第四章解析函數級數表示§4.1復數項級數§4.2復變函數項級數§4.3泰勒級數§4.4洛朗級數1/409/16/20231§4.1復數項級數1.復數序列極限2/409/16/202323/409/16/202332.復數項級數4/409/16/202345/409/16/20235定理2將復數項級數審斂問題轉化為實數項級數審斂問題.6/409/16/202367/409/16/20237[解]1)

因發散;收斂,

故原級數發散.8/409/16/202389/409/16/2023910/409/16/202310(1)發散;(2)絕對收斂;(3)收斂,條件收斂;(4)絕對收斂;(5)絕對收斂.11/409/16/202311§4.2復變函數項級數1.復變函數項級數12/409/16/20231213/409/16/2023132.冪級數(阿貝爾定理)14/409/16/20231415/409/16/20231516/409/16/20231617/409/16/20231718/409/16/20231819/409/16/20231920/409/16/2023204.冪級數運算和性質

象實變冪級數一樣,復變冪級數也能進行有理運算.設21/409/16/202321這個代換運算,在把函數展開成冪級數時,有著廣泛應用.22/409/16/20232223/409/16/2023233)f(z)在收斂圓內能夠逐項積分,即24/409/16/202324§4.3泰勒級數25/409/16/202325利用泰勒展開式,我們能夠直接經過計算系數:把f(z)在z0展開成冪級數,這被稱作直接展開法比如,求ez在z=0處泰勒展開式,因為(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因為ez在復平面內處處解析,上式在復平面內處處成立,收斂半徑為+.26/409/16/202326一樣,可求得sinz與cosz在z=0泰勒展開式:除直接法外,也能夠借助一些已知函數展開式,利用冪級數運算性質和分析性質,以唯一性為依據來得出一個函數泰勒展開式,此方法稱為間接展開法.比如sinz在z=0泰勒展開式也能夠用間接展開法得出:27/409/16/202327[解]因為函數有一奇點z=-1,而在|z|<1內處處解析,所以可在|z|<1內展開成z冪級數.因為

例1

把函數展開成z冪級數.28/409/16/202328例2

求對數函數主值ln(1+z)在z=0處冪級數展開式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負實軸剪開平面內是解析,

-1是它奇點,所以可在|z|<1展開為z冪級數.-1OR=1xy29/409/16/202329推論1:推論2：

推論3:冪級數和函數在其收斂圓周上最少有一個奇點.(即使冪級數在其收斂圓周上處處收斂)30/409/16/202330推論4：比如：它有兩個奇點

i,而這兩個奇點都在此函數展開式收斂圓周上,所以這個級數收斂半徑只能等于1.所以,即使我們只關心z實數值,但復平面上奇點形成了限制.1-z2+z4-…如復變函數31/409/16/20233132/409/16/20233233/409/16/202333§4.4洛朗級數34/409/16/202334一個在某圓環域內解析函數展開為含有正,負冪項級數是唯一,這個級數就是f(z)洛朗級數.依據由正負整次冪項組成級數唯一性,普通能夠用代數運算,代換,求導和積分等方法去展開,以求得洛朗級數展開式.R1R2zrK1zRK2zz035/409/16/202335解：函數f(z)在圓環域i)0<|z|<1;ii)1<|z|<2;iii)2<|z|<+內是處處解析,應把f(z)在這些區域內展開成洛朗級數.xyO1xyO12xyO236/409/16/202336先把f(z)用部分分式表示:ii)在1<|z|<