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有質量的彈簧放寒假回家,爸爸說要抱我,看看我長重了沒有,我故意使勁想讓他抱不動,我繃緊肌肉爸爸費了好大力量也沒抱起我。“不要使勁,”爸爸說,“使勁我怎么抱得動!”我不想繼續難為他,便放松了肌肉,他果然輕松的舉起了我,“還要多鍛煉呀!太輕了!”爸爸對我說。突然,腦中忽然閃過那個詞,使勁?我使得可是內力呀!為什么內力讓自己顯得更重了?于是便有了以下這些思考:有質量的彈簧為了解決以上的問題,由于人體有彈性,不妨將人體看成一個有質量的彈簧,肌肉的收縮改變彈簧的倔系數。下面我們的討論對象就是這個有長度有質量的彈簧。當我研究它時,發現這個由人體抽象而來的模型有很多很復雜的性質。質心的位置設彈簧的原長為L,質量為M,倔強系數為K,立于地面上,高為h,線密度為p是x的函數,下面計算質心離頂端的高度d。考慮微元dm,它上面的彈簧共重mg,則有dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dm兩邊積分,其中a為彈簧在重力作用下收縮的長度。得到,a=注:這里的計算不能對整個彈簧使用胡克定律,aK=Mg,從而得到a=,因為此時的彈簧各個部位的壓縮狀況是不同的了!又g=,即g=KL-MK/p兩邊對x求導:gp=,解此微分方程得到:p=,其中p0=M/L.所以質心離頂端的高度d=,其中a=,p0=M/L.容易看到當k趨向無窮大時,d=L/2,此時彈簧可看作剛體,質心當然是在重點!求導后容易發現d/l(l=L-a),隨著K的增大減小,其實從p的表達式可以直接觀察到這一點,因為當K小時,p隨x的增加變化快,相反當k很大時,p隨x的增加增加的較慢,故質心將更接近中點!舉起有質量的彈簧如圖,設用恒力f向上提彈簧的頂端,當底端剛好離開地面時彈簧的動能為零。彈簧舉起前后的高度分別是h1和h2,故f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2,E1分別是(2),(1)中彈簧的彈性勢能,若用小于Mg的力f,去拉彈簧,則它將先做向上的加速度不斷減小的加速運動,只到加速度變為向下,繼續向上做減速運動,當底端脫離的瞬間速度為零,此時加速度仍向下,故(2)中彈簧的拉伸長度a=,其中<g,故E2〈E1。所以f<Mg(h2-h1)/h,由2中的討論知h1<L1/2,h2<L2/2,其中L1,L2為(1),(2)中彈簧的長度。而h=L2-L1。所以f〈Mg/2。回到本文開頭提出的問題,當肌肉繃緊時近似將人體看作剛體,舉起剛體的力顯然是Mg,但當肌肉松弛下來,將人體看作一個有質量的彈簧舉起它所需要的力就大大減小了!幾個問題當我重新思考質量不能忽略的彈簧時,發現很多問題中如果考慮它將變得異常復雜,而有時彈簧的質量是確實不能忽略的。能量的傳遞問題曾經不止一次的碰到這樣的物理模型,一個輕質彈簧連接一個小球,在光滑的水平面上,將自己儲存的彈性勢能傳遞給小球使之獲得動能,通常我們當然認為彈簧與物體脫離后無動能,能量完全傳遞給了物體,但如果考慮彈簧的質量情況就大不一樣了!圖(1)是不考慮彈簧質量的情況。圖(2)中我們假設物體和彈簧的質量都是M,彈簧原長L,倔強系數K,我們將其看成兩段長為L/2的輕質彈簧之間連著一個質量為M的小球,不妨設物體的質量也為M。對小球和物體列運動方程:設小球,物體偏離平衡位置的長度分別為,x1,x2,彈簧本來壓縮2A。,;解得x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=。物體與小球之間的距離x=Acoswt;當wt=時,物體與彈簧分離,而此時小球有速度Aw,故具有動能E=,物體此時的動能為E0=,故僅有五分之四能量傳遞給了物體!小球隨后做角頻率為的簡諧振動。容易發現采用(2)的假設,物體從開始運動到分離將經過更長的時間!但是(2)的假設是很不精確的,真正準確的假設是應該將彈簧是為N個質量為M/N的小球,之間連有倔強系數為N*K的輕質彈簧,然后考慮N趨向無窮的極限情況。