第六講：基本初等函數【考點梳理】1．冪函數的概念一般地，形如()的函數稱為冪函數，其中底數為自變量，為常數.2．幾個常見冪函數的圖象與性質函數圖象定義域值域奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性在上單調遞增在上單調遞減；在上單調遞增在上單調遞增在上單調遞增在和上單調遞減過定點過定點過定點3．常用結論(1)冪函數在上都有定義.(2)冪函數的圖象均過定點.(3)當時，冪函數的圖象均過定點，且在上單調遞增.(4)當時，冪函數的圖象均過定點，且在上單調遞減.(5)冪函數在第四象限無圖象.4.根式的概念及性質（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數，叫做被開方數．（2）性質：①(且)；②當為奇數時，；當為偶數時，5.分數指數冪①正數的正分數指數冪的意義是(，，且)；②正數的負分數指數冪的意義是(，，且)；③0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義．6.指數冪的運算性質①；②；③.7.指數函數及其性質（1）指數函數的概念函數(，且)叫做指數函數，其中指數是自變量，函數的定義域是．（2）指數函數的圖象和性質底數圖象性質定義域為，值域為圖象過定點當時，恒有；當時，恒有當時，恒有；當時，恒有在定義域上為增函數在定義域上為減函數注意指數函數(，且)的圖象和性質與的取值有關，應分與來研究8.對數的概念（1）對數：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數.（2）牢記兩個重要對數：常用對數，以10為底的對數；自然對數，以無理數e=2.71828…為底數的對數.（3）對數式與指數式的互化：.9.對數的性質、運算性質與換底公式（1）對數的性質根據對數的概念，知對數具有以下性質：①負數和零沒有對數，即；②1的對數等于0，即；③底數的對數等于1，即；④對數恒等式.（2）對數的運算性質如果，那么：①；②；③.（3）對數的換底公式對數的換底公式：.換底公式將底數不同的對數轉化為底數相同的對數，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數或以為底的自然對數.換底公式的變形及推廣：①；②；③(其中，，均大于0且不等于1，).10.對數函數及其性質（1）對數函數的定義形如(，且)的函數叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是．（2）對數函數的圖象與性質圖象性質定義域：值域：過點，即當時，在上是單調增函數在上是單調減函數【典型題型講解】考點一：冪函數的定義及其圖像【典例例題】例1．冪函數在上為增函數，則實數的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2【答案】D【詳解】因為是冪函數，所以，解得或，當時，在上為減函數，不符合題意，當時，在上為增函數，符合題意，所以.故選：D.例2．已知冪函數（p，q∈Z且p，q互質）的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數，且B．q為偶數，p為奇數，且C．q為奇數，p為偶數，且D．q為奇數，p為偶數，且【答案】D【詳解】因函數的圖象關于y軸對稱，于是得函數為偶函數，即p為偶數，又函數的定義域為，且在上單調遞減，則有0，又因p、q互質，則q為奇數，所以只有選項D正確.故選：D【方法技巧與總結】1、5種特殊冪函數的圖像及其性質；2、冪函數的單調性及奇偶性的性質判斷方法.【變式訓練】1．（2022·廣東深圳·高三期末）已知函數的圖像關于原點對稱，且在定義域內單調遞增，則滿足上述條件的冪函數可以為______．