9)×2n+2+36.9．（2021·重慶高三三模）已知數列的前項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式：（2）設，數列的前項和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）利用，求得數列的通項公式.（2）求得數列的通項公式，進而利用裂項求和法求得，結合數列的單調性證得.【詳解】（1）解：，令，解得時，兩式相減，得數列是以為首項，為公比的等比數列，所以；（2）證明單調遞增，所以1即10．（2021·沂水縣第一中學高三其他模擬）在數列中，，且成等比數列．（1）證明數列是等差數列，并求的通項公式；（2）設數列滿足，其前項和為，證明：．【答案】（1）證明見解析；；（2）證明見解析．【解析】（1）利用已知條件推出數列是等差數列，其公差為，首項為1，求出通項公式，結合由，，成等比數列，轉化求解即可．（2）化簡通項公式，利用裂項消項法，求解數列的和即可．【詳解】證明：（1）由，得，即，所以數列是等差數列，其公差為，首項為1，因此，，，由成等比數列，得，即，解得或（舍去），故．（2）因為，所以因為，所以．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·河南鄭州市·高三三模（文））1967年，法國數學家蒙德爾布羅的文章《英國的海岸線有多長？》標志著幾何概念從整數維到分數維的飛躍.1977年他正式將具有分數維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數學分支——分形幾何．分形幾何不只是扮演著計算機藝術家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規則現象的工具．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為1，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段EC、ED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有線段長的和為，對任意的正整數n，都有，則a的最小值為__________．【答案】2．【解析】根據圖形之間的關系可得的遞推關系，從而可求的通項公式，故可求a的最小值.【詳解】設第個圖形中新出現的等邊三角形的邊長為，則當時，，設第個圖形中新增加的等邊三角形的個數為，則當時，，故，其中，由累加法可得，時，也符合該式，故，故對任意的恒成立，故即a的最小值為2.故答案為：2.2．（2020·沙坪壩區·重慶南開中學高三月考）已知數列是公差不為0的等差數列，其前項和為，滿足，且，，成等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和為，實數使得對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先利用已知條件求出公差d，再利用求通項公式即可；（2）先計算通項公式，利用裂項相消法求，代入化簡數列不等式為對任意恒成立，再求最小值即得結果.【詳解】解：（1）設數列的公差為，因為是等差數列，所以，故，又，，成等比數列，所以，故，將代入得，即，又知，故，所以；（2）由（1）知，，故，所以，即，故，即對任意恒成立，而在上單調遞增，故在時單調遞增，，所以，故的取值范圍為.3．（2021·全國高三其他模擬）有下列三個條件：①數列是公比為的等比數列，②是公差為1的等差數列，③，在這三個條件中任選一個，補充在題中“___________”處，使問題完整，并加以解答.設數列的前項和為，，對任意的，都有___________.已知數列滿足，是否存在，使得對任意的，都有？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【解析】根據等差?等比數列的通項公式以及數列單調性來找到數列的最大項，題干中有3個條件，選取一個進行分析即可.【詳解】記，從而有().選擇①，數列是公比為的等比數列，因為，所以，即.所以，所以.由，當時，，當時，，所以當或2時，取得最大值，即取得最大值.所以存在，2，使得對任意的，都有.選擇②，方法一：是公差為1的等差數列，因為，所以，當時，，則，當時，上式成立，所以.所以，從而.由，所以當時，；當時，，所以當時，取得最大值，即取得最大值.所以存在，使得對任意的，都有.方法二：利用“夾逼法”，即利用來求解.，由()，得，解得.選擇③，方法一：，則，從而，即.又，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列，所以.所以，從而，即，所以數列為單調遞增數列，故不存在，使得對任意的，都有.方法二：利用求解.，，則，因為，所以不存在，使得對任意的，都有.4.（2021·四川自貢市·高三三模（文））已知數列{an}的前n項和為Sn，，數列{bn}是等差數列，且b1＝a1，b6＝a5．（1）求數列和的通項公式；（2）若，記數列{cn}的前n項和為Tn，證明：3Tn＜1．