原則上通過微分方程組的求解可以求到具體的運動情況,但這種運動無疑將是十分復雜的由于數學知識有限本人在此無法給出一個解答。簡振模以上的第二種假設實際上引出了一個更復雜更深刻的問題,那便是多自由度的振動!以下是作者的一些猜測與疑惑:在圖(1),(2)中N個質量為m的小球被彈簧(倔強系數k)連接起來,分別掛在兩面墻之間,和約束在一個球體上。由振動知識,當初始條件合適時,它們有N個簡振頻率,可以做N總不同模式的振動,當N趨向無窮時,它們的角頻率頻譜是連續的從0到2w0的,其中w0=,若將有質量的彈簧抽象成無窮多個小球串上輕彈簧,是否意味著彈簧再一定初始條件下可以以某種模式振動,若可以考慮到m=M/N,k=K*N,w0將趨向無窮,那么它的角頻率將是可以趨向無窮的,這可能嗎?總結彈簧是一個質量連續分布的固體,討論它的運動狀態和內部應力需要更多的物理和數學知識,由于水平所限以上的很多推理不免有謬誤。但有一點是很清楚的,那就是當考慮彈簧的質量時簡單的問題變的不簡單了。物理學習不正是這樣一個不斷提問,不斷改進假設,不斷深入學習的過程嗎?參考文獻:1。《力學》楊維鴻2.《物理學難題集》舒幼生等3.《新概念力學》趙凱華等4.《新概念力學十講》趙凱華等物理一班第七章有序地質量最優分割法第一節概述地層劃分與對比是煤田地質勘探的主要任務之一。在地質工作中,通常是尋找地層的不整合或假整合界線,或者利用古生物化石、巖石礦物等地質特征對地層進行劃分與對比。這種劃分方法比較直觀,適用于較大地層單元的劃分與對比。當地質特征間的差異性不顯著時,運用上述直觀、定性的方法來解決較小地層單元的進一步劃分就有一定的困難。因此,近年來開始利用有序地質量,即運用數學方法,并借于電子計算機定量地劃分地層,提出了“有序地質量最優分割法”。地質數據中有相當多是有序的。這些按一定順序排列的地質變量,叫做有序地質量。例如,沿地層露頭剖面采集的巖石標本;鉆孔取出的巖芯樣品;與這些巖石、樣品有關的巖性、物理化學和古生物數據;以及地球物理測井數據等。它們都是有序地質量。這類數據的特點是樣品的前后次序不能變更。所以,一些不考慮樣品排列順序的數學處理方法,對此不適用。有序地質量最優分割法,就是對一批有序數據(地質體)進行分段的統計方法。設有個按順序排列的樣品,每個樣品測得個變量,這批數據可用數據矩陣的形式表示為其中,表示第個樣品第個變量的取值。若對以上個有序樣品進行分割(分段),可能有種劃分方法,每一種分法稱為一種分割。在所有這些分割中,存在這樣一種分割,它使得各段(組)內部樣品之間的差異性最小(即樣品數據的組內離差平方和最小),而使段(組)之間的差異性最大(即樣品數據的組間離差平方和最大)。這種對個樣品分段并使組內離差平方和最小的分割方法,稱為最優分割法。樣品變量總離差平方和的分解式為(7—1)式中,為總離差平方和;為組內離差平方和;為組間離差平方和。由式(7—1)可知,如果個樣品分為段,每段的樣品個數為,若每個樣品只取一個變量,則(7—2)(7—3)因此,尋求最優分割,就是用計算的分法找出使組內離差平方和()最小的那些分割點。這與判別分析中費歇準則相似,所以有序地質量最優分割法,有人又稱為“F-分割法”或“有序樣品的聚類分析”。第二節單元有序數據的最優分割若有個有序樣品,每個樣品只取一個變量,則有個有序數據序列,為現在試圖將這個樣品按順序分割為段,使段(組)內離平差和盡可能小,而組間離差平方和盡可能大。為此,用表示從第個樣品數據開始至第個樣品數據為止的某段樣品,其中該段樣品變量的離差平方和為(7-4)式中由于能夠反映樣品段內樣品間差異的情況,愈小,表示段內各樣品之間差異性愈小;反之,愈大,表示段內各樣品之間差異性愈大。因此,又把稱為段的直徑。若個樣品分為段:,為最優段分割。其各段離差平方和(段直徑)分別為:,。根據最優分割的原則,其組內離差平方和必須滿足(7-5)或(7-6)在實際應用時,往往事先不知道個有序樣品客觀上究竟能劃分為幾段。因此,必須從最優分成二段、三段、…、段進行分析。一、最優二段分割若把個有序樣品分為兩段,則有如下種不同的分法,即在上述種分法中,究竟哪一種方法最優?只須計算出每一種分割的組內離差平方和,并從其中找出組內離差平方和最小的那一種分割,就是所求的最優二段分割。