【答案】．（答案不唯一）【分析】利用冪函數的奇偶性、單調性得到指數滿足的條件，再寫出一個滿足題意的冪函數即可.【詳解】設冪函數，由題意，得為奇函數，且在定義域內單調遞增，所以（）或（是奇數，且互質），所以滿足上述條件的冪函數可以為.故答案為：（答案不唯一）.2.已知冪函數（）的圖象關于軸對稱，且在上是減函數，則的值為______.【答案】因為是冪函數，，解得或1，當時，是偶函數，關于軸對稱，在單調遞增，不符合題意，當時，是偶函數，關于軸對稱，在單調遞減，符合題意，.故答案為：.3.如圖是冪函數（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限內的圖象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它們具有性質：①都經過點（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函數．請你根據圖象寫出它們在（1，+∞）上的另外一個共同性質：___________．【答案】α越大函數增長越快【詳解】解：從冪函數的圖象與性質可知：①α越大函數增長越快；②圖象從下往上α越來越大；③函數值都大于1；④α越大越遠離x軸；⑤α＞1，圖象下凸；⑥圖象無上界；⑦當指數互為倒數時，圖象關于直線y＝x對稱；⑧當α＞1時，圖象在直線y＝x的上方；當0＜α＜1時，圖象在直線y＝x的下方．從上面任取一個即可得出答案．故答案為：α越大函數增長越快．4.已知函數，若關于的方程有兩個不同的實根，則實數的取值范圍為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】當時，函數是增函數，函數值集合是，當時，是減函數，函數值集合是，關于的方程有兩個不同的實根，即函數的圖象與直線有兩個交點，在坐標系內作出直線和函數的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線和函數的圖象有兩個交點，即方程有兩個不同的實根，所以實數的取值范圍為.故選：A考點二：指數與指數冪的運算【典例例題】例1．化簡：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）原式（2）原式＝.（3）原式.【方法技巧與總結】利用指數的運算性質解題.對于形如，，的形式常用“化同底”轉化，再利用指數函數單調性解決；【變式訓練】1．=（）A．2 B．1 C．3 D．0【答案】B【詳解】解：2.甲?乙兩人解關于x的方程，甲寫錯了常數b，得到的根為或x=，乙寫錯了常數c，得到的根為或，則原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【詳解】令，則方程可化為，甲寫錯了常數b，所以和是方程的兩根，所以，乙寫錯了常數c，所以1和2是方程的兩根，所以，則可得方程，解得，所以原方程的根是或故選：D考點三：指數函數的圖像及性質【典例例題】例1.函數恰有一個零點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設，與只有一個交點，又的圖象如下：∴.故選：C.例2.已知為定義在R上的奇函數，，且在上單調遞增，在上單調遞減，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為為定義在R上的奇函數，所以的圖象關于點對稱，且，又，所以．依題意可得，當或時，．所以等價于或，解得或．故選：D【方法技巧與總結】指數函數的解析式具有單一性；指數函數的單調性和圖像與底數有關系.【變式訓練】1.函數，下列關于函數的說法錯誤的是（

