第二章投資組合的收益和風險分析第一節現代組合理論的產生及馬科維茨背景假設第二節兩資產組合的收益和風險分析第三節n種資產的收益和風險分析第三節可行域、有效邊界、無差異曲線和最優組合

本章知識點:馬科維茨背景假設；協方差、相關系數及計算；兩資產構成的組合的必要收益率和方差的計算；最小方差組合的計算及作用；n種資產構成的組合的必要收益率和方差的計算；可行域、有效邊界、最優組合的含義和作用；市場組合的含義及決定因素。第一節現代組合理論的產生

及馬科維茨背景假設一、現代組合理論的產生現代的風險收益模型是基于哈里．馬柯威茨[1]（Ｈarry．Markowitz）的資產組合理論建立起來的。早在馬柯馬柯威茨現代組合理論問世之前，人們就已經認識到分散投資的重要性，希望通過構建證券組合來降低風險。傳統的證券組合管理靠非數量化的方法即基礎分析和技術分析來選擇證券，構建和調整證券組合。現代組合理論的產生[1]Ｈarry．Markowitz于1952年發表的經典之作《PortfolioSelection》一文，使投資組合理論發生了質的飛躍，他以資產組合為基礎，配合投資者對風險的態度，建立了風險與收益的定量分析模型，由此便產生了現代投資組合理論。他的主要貢獻是，發展了一個概念明確的可操作的在不確定條件下選擇投資組合理論，該理論包含兩個重要內容：均值－方差分析方法和投資組合有效邊界模型他的研究在今天被認為是金融經濟學理論前驅工作，被譽為“華爾街的第一次革命”。因在金融經濟學方面做出了開創性工作，從而獲得1990年諾貝爾經濟學獎。

思考題：現代組合理論產生的歷史沿革及馬科維茨對現代組合理論的貢獻和馬科維茨理論的主要內容。

二、馬科維茨背景假設假設一，投資者以期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差（或標準差）來衡量收益率的不確定性（風險），因而投資者在決策中只關心投資的期望收益率和方差。

假設二，投資者是不知足的和厭惡風險的，即投資者總是希望期望收益率越高越好，而方差越小越好。馬柯威茨均值方差模型就是在上述兩個假設下導出投資者只在有效邊界上選擇證券組合，并提供確定有效邊界的技術路徑的一個數理模型。選擇題：馬柯威茨均值—方差模型的假設條件之一是（）。A．投資者以收益率均值來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的標準差來衡量收益率的不確定性B．市場沒有摩擦C．投資者總是希望期望收益率越高越好；投資者即可以是厭惡風險的人，也可以是喜好風險的人D．投資者對證券的收益和風險有相同的預期

第二節兩資產組合的收益和風險分析P182一、協方差和相關系數二、組合的期望收益率和方差在考察投資組合的收益與風險時，常常要涉及到各證券間的相互關聯性。能夠描述這種關聯性的指標就是統計學中的協方差與相關系數。一、協方差和相關系數（一）收益的協方差 設A、B兩種資產的收益率分別為RA、RB，由于受眾多因素影響，收益率是離散變量。RA與RB之間的協方差(covariance)為：兩種資產AB的協方差σAB是指資產A和B的收益率相應變動或相應變化程度的指標，或者說協方差測量的是兩個變量相對各自平均值“一起”變動的程度。正的協方差意味著資產收益同向變動，負的協方差表明資產收益反方向變動。但協方差的大小并不決定兩資產相關性的強弱.E[(RA-E(RA)(RB-E(RB)]例1（第二章的例題），假設有兩種證券，A是一個高科技公司，A所處的領域競爭非常激烈，如果經濟發展迅速并且該公司的項目搞得很好，取得較大市場占有率，利潤就會很大，否則利潤很小甚至可能虧本。B是一個生產老產品并且是生活必需品的公司，產品銷售前景可以準確預測出來。假設未來的經濟情況有三種：繁榮、正常、衰退，有關的概率分布如下：經濟情況 繁榮 正常 衰退概率P0.3 0.40.3 A的收益率 90% 15% -60%B的收益率 20% 15%10%前面的計算可知，AB兩種證券收益率的期望值均為：E（rA）=E（rB）=0.15求A、B的協方差。

AB=30%（90%-15%）（20%-15%）+40%（15%-15%）（15%-15%）+30%（-60%-15%）（10%-15%）=0.0225如果每個收益率的概率分布相等，則RA與RB之間的協方差為：例2：E(rA)=（0.04-0.02+0.08-0.004+0.04）/5=0.0272E(rB)=（0.02+0.03+0.06-0.04+0.08）/5=0.3求A、B的協方差。