在個有序樣品中,對任意一個都可以確定一個二段分割,即。若把對個樣品在第個樣品處進行的二段分割的組內離差平方和記為(7-7)式中,表示被分割的樣品數;表示把個樣品分為二段;表示以第個樣品為分割點。上述種分割的組內離差平方和分別為……………在中,當時,則假設當時,達到最小,即則最優二段分割為,其中為最優二段分割點。二、最優三段分割若把個有序樣品分為三段,其中必有兩個分割點。假設第和第個樣品為分割點,則三段分割為若把三段分割的組內離差平方和記為:,其中為兩個分割點,則顯然,如果有為最優三段分割,則必為最優二段分割,否則必存在另一個最優二段分割,使這與為最優三段分割相矛盾。因此,如果對個有序數據進行最優三段分割,必須對任意一個,即前個數據先求出其最優二段分割,為若則前個樣品的最優二段分割與構成一個三段分割。最后,找出一個適當的,如,使得則為個樣品的最優三段分割,其中和為最優三段分割點。三、最優段分割若對個有序樣品數據進行最優段分割,可先找出個樣品的最優段最優分割,即從而得與構成段分割,但不一定是最優段分割。可選擇一個適當的,如時,使得可得最優段分割為,其中為最優段分割點。應當指出,分割的段數一直可做到所要求的段數為止;或者可以預先給定一個小正數,使段分割的組內離差平方和后為止。這樣得出的就是最后的分割的段數。由圖所示,組內離差平方和是隨分段段數的增加而單調地減少。所以當時,組內離差平方和。因此,可根據組內離差平方和隨段數增加而下降到比較穩定的時候(即圖中曲線平緩時)再確定分段段數。第三節多元有序數據的最優分割為了分層,有時需要匯集樣品更多的信息,采用多個變量指標。例如,采集個有序樣品,每個樣品測得個變量,原始數據可構成一個階矩陣,為在多變量情況下,人們自然會聯想到是否能將單元有序數據最優分割原理引申到多元數據中來,以此對個有序樣品進行分割,一般最簡單有效的辦法就是把一段樣品多個變量合并為一個變量來處理,統一定義“段直徑”。但是,為了使不同變量間具有共同的數據基礎,事先要對各個變量進行數據規范化處理,如使數據作正規化變換。原始數據矩陣中元素記為:,則正規化數據為(7-8)得正規化數據矩陣根據正規化數據,將樣品段的段直徑定義為(7-9)式中(7-10)若個有序樣品分為段,每段內有個樣品,則多元有序數據最優分割的原理與單元有序數據最優分割一樣,使組內離差平方和(7-11)應當指出,樣品的段直徑除了用式(7-9)定義外,還可用其他方法定義。如用樣品數據絕對值距離來定義,即(7-12)也可用其他度量空間的距離來定義。第四節最優分割法的計算步驟數據正規化設原始數據陣為將中的元素變換為得正規化數據矩陣計算段直徑矩陣其中因為故必須計算個,得計算全部分割的組內離差平方和(或段直徑和)及各種分段的最優分割最優二段分割由矩陣對每一個計算相應的組內離差平方和,為找出最小值,確定相應的最優二段分割點,即分割點為。從而得到個樣品的最優二段分割為,其中為最優二段分割點。2)最優三段分割根據矩陣及最優二段分割結果,對每一個計算相應的三段分割的組內離差平方和,為然后求出最小值,并確定相應的最優三段分割點,為從而得到個樣品的最優三段分割為,其中,為最優三段分割點。3)最優段分割根據矩陣及最優段分割計算結果,對于每一個分別計算相應的段分割的組內離差平方和,為找出最小值,并確定相應的最優段分割點,即從而得到個樣品的最優段分割為……,其中,為最優段分割點。繪制曲線在曲線上,選擇曲線拐點對應的值(取整)作為最終分段數。例7·1某煤礦所采煤層的煤質牌號為主焦煤,在煤巷中見一火成巖墻侵入煤層,致使煤質發生變化,為弄清楚煤質變化情況,從火成巖附近每隔m依次取一煤樣,獲得個有序煤樣的鏡煤最大反射率數據為試進行最優分割。此樣本最可能分割法共有種,今要在這種分割中找出一種最優的分割(類內差別小,類間差別大)。其作法如下:對原始數據進行正規化變換后得正規化數據,為計算段直徑矩陣,即最優二段分割。由對于時,計算當時,則其中當時,則其中當時,則其中當時,則其中當時,則從而得到個樣品的最優二段分割為。其中,為分割點。最優三段分割。即對于時,計算

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