）A．函數的圖象關于原點對稱B．函數的值域為C．不等式的解集是D．是增函數【答案】A【解析】【詳解】對于A選項，函數的定義域為，且，所以，函數的圖象不關于原點對稱，A錯；對于B選項，因為，所以，，B對；對于C選項，由可得，則，解得，C對；對于D選項，對任意的，，且函數在上單調遞減，故函數是增函數，D對.故選：A.2.函數圖象過定點，點在直線上，則最小值為___________.【答案】或4.5【詳解】當時，，過定點，又點在直線上，，即，，，，（當且僅當，即，時取等號），的最小值為.故答案為：.3.已知定義在R上的函數滿足：①；②；③在上的解析式為，則函數與函數的圖象在區間上的交點個數為(

)A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由知的圖象關于對稱，由知的圖象關于對稱，作出與在,上的圖象：由圖可知函數與函數的圖象在區間上的交點個數為4．故選：B．4．（2022·北京·二模）若函數的定義域和值域的交集為空集，則正數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以的定義域為，，當時，則在上單調遞增，所以；要使定義域和值域的交集為空集，顯然，當時，若則，此時顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，若時在上單調遞減，此時，則，所以，解得，即故選：B5．（2022·甘肅省武威第一中學模擬預測（文））已知函數，則______．【答案】4043【詳解】由題意，函數，可得，設，則兩式相加，可得，所以.故答案為：.6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，滿足，且當時，，則______．【答案】【詳解】由，得，于是，又當時，，故可得，則.故答案為：.7．已知函數，則不等式的解集為___________.【答案】【詳解】①當時，，在上單調遞增，，又，恒成立；②當時，，，又，恒成立；③當時，，，；恒成立；④當時，，，，，解得：，；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.8．設函數，若是函數的最大值，則實數的取值范圍為_______．【答案】【詳解】解：因為，當時函數單調遞減且，當時，可得在時函數單調遞減，在單調遞增，若，，則在處取得最大值，不符題意；若，，則在處取得最大值，且，解得，綜上可得的范圍是．故答案為：考點四：對數概念與對數運算【典例例題】例1.（1）計算；（2）已知，求實數x的值；（3）若，，用a，b，表示．【答案】（1）7；（2）109；（3）．【詳解】（1）原式=；（2）因為，所以，所以，所以x=109；（3）因為，所以，所以．【方法技巧與總結】對數的有關運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數方程或對數不等式問題是要將其化為同底，利用對數單調性去掉對數符號，轉化為不含對數的問題，但這里必須注意對數的真數為正.【變式訓練】1.（1）求的值.（2）已知，，試用，表示【答案】（1）18；（2）.【解析】【分析】（1）首先根據題意得到原式，再利用換底公式化簡即可得到答案.（2）首先根據題意得到，，再利用換底公式化簡即可得到答案.【詳解】（1）原式（2）由得到，由，得到，即..2．（2022·廣東惠州·一模）中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內信號的平均功率S?信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數中的1可以忽略不計，按照香農公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（

）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【詳解】將信噪比從1000提升至5000時，C大約增加了.故選：B.3．（2022·廣東韶關·一模）某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩留的該種放射性物質的質量約是原來的，估計經過多少年，該物質剩留的是原來的？（

）（參考數據：）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】．A【詳解】設該種放射性物質初始質量為，經過年，剩留量變為，則可建立模型為，

即，所以大約經過16年，該物質剩留的是原來的.故選：A.4．（2022·廣東·金山中學高三期末）教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內的污濁空氣和致病微生物，降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于0.1%.經測定，剛下課時，空氣中含有0.2%的二氧化碳，若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為%，且隨時間（單位：分鐘）的變化規律可以用函數描述，則該教室內的二氧化碳濃度達到國家標準至少需要的時間為（

）（參考數據）A．11分鐘 B．14分鐘C．15分鐘 D．20分鐘【答案】．A【詳解】依題意可知時，，即，所以，由，得，兩邊取以為底的對數得，，所以至少需要分鐘.故選：A考點五：對數函數的圖像及性質【典例例題】例1．（2022·廣東中山·高三期末）已知函數（，），則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】．B【詳解】由題意，，∴，即為偶函數，排除A、D；當時，，當時，，∴、對應函數值異號，排除C；故選：B例2．（2022·廣東珠海·高三期末）設，，，則a，b，c大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】．B【詳解】，即，，而，所以，故選：B．【方法技巧與總結】對數的函數的圖像畫法，定點問題；對數函數的圖像及性質應用.【變式訓練】1．（2022·廣東茂名·一模）已知均為大于0的實數，且，則大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】．C【詳解】解：因為均為大于0的實數，所以，進而將問題轉化為函數與直線的交點的橫坐標的關系，故作出函數圖像，如圖，由圖可知故選：C2．（2022·廣東茂名·一模）已知函數，若均不相等，且，則的取值范圍是___________【答案】【詳解】不妨設，由圖可得，，所以即，由得，，所以的取值范圍是故答案為：3．（2022·廣東湛江·一模）已知函數，，用表示m，n中的最小值，設函數，若恰有3個零點，則實數a的取值范圍是___________.【答案】．【詳解】函數恒過點，且其圖象開口向上，的零點為1，當的零點至少有一個大于或等于1時，如圖示：函數的零點至多有兩個，不符合題意，故要使恰有3個零點，則函數在區間上存在兩個零點，如圖示，故解得，故答案為：4.己知實數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】對利用換底公式等價變形，得，結合的單調性判斷，同理利用換底公式得，即，再根據對數運算性質得，結合單調性，，繼而得解.【詳解】由可得，因為在上單調遞增，且，，所以，即，其次，，所以，又因為且單調遞增，所以由可知，綜上，．故選：A5.（多選題）已知函數（且）的圖象如下所示．函數的圖象上有兩個不同的點，，則（

