內(nèi)容索引010203知識梳理構(gòu)建體系專題歸納核心突破高考體驗(yàn)知識梳理構(gòu)建體系【知識網(wǎng)絡(luò)】

【要點(diǎn)梳理】

1.空間向量共線的充要條件與空間向量共面的充要條件的內(nèi)容是什么?提示:空間向量共線的充要條件:對任意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.空間向量共面的充要條件:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.2.空間向量基本定理與空間向量的坐標(biāo)表示的內(nèi)容是什么?提示:空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.空間向量的坐標(biāo)表示:在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a和單位正交基底{i,j,k},那么存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),簡記作a=(x,y,z).3.空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的幾何表示與坐標(biāo)表示是什么?請完成下表:4.用空間向量解決立體幾何中的位置關(guān)系問題主要體現(xiàn)在哪些方面?請完成下表:5.空間向量在立體幾何的距離問題、夾角問題中的應(yīng)用有哪些?(3)線面距離與面面距離:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.夾角問題中的應(yīng)用:【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)零向量是長度為0,沒有方向的向量.(×)(2)有向線段可用來表示空間向量,有向線段長度越長,其所表示的向量的模就越大.(√)(3)不論λ取什么實(shí)數(shù),λa與a一定共線.(√)(4)若a·b=0,則a,b中至少有一個(gè)為0.(×)(6)對于三個(gè)不共面向量a1,a2,a3,不存在實(shí)數(shù)組(λ1,λ2,λ3),使λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.(×)(8)空間存在兩個(gè)共線向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),滿足a1b1+a2b2+a3b3=0.(√)(9)若a,b為空間向量,則(a+b)·(a-b)=a2-b2.(√)(10)平面的法向量與該平面內(nèi)的所有向量都是垂直的.(√)(11)若平面α,β的法向量分別為u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),則平面α,β互相垂直.

(√)(12)若向量n與直線l的方向向量垂直,A∈l,P?l,則點(diǎn)P到直線l的距離可以看成是

在n上的投影向量的長度.(√)(13)設(shè)直線l與平面α所成的角為θ,直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則cosθ=|cos<u,n>|.(×)專題歸納核心突破專題一空間向量的線性運(yùn)算反思感悟在幾何體中,根據(jù)圖形的特點(diǎn),選擇公共起點(diǎn)最集中的向量中的三個(gè)不共面的向量作為基底,或選擇有公共起點(diǎn)且關(guān)系最明確(如夾角或線段長度)的三個(gè)不共面的向量作為基底,這樣更利于解題.專題二利用空間向量解決平行與垂直問題【例2】

在四棱錐P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M為PC的中點(diǎn).(1)求證:BM∥平面PAD;(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使MN⊥平面PBD?若存在,確定N的位置;若不存在,說明理由.解:以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1).又BM?平面PAD,∴BM∥平面PAD.

反思感悟1.判斷直線與平面的位置關(guān)系,有兩種思路,一是利用判定定理判斷;二是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系.2.處理探究性問題的步驟:先假設(shè)存在,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),將條件轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算,通過計(jì)算求變量的值,若能解出符合條件的變量的值,就存在;若解不出變量的值,就不存在.【變式訓(xùn)練1】

如圖所示,已知PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,PA=AD,M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.證明:以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)PA=AD=a,AB=b,則P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).∵M(jìn),N分別為AB,PC的中點(diǎn),∴可取n2=(0,1,1).∵n1·n2=0,∴n1⊥n2.∴平面PMC⊥平面PDC.專題三利用空間向量解決距離問題(1)求點(diǎn)A到平面PCF的距離;(2)求直線AD到平面PBC的距離.分析:(1)計(jì)算點(diǎn)到平面的距離;(2)先證明AD∥平面PBC,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.解:(1)由題意知AP,AB,AD兩兩垂直,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a).設(shè)F(0,m,0)(0≤m≤3a),設(shè)平面PCF的法向量為n=(x,y,z),

取x1=1,則n1=(1,0,1).因此n1=(1,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.∵AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,∴AD∥平面PBC.∴直線AD到平面PBC的距離即為點(diǎn)A到平面PBC的距離.反思感悟1.求點(diǎn)到平面的距離,常利用向量法,轉(zhuǎn)化為平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的長度.2.求直線到平面的距離,往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解,且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取,易于求解.【變式訓(xùn)練2】

如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,BC=3,AA'=4,則點(diǎn)B到直線A'C的距離為

.

解析:∵AB=2,BC=3,AA'=4,專題四利用空間向量解決夾角問題【例4】

如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=8,AA1=4,M為B1C1上一點(diǎn),且B1M=2,點(diǎn)N在線段A1D上,A1D⊥AN.求:(2)直線AD與平面ANM所成角的正弦值;(3)平面ANM與平面ABCD夾角的余弦值.分析:建系→寫相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)→求法向量及方向向量→求向量的夾角解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),D(0,8,0),M(5,2,4),A1(0,0,4).(2)由(1)知A1D⊥AM,∵A1D⊥AN,且AM∩AN=A,∴A1D⊥平面ANM.反思感悟解決立體幾何中的夾角問題的思路:思路一:利用定義,在圖形中找出所求的角,解三角形求出所求角;思路二:利用向量法,轉(zhuǎn)化為向量與向量之間的夾角.注意線線角、線面角、面面角與對應(yīng)向量滿足的關(guān)系.【變式訓(xùn)練3】

如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,CC1的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面ACD1;(2)求異面直線EF與AB所成角的余弦值;(3)在棱BB1上是否存在一點(diǎn)P,使得平面ACP與平面ABC的夾角為30°?若存在,求出BP的長;若不存在,請說明理由.解:分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),E(1,0,2),F(0,2,1).∴EF∥CG.又CG?平面ACD1,EF?平面ACD1,∴EF∥平面ACD1.(3)滿足條件的點(diǎn)P存在.設(shè)點(diǎn)P(2,2,t)(0<t≤2),高考體驗(yàn)考點(diǎn)一利用空間向量研究夾角問題1.(2018·全國Ⅱ高考)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(

)答案:C

解析:以DA,DC,DD1為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

考點(diǎn)二立體幾何中的距離問題2.(2019·全國Ⅰ高考)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為

.解析:作PD,PE分別垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.連接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD?平面PDO,∴CD⊥OD.考點(diǎn)三利用空間向量解決立體幾何綜合問題3.(2019·全國Ⅰ高考)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).(1)證明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.解:(1)連接B1C,ME.因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn),因此四邊形MNDE為平行四邊形,MN∥ED.又MN?平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.設(shè)n=(p,q,r)為平面A1MN的法向量,

4.(2019·全國Ⅱ高考)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)證明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.(1)證明:由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解:由(1)知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=A