【答案】（1）；；（2）證明見解析．【解析】（1）首先利用時，求得，進而得到數列為公比為2的等比數列，最后根據首項和公比寫出通項公式即可，再根據b1＝a1，b6＝a5求得的公差，再寫出的通項公式.（2）根據裂項相消求和，最后證明不等式即可.【詳解】解：（1）由，可得n＝1時，，解得，n≥2時，，又，兩式相減可得，即有，數列{an}是首項為1，公比為2的等比數列，所以；設等差數列{bn}的公差為d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得，所以；（2）證明：所以則3Tn＜1．5．（2021·全國高三其他模擬）在①；②；③成等差數列這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.問題：數列{an}是各項均為正數的等比數列，前n項和為Sn，a1＝2，且___.（1）求數列{an}的通項公式；（2）若（），求數列{bn}的前n項和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若選①，由，有，兩式相減，可得數列為等比數列，再由首項可求通項；若選②，由，得，再由首項可求通項；若選③，由成等比數列，得，再由首項可求通項.（2）先帶入化簡，再裂項求和即可.【詳解】（1）若選①，由，有，兩式相減并整理有，可知數列是首項為2，公比也為2的等比數列，所以；若選②，因為數列是等比數列，且首項為2，由，有，即，得，所以數列是首項為2，公比也為2的等比數列，所以；若選③，由成等比數列，有，即，因為有，所以有，解得，（舍），數列是首項為2，公比也為2的等比數列，所以.（2）因為，，所以.6．（2021·寧波市北侖中學高三其他模擬）已知數列滿足，記數列的前項和為，（1）求證：數列為等比數列，并求其通項；（2）求的前項和及的前項和為．【答案】（1）證明見解析；；（2）；．【解析】（1）根據題中條件，推出，即可證明數列為等比數列，從而可求出其通項公式；（2）根據（1）的結果，由錯位相減法，即可求出；設，先由題中得到的通項，再由分組求和法計算，根據求，進而可得.【詳解】（1）因為，，，所以，又，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此；（2）由（1）可得①，則②，①②得，則；設，則，所以；；因此.7．（2021·湖北高三其他模擬）在等比數列{an}中，公比，其前n項和為Sn，且S2=6，___________.（1）求數列{an}的通項公式；（2）設，且數列{cn}滿足c1=1，cn+1﹣cn=bn+1bn，求數列{cn}的通項公式.從①.S4=30，②.S6﹣S4=96，③.a3是S3與2的等差中項，這三個條件中任選一個，補充到上面問題中的橫線上，并作答.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）選條件①時，利用等比數列的定義和性質的應用求出數列的通項公式;選條件②時，利用等比數列的定義和性質的應用求出數列的通項公式；選條件③時，利用等差中項的應用求出數列的通項公式.（2）由（1），得,則，利用累加法結合裂項相消法，可求出數列{cn}的通項公式.【詳解】解：(1)若選條件①時，由S2=6及S4=30，得a1+a2=6，a1+a2+a3+a4=30，兩式相減，得a3+a4=24，即q2(a1+a2)=24，所以q2=4，由，解得，代入a1+a2=6，得a1+2a1=6，解得a1=2，所以數列{an}的通項公式為.若選條件②時，S6﹣S4=96.因為S6﹣S4=a5+a6=96，a1+a2=6，所以，a1+a1q=6，兩式相除，得q4=16，結合q>0，得q=2，所以a1+2a1=6，解得a1=2，所以數列{an}的通項公式為.若選條件③時，a3是S3與2的等差中項.由a3是S3與2的等差中項，得2a3=S3+2，則2a3=a1+a2+a3+2，由a1+a2=6，得a3=8，由通項公式，得a1+a1q=6，，消去a1，得3q2﹣4q﹣4=0，結合q>0，解得q=2，代入a1+a1q=6，得a1=2，所以數列{an}的通項公式為.（2）由（1），得，，所以當時，cn=c1+(c2﹣c1)+(c3﹣c2)+(c4﹣c3)++(cn﹣cn﹣1).又c1=1也適合上式，故數列{cn}的通項公式是.8．（2021·全國高三其他模擬）從①，②，③中任選一個填入下面的空中，并解答．設等比數列的公比，且____．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和．【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析.【解析】（1）根據可得關于的方程，兩個方程解出兩個未知數；（2）若選①②，結合表達式的特點，可用錯位相減法求和，若選③，，可用分組求和法解題.【詳解】（1）設的公比為，因為，故，即，解得或舍去，所以（2）設的前項和為，若選①，，兩式相減得所以若選②，兩式相減得，所以．若選③當為偶數時，當為奇數時，，所以9．（2021·浙江高三其他模擬）已知數列{}滿足，且=，n∈（是等比數列，是等差數列）