AB=[（0.04-0.0272）（0.02-0.03）+（-0.02-0.0272）（0.03-0.03）+（0.08-0.0272）（0.06-0.03）+（-0.004-0.0272）（-0.04-0.03）+（0.04-0.03）（0.08-0.03）]/（5-1）=0.00428/4=0.00107rAr2r3r4r5E(r)A0.04-0.020.08-0.0040.040.0272B0.020.030.06-0.040.080.03P185（二）相關系數P186AB兩種證券之間的相關系數（Correlationcoefficient）為：相關系數ρAB和協方差在概念上是等價的術語，相關系數的計算是通過標準差的乘積將協方差標準化得到的。證券收益率之間的相互關聯性是客觀存在的，根據相關系數的大小，可以判斷兩證券之間的關聯強度。即：用協方差除以標準差的乘積就簡單地（卻是重要地）賦予了相關系數一個值。這個值在不同資產之間是可比的，ρAB的取值：—1≤ρAB≤1ρAB

<0兩種資產負相關ρAB=-1完全負相關ρAB=0兩種資產不相關ρAB

>0兩種資產正相關ρAB=+1完全正相關（二）相關系數P186例1：概率P0.3 0.40.3 A的收益率 90% 15% -60%B的收益率 20% 15%10%前面的計算可知：E（rA）=E（rB）=0.15

AB=0.0225求A、B的協方差和相關系數。

A2=[30%（90%-15%）2+40%（15%-15%）2+030%（-60%-15%）2]1/2=0.58092

B2=[30%（20%-15%）2+40%（15%-15%）2+030%（10%-15%）2]1/2=0.038732ρAB=0.0225/（0.5809*0.03873）=1了解相關系數的取值范圍以及在什么情況下相關系數等于1或-1

。改變上例數據：經濟情況 繁榮 正常 衰退概率P0.3 0.40.3 A的收益率 40% 20% -60%B的收益率 20% 15%-5%

AB=30%（40%-2%）（20%-10.5%）+40%（20%-2%）（15%-10.5%）+30%（-60%-20%）（-5%-10.5%）=0.0429EA=30%×40%+40%×20%+30%×（-60%）=2%EB=30%×20%+40%×15%+30%×（-5%）=10.5%A2=30%（40%-2%）2+40%（20%-2%）

+30%（-60%-2%）2=41.42%2B2=30%（20%-10.5%）2+40%（15%-10.5%）2+30%（-5%-10.5%）2=10.36%2ρAB=0.0429/（41.42%*10.36%）=1將上例改為：經濟情況 繁榮 正常 衰退概率P0.3 0.40.3 A的收益率 40% 20% 10%B的收益率 20% 15%12.5%

AB=30%（40%-23%）（20%-15.75%）+40%（20%-23%）（15%-15.75%）+30%（10%-23%）（12.5%-15.75%）=0.003525E(r)

A=30%×40%+40%×20%+30%×10%=23%E(r)

B=30%×20%+40%×15%+30%×12.5%=15.75%A2=30%（40%-23%）2+40%（20%-23%）

+30%（10%-23%）2=11.87%2B2=30%（20%-15.75%）2+40%（15%-15.75%）2+30%（12.5%-15.75%）2=2.97%2ρAB=0.003525/（11.87%*2.97%）=1比較AB和AC的收益率的相關性和相互變動的程度。經濟情況 繁榮 正常 衰退概率P0.3 0.40.3 A的收益率 40% 20% 10%B的收益率 20% 15%12.5%c的收益率 30% 15%5%

Ac=30%（40%-23%）（30%-16.5%）+40%（20%-23%）（15%-16.5%）+30%（10%-23%）（5%-16.5%）=0.01155E(r)

c=30%×30%+40%×15%+30%×5%=16.5%c2=30%（30%-16.5%）2+40%（15%-16.5%）2+30%（5%-16.5%）2=9.76%2ρAc

=0.01155/（11.87%*9.76%）=0.9966ρAB

=1,

AB=0.003525比較AB和AC的收益率的相關性和相互變動的程度。經濟情況 繁榮 正常 衰退概率P0.3 0.40.3 A的收益率 40% 20% 10%B的收益率 20% 15%12.5%c的收益率 30% 15%7.5%

Ac=30%（40%-23%）（30%-17.25%）+40%（20%-23%）（15%-17.25%）+30%（10%-23%）（7.5%-17.25%）=0.0106E(r)

c=30%×30%+40%×15%+30%×7.5%=17.25%c2=30%（30%-17.25%）2+40%（15%-17.25%）2+30%（7.5%-17.25%）2=8.906%2ρAc

