第三章任意角的三角函數三角函數是基本初等函數之一．在中學，我們已經學過銳角的三角函數，并且應用它們來解直角三角形和進行有關的計算．但在科學技術領域和實際問題中，還經常用到任意大小的角．因此我們需要將角的概念進行推廣，然后進一步研究任意角的三角函數．第一節任意角的概念、弧度制第二節任意角的三角函數第三節同角三角函數的關系第四節誘導公式第五節三角函數的圖像和性質第一節任意角的概念、弧度制一、角的概念的推廣圖3-1解示意在實際生活中，角的形式可以按照兩種相反的方向旋轉．我們把一條射線按逆時針方向旋轉所形成的角稱為正角；把按順時針方向旋轉所形成的角稱為負角；特別地，當一條射線沒有做任何旋轉時，也認為此時形成一個角，并把這個角稱為零角．圖3-2正、負角示意解解圖3-3圖形示意……解在平面直角坐標系中討論角時，使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊（除端點外）落在第幾象限，則稱這個角為第幾象限的角．（終邊位于第Ｉ象限內的角均為正角嗎？終邊相同角之間相差多少？）圖3-4象限角示意如圖3-4所示解解

解或二、弧度制如圖3-5所示．圖3-5弧度制示意即圓心角的弧度數的絕對值等于該角所對的弧長與圓半徑長之比.(!本公式中圓心角必須用弧度制,不能用角度制!)由弧度的定義可知：由上面三個式子可以推導出角度制與弧度制之間的換算公式:

由換算公式,我們可以把任意大小的角進行角度制與弧度制之間的互化.下面是常用的一些特殊角的角度與弧度數的對應(表3-1).(!在以后的學習中會經常遇到這些特殊角角度制與弧度制之間的轉化,應熟記.)表3-1特殊角的角度數與弧度數對應角度弧度

說明:(1)用弧度制表示角時,弧度或rad可以省略不寫,直接用一個實數表示.(2)一般規定,正角的弧度數為正數,負角的弧度數為負數,零角的弧度數為零.

用弧度制來度量角,實際上是在角的集合與實數集之間建立了一種一一對應的關系:每一個角都有惟一確定的一個實數(即這個角的弧度數)與它相對應,反之,每一實數也都有惟一的一個角與它相對應.其對應關系如圖3-6所示.正角零角負角正數零負數圖3-6角的弧度數與實數之間的對應關系解解例9設飛輪半徑r=1.5m,每分鐘轉300轉,求:飛輪每秒鐘的轉數;飛輪圓周上一質點每秒鐘所經過的圓心角的弧度數;飛輪圓周上一質點每秒鐘所經過的圓弧長.解習題思考題：1.正角、負角、零角是如何規定的，任意角的含義是什么？2.如何利用平面直角坐標系研究角？3.終邊相同的角一定相等嗎？相等的角一定終邊相同嗎？終邊相同的角有多少？4.角度制、弧度制、密位制、納米是如何規定的？答案答案答案答案課堂練習題：2.填空：度弧度答案答案單擊左鍵顯示結果第二節任意角的三角函數一、任意角三角函數

在中學我們已經學習了銳角的三角函數，下面將其推廣到任意角的情形.圖3-7平面直角坐標系內任意角的位置示意(a)(b)(c)(d)

根據三角函數的定義可知,三角函數可以看成以角為自變量的函數.當角用弧度制來度量時,由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系,所以,三角函數可以看作以實數為自變量的函數,其定義域見表3-2.表3-2三角函數的定義域三角函數

定義域三角函數

定義域解所以解解表3-3常見特殊角的三角函數值0解二、終邊相同角的三角函數解解三、任意角三角函數值的符號

為了便于記憶，現將各三角函數值在各象限的符號用圖概括如下（圖3-9）.圖3-9三角函數值在各象限內的符號解解習題思考題：1.任意角三角函數是由角終邊上點的坐標來定義的，是哪六個三角函數？這六個比值只與什么因素有關？2.什么是象限角？什么是界限角？3.在同一平面直角坐標系中，你能將任意角三角函數符號寫出來嗎？答案答案答案課堂練習題：答案答案答案第三節同角三角函數的關系

根據三角函數的定義,我們可以得到下列同角三角函數間的基本關系式(又稱三角函數的基本恒等式).一、同角三角函數間關系

1.倒數關系二、公式應用舉例所以(！在運用平方關系時,三角函數的正負號應由角所在的象限來確定,若不能確定,要進行討論.)解

解

(!本例告訴我們,當不能確定角所在象限時,應分情況討論.)解解則(!在三角恒等式的證明中,一般采用“切、割化弦”的方法.)左邊=右邊.證明證明=右邊左邊=證法一證法二

（！證明三角恒等式的方法有很多種，具體問題應做具體分析，靈活運用各種關系式，采用適當證明方法.）證法三上式顯然成立，且以上推證與步驟均可逆，故本題得證.習題思考題：課堂練習題：答案答案答案答案答案答案第四節誘導公式

一、單位圓及正、余弦函數在單位圓上的表示法二、誘導公式

根據正弦、余弦函數在單位圓上的表示法及同角三角函數的關系得：(a)(c)(d)(b)從而得到負角三角函數的簡化公式為:解[！利用了終邊相同的三角函數簡化公式（3-2）及負角三角函數的簡化公式（3-3）.]解原式=所以有:解(a)(b)(c)(d)解解原式=解解原式=解左邊=(!由于本節公式比較多，容易混淆，建議在學習中，理解、對比記憶.)(a)(b)(c)(d)

根據正弦、余弦在單位圓上的表示法及同角三角函數之間的關系，得：解解解解證明習題思考題：課堂練習題：1.什么叫單位圓？2.誘導公式的作用是什么？4.應用誘導公式時的思路是什么？答案答案答案答案答案單擊左鍵顯示答案答案答案第五節三角函數的圖像和性質一、正弦函數的圖像和性質000.500.8710.870.500-0.50-0.87-1-0.87-0.500表3-4部分正弦函數值圖3-15正弦曲線二、五點作圖法三、余弦函數的圖像和性質表3-5部分余弦函數值010.870.500-0.500.87-1-0.87-0.5000.500.8710010-1010121010-101-1010-1四、正弦型曲線0020-200060-60五、正切函數的圖像和性質0-1.7-1-0.58-0.2700.270.5811.7六、余切函數的圖像和性質習題思考題：課堂練習題：答案答案答案答案答案參考答案思考題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回思考題解答：返回課堂練習題解答：返回課堂練習題解答