三角函數綜合復習一．選擇題〔共5小題〕1．假設函數f〔*〕=*﹣sin2*+asin*在〔﹣∞，+∞〕單調遞增，則a的取值圍是〔〕A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]2．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinB+sinA〔sinC﹣cosC〕=0，a=2，c=，則C=〔〕A． B． C． D．3．函數f〔*〕=sin〔*+〕+cos〔*﹣〕的最大值為〔〕A． B．1 C． D．4．假設將函數y=2sin2*的圖象向左平移個單位長度，則平移后的圖象的對稱軸為〔〕A．*=﹣〔k∈Z〕 B．*=+〔k∈Z〕 C．*=﹣〔k∈Z〕 D．*=+〔k∈Z〕5．假設cos〔﹣α〕=，則sin2α=〔〕A． B． C．﹣ D．﹣二．填空題〔共7小題〕6．θ是第四象限角，且sin〔θ+〕=，則tan〔θ﹣〕=．7．α∈〔0，〕，tanα=2，則cos〔α﹣〕=．8．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設2bcosB=acosC+ccosA，則B=．9．函數f〔*〕=sin〔*+φ〕﹣2sinφcos*的最大值為．10．函數y=sin2*+cos2*的最小正周期為．11．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設cosA=，cosC=，a=1，則b=．12．在極坐標系中，直線ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點，則|AB|=．三．解答題〔共9小題〕13．a，b，c分別是△ABC角A，B，C的對邊，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假設a=b，求cosB；〔Ⅱ〕設B=90°，且a=，求△ABC的面積．14．tanα=2．〔1〕求tan〔α+〕的值；〔2〕求的值．15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕證明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假設b2+c2﹣a2=bc，求tanB．16．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面積．17．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，?=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．18．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假設c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕證明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．〔Ⅰ〕求∠B的大小；〔Ⅱ〕求cosA+cosC的最大值．21．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為．〔1〕求sinBsinC；〔2〕假設6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長．三角函數綜合復習參考答案與試題解析一．選擇題〔共5小題〕1．假設函數f〔*〕=*﹣sin2*+asin*在〔﹣∞，+∞〕單調遞增，則a的取值圍是〔〕A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣]【解答】解：函數f〔*〕=*﹣sin2*+asin*的導數為f′〔*〕=1﹣cos2*+acos*，由題意可得f′〔*〕≥0恒成立，即為1﹣cos2*+acos*≥0，即有﹣cos2*+acos*≥0，設t=cos*〔﹣1≤t≤1〕，即有5﹣4t2+3at≥0，當t=0時，不等式顯然成立；當0＜t≤1時，3a≥4t﹣，由4t﹣在〔0，1]遞增，可得t=1時，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；當﹣1≤t＜0時，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0〕遞增，可得t=﹣1時，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．綜上可得a的圍是[﹣，]．另解：設t=cos*〔﹣1≤t≤1〕，即有5﹣4t2+3at≥0，由題意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的圍是[﹣，]．應選：C．2．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinB+sinA〔sinC﹣cosC〕=0，a=2，c=，則C=〔〕A． B． C． D．【解答】解：sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA〔sinC﹣cosC〕=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得=，∴sinC=，∵a=2，c=，∴sinC===，∵a＞c，∴C=，應選：B．3．函數f〔*〕=sin〔*+〕+cos〔*﹣〕的最大值為〔〕A． B．1 C． D．【解答】解：函數f〔*〕=sin〔*+〕+cos〔*﹣〕=sin〔*+〕+cos〔﹣*+〕=sin〔*+〕+sin〔*+〕=sin〔*+〕．應選：A．4．假設將函數y=2sin2*的圖象向左平移個單位長度，則平移后的圖象的對稱軸為〔〕A．*=﹣〔k∈Z〕 B．*=+〔k∈Z〕 C．*=﹣〔k∈Z〕 D．*=+〔k∈Z〕【解答】解：將函數y=2sin2*的圖象向左平移個單位長度，得到y=2sin2〔*+〕=2sin〔2*+〕，由2*+=kπ+〔k∈Z〕得：*=+〔k∈Z〕，即平移后的圖象的對稱軸方程為*=+〔k∈Z〕，應選：B．5．假設cos〔﹣α〕=，則sin2α=〔〕A． B． C．﹣ D．﹣【解答】解：法1°：∵cos〔﹣α〕=，∴sin2α=cos〔﹣2α〕=cos2〔﹣α〕=2cos2〔﹣α〕﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos〔﹣α〕=〔sinα+cosα〕=，∴〔1+sin2α〕=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，應選：D．二．填空題〔共7小題〕6．θ是第四象限角，且sin〔θ+〕=，則tan〔θ﹣〕=．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，則，又sin〔θ+〕=，∴cos〔θ+〕=．∴cos〔〕=sin〔θ+〕=，sin〔〕=cos〔θ+〕=．則tan〔θ﹣〕=﹣tan〔〕=﹣=．故答案為：﹣．7．α∈〔0，〕，tanα=2，則cos〔α﹣〕=．【解答】解：∵α∈〔0，〕，tanα=2，∴sinα=2cosα，∵sin2α+cos2α=1，解得sinα=，cosα=，∴cos〔α﹣〕=cosαcos+sinαsin=×+×=，故答案為：8．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設2bcosB=acosC+ccosA，則B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin〔A+C〕=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案為：9．