=0.0106/（11.87%*8.906%）=1ρAB

=1,

AB=0.003525（二）相關系數P186例2：求A、B的相關系數。

AB=0.00107

A={[1/（5-1）][（0.04-0.0272）2+（-0.02-0.0272）2+（0.08-0.0272）2+（-0.004-0.0272）2+（0.04-0.0272）2]}1/2=0.00428/4=0.0397

B={[1/（5-1）][（0.02-0.03）2+（0.03-0.03）2+（0.06-0.03）2+（-0.04-0.03）2+（0.08-0.03）2]}1/2=0.0458rAr2r3r4r5E(r)A0.04-0.020.08-0.0040.040.0272B0.020.030.06-0.040.080.03ρAB=0.00107/(0.0397*0.0458)=0.59思考及練習題：1．協方差和相關系數的含義、作用；協方差和相關系數的計算。2．相關系數的取值范圍。3．兩股票組合的在收益率、標準差坐標平面上的特點。4．兩股票組合的收益率、方差的計算；方差計算公式的推倒。5．比較協方差和相關系數在度量資產收益率之間關聯性強弱時哪個更有效？6．一個投資組合的管理者決定增加他的組合中的另外一種證券時，有下列5中相關性可供選擇，哪種證券能夠使風險多樣化的水平達到最高？（）A．0.0B．0.25C．-0.25D．-0.75E．1.07．下列關于資產組合分散化的說法，正確的是（）。A．分散化投資使系統風險減少B．分散化投資使因素風險減少C．分散化投資使非系統風險減少D．分散化投資既降低風險又提高收益

思考及練習題：7．下面對資產組合分散化的說法，是正確的（）。A．適當的分散化投資可以減少或消除系統風險B．投資的分散化使資產組合的期望收益降低，因為它減少了資產組合的總體風險C．投資的分散化有利于降低資產的非系統性風險D．投資的分散化有利于提高資產的收益8．資產A的收益率和風險均低于資產B，AB的相關系數不為1，關于AB組合，下面說法正確的是（）。A．AB組合有利于提高收益B．AB組合有利于降低風險C．組合的收益可能高于A而風險可能小于AD．對于風險厭惡者，應選擇將全部資產投資于低風險低收益的資產A二、只包含AB兩種資產的投資組合的期望收益率和方差1、期望收益率：E(rP)=WA×E（rA）+WB×E（rB）=WA×E（rA）+（1-WA）×E（rB）

其中：2、方差：σ2P=WA2×σA2+（1-WA）2σB2

+2WA（1-WA）ρABσAσB

由兩證券構成的組合將位于連接連接兩證券的連線上，連線的彎曲程度由兩證券的相關系數ρ決定，在連線上的位置由投資比例決定。A、B組合的方差Var（P）=E[Rp-E（rP）]2=E{WARA+WBRB–[WAE（rA）+WBE（rB）]}2=E{[WARA-WAE（rA）]+[WBRB-WBE（rB）]}2=E{[WARA-WAE（rA）]2+[WBRB-WBE（rB）]2+2[WARA-WAE（rA）][WBRB-WBE（rB）]}=E[WARA-WAE（rA）]2+E[WBRB-WBE（rB）]2+2E[WARA-WAE（rA）][WBRB-WBE（rB）]=WA2×σA2+WB2σB2+2WAWBσAB

=WA2×σA2+WB2σB2+

2WAWBρABσAσB

二、只包含AB兩種資產的投資組合的期望收益率和方差σE(r)．Ａ．Ｂσmin由兩證券構成的組合將位于連接連接兩證券的連線上，連線的彎曲程度由兩證券的相關系數ρ決定，在連線上的位置由投資比例決定。因為組合的方差σP≤WAσA+WBσB所以當ρAB=1時，σP=WAσA+WBσBA、B組合的連線為一條直線。試證明之當ρAB=-1時，A、B組合的連線為折線。試證明之σP2=WA2σA2+WB2σB2+2WAWBσAB

=WA2σA2+WB2σB2+2WAWBρABσAσAσE(r)．Ａ．Ｂ當組合的方差σP<WAσA+WBσBA、B組合的連線為位于折線和直線之間的曲線。試證明之σP2=WA2σA2+WB2σB2+2WAWBσAB

=WA2σA2+WB2σB2+2WAWBρABσAσA或比較：A[2.97%，15.75%]，B[11.87%，23%]，

ρAB=±1和±0.5，WA=30%，

WB=70%的E(rp)和σPσE(r)．Ａ．ＢσP+1=9.20%σP0.5=8.79%σP-1=7.42%σP-0.5=7.85%E(rp)=20.83%二、只包含AB兩種資產的投資組合的期望收益率和方差σE(r)．Ａ．Ｂσmin3、最小方差投資組合:

對給定的期望收益率水平的兩種證券組成的最小方差組合由下式解出：

2WAσA2+（2WA-2）σB2

+2ρABσAσB-4WAρABσAσB=0

解上式所得出的WA即為投資組合方差取得最小值時資產A的權重：WA*=（σB2-ρABσAσB）/（σA2+σB2-

2ρABσAσB)

復習思考題：σE(r)．Ａ．Ｂσmin1．通過圖示和公式分析單項資產和資產組合的效用。2．如果改變資產之間的相關性，資產組合的標準差會發生什么變化？3．關于最小方差組合，給定兩資產的收益率和方差，能夠計算最小方差組合中各資產的權重以及組合的收益率和方差。并能夠分析計算最小方差組合權重的意義。第三節ｎ種資產構成的投資組合期望收益率和方差σ2P=W12σ12+W22σ22+…Wn2σn2

+2W1W2σ12+2W1W3σ13+...+2W1Wnσ1n+2W2W3σ23+…+2W2Wnσ2n+...

各證券收益率之