）A．， B．在上是奇函數C．在上是單調遞增函數 D．當時，【答案】BCD【詳解】對于A，由圖像可知，函數（且）在上單調遞增，所以，因為經過，所以，所以，，故A錯誤.對于B，，定義域關于原點對稱，，所以在上是奇函數，故B正確.對于C，對于，由題意不妨令，則，因為，，所以，即，所以在上是單調遞增函數，故C正確.對于D，，因為，，所以，所以，當且僅當時等號成立，即當時，成立，故D正確.故選：BCD6.（2022·廣東·三模）已知，e是自然對數的底，若，則的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】CD【詳解】設，則在R上單調遞增，因為，則，設，則，即，所以，設，，當，當，則在單調遞減，在單調遞增，，即，所以，即，故的取值可以是3和4.故選：CD.【鞏固練習】1．已知函數，則（

）A．是偶函數，且在是單調遞增 B．是奇函數，且在是單調遞增C．是偶函數，且在是單調遞減 D．是奇函數，且在是單調遞減【答案】B【解析】【詳解】解：定義域為，且，所以為奇函數，又與在定義域上單調遞增，所以在上單調遞增；故選：B2．1947年，生物學家MaxKleiber發表了一篇題為《bodysizeandmetabolicrate》的論文，在論文中提出了一個克萊伯定律：對于哺乳動物，其基礎代謝率與體重的次冪成正比，即，其中F為基礎代謝率，M為體重．若某哺乳動物經過一段時間生長，其體重為原來的10倍，則基礎代謝率為原來的（參考數據：）（

）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍【答案】C【詳解】設該哺乳動物原體重為、基礎代謝率為，則，經過一段時間生長，其體重為，基礎代謝率為，則則，則故選：C3．已知函數，且，則（

）A．26 B．16 C．－16 D．－26【答案】A【詳解】由題意得當時，，方程無解，當時，，解得，所以，故選：A4．若函數的零點為，則（

）．A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】由題設，由得：，若，可得，若，可得，綜上，，故.故選：B5．已知函數滿足：對任意，．當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，則，即，所以，即，所以，因為，所以，所以，故選：C6．關于函數和實數的下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【詳解】解：因為，所以函數是一個偶函數，又時，與是增函數，且函數值為正數，故函數在上是一個增函數由偶函數的性質得函數在上是一個減函數，此類函數的規律是自變量離原點越近，函數值越小，即自變量的絕對值小，函數值就小，反之也成立，考察四個選項，A選項，由，無法判斷，離原點的遠近，故A錯誤；B選項，，則的絕對值大，故其函數值也大，故B不對；C選項是正確的，由，一定得出；D選項由，可得出，但不能得出，不成立，故選：C．7．區塊鏈作為一種新型的技術，被應用于許多領域.在區塊鏈技術中，某個密碼的長度設定為512B，則密碼一共有種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況下，需要進行次運算.現在有一臺計算機，每秒能進行次運算，那么在最壞的情況下，這臺計算機破譯該密碼所需的時間大約為（參考數據，）（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設在最壞的情況下，這臺計算機破譯該密碼所需的時間為秒，則有，兩邊取常用對數，得，所以.故選：B.8．已知，，其中且，且，若，則的值為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【詳解】因為，所以，得，所以.即.因為，所以，解得故選：A．9．已知正實數x，y，z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，則，故，故故選：C二、多選題10．在同一直角坐標系中，函數與的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】當時，在單調遞增且其圖象恒過點，在單調遞增且其圖象恒過點，則選項B符合要求；當時，在單調遞減且其圖象恒過點，在單調遞減且其圖象恒過點，則選項D符合要求；綜上所述，選項B、D符合要求.故選：BD.11．（2022·廣東汕頭·二模）設a，b，c都是正數，且，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【詳解】解：設，則，，，所以，即，所以，所以，故D正確；由，所以，故A正確，B錯誤；因為，，又，所以，即，故C正確；故選：ACD12．下列函數中，存在實數a，使函數為奇函數的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】對于A中，當時，函數的定義域為，關于原點對稱，又由，即，所以函