函數f〔*〕=sin〔*+φ〕﹣2sinφcos*的最大值為1．【解答】解：函數f〔*〕=sin〔*+φ〕﹣2sinφcos*=sin*cosφ+sinφcos*﹣2sinφcos*=sin*cosφ﹣sinφcos*=sin〔*﹣φ〕≤1．所以函數的最大值為1．故答案為：1．10．函數y=sin2*+cos2*的最小正周期為π．【解答】解：∵函數y=sin2*+cos2*=sin2*+=sin〔2*+〕+，故函數的最小正周期的最小正周期為=π，故答案為：π．11．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設cosA=，cosC=，a=1，則b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin〔A+C〕=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案為：．12．在極坐標系中，直線ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點，則|AB|=2．【解答】解：直線ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0化為y直線*﹣y﹣1=0．圓ρ=2cosθ化為ρ2=2ρcosθ，∴*2+y2=2*，配方為〔*﹣1〕2+y2=1，可得圓心C〔1，0〕，半徑r=1．則圓心C在直線上，∴|AB|=2．故答案為：2．三．解答題〔共9小題〕13．a，b，c分別是△ABC角A，B，C的對邊，sin2B=2sinAsinC．〔Ⅰ〕假設a=b，求cosB；〔Ⅱ〕設B=90°，且a=，求△ABC的面積．【解答】解：〔I〕∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得〔bk〕2=2ak?ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．〔II〕由〔I〕可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．14．tanα=2．〔1〕求tan〔α+〕的值；〔2〕求的值．【解答】解：tanα=2．〔1〕tan〔α+〕===﹣3；〔2〕====1．15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且+=．〔Ⅰ〕證明：sinAsinB=sinC；〔Ⅱ〕假設b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】〔Ⅰ〕證明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin〔A+B〕=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，〔Ⅱ〕解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．16．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．a=3，cosA=，B=A+．〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕求△ABC的面積．【解答】解：〔Ⅰ〕∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin〔A+〕=cosA=，由正弦定理知=，∴b=?sinB=×=3．〔Ⅱ〕∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin〔π﹣A﹣B〕=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB=×〔﹣〕+×=，∴S=a?b?sinC=×3×3×=．17．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＞c，?=2，cosB=，b=3，求：〔Ⅰ〕a和c的值；〔Ⅱ〕cos〔B﹣C〕的值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵?=2，cosB=，∴c?acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，聯立①②得：a=3，c=2；〔Ⅱ〕在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C為銳角，∴cosC===，則cos〔B﹣C〕=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．18．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2cosC〔acosB+bcosA〕=c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假設c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0等式利用正弦定理化簡得：2cosC〔sinAcosB+sinBcosA〕=sinC，整理得：2cosCsin〔A+B〕=sinC，即2cosCsin〔π﹣〔A+B〕〕=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；〔Ⅱ〕由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴〔a+b〕2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴〔a+b〕2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周長為5+．19．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2〔tanA+tanB〕=+．〔Ⅰ〕證明：a+b=2c；〔Ⅱ〕求cosC的最小值．【解答】解：〔Ⅰ〕證明：由得：；∴兩邊同乘以cosAcosB得，2〔sinAcosB+cosAsinB〕=sinA+sinB；∴2sin〔A+B〕=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC〔1〕；根據正弦定理，；∴，帶入〔1〕得：；∴a+b=2c；〔Ⅱ〕a+b=2c；∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，當且僅當a=b時取等號；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值為．20．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．〔Ⅰ〕求∠B的大小；〔Ⅱ〕求cosA+cosC的最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac．∴a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∴B=〔Ⅱ〕由〔I〕得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos〔﹣A〕=cosA﹣cosA+sinA=cosA+sinA=sin〔A+〕．∵A∈〔0，〕，∴A+∈〔，π〕，故當A+=時，sin〔A+〕取最大值1，即cosA+cosC的最大值為1．21．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，△ABC的面積為．〔1〕求sinBsinC；〔2〕假設6cosBcosC=1，a=3，求△ABC