第13章遠期和期貨的定價1

第一節遠期價格和期貨價格的關系一、基本假設與基本符號（一）基本假設1、沒有交易費用和稅收。2、市場參與者能以相同的無風險利率借入和貸出資金。3、遠期合約沒有違約風險。4、允許現貨賣空行為。5、我們算出的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。6、期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率。2（二）基本符號3二、遠期價格和期貨價格的關系1、當無風險利率恒定，且對所有到期日都不變時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。2、當利率變化無法預測時，遠期價格和期貨價格就不相等。（1）兩者的大小取決于標的資產價格與利率的相關性。當標的資產價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格；當標的資產價格與利率呈負相關時，遠期價格高于期貨價格。4（2）兩者的差異幅度取決于合約有效期限的長短。當有效期只有幾個月時，兩者的差距通常很小。在現實生活中，由于遠期和期貨價格與利率的相關性很低，以致遠期和期貨價格的差別可以忽略不計。在以下的分析中，對遠期合約的定價同樣適用于期貨合約。5第二節無收益資產遠期合約的定價無收益資產是指在到期日前不產生現金流的資產，如貼現債券和不付紅利的股票。一、無套利定價法基本思路：構建兩種資產組合，讓其終值相等，則其現值一定相等；否則的話，就可以進行套利，即賣出現值較高的投資組合，買入現值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風險收益。6眾多套利者這樣做的結果，將使較高現值的投資組合價格下降，而較低現值的投資組合價格上升，直至套利機會消失，此時兩種組合的現值相等。這樣，就可根據兩種組合現值相等的關系求出遠期價格。7例如：構建如下兩種組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為的現金；組合B：一單位標的資產。89二、現貨—遠期平價定理

例1：假設有一份標的證券為一年期貼現債券、剩余期限為6個月的遠期合約多頭。其交割價格為＄960，6個月期的無風險年利率（連續復利）為6%，該債券的現價為＄940。則該遠期合約多頭的價值為：f=940－960e－0.5×0.06=＄8.48

10例2：假設一年期的貼現債券價格為＄960，3個月期無風險年利率為5%，則3個月期的該債券遠期合約的交割價格應為：F=960e0.05×0.25=＄972

11三、遠期價格的期限結構設：F為在T時刻交割的遠期價格；F*為在T*時刻交割的遠期價格；r為T時刻到期的無風險即期利率；r*為T*時刻到期的無風險即期利率；為T到T*時刻的無風險遠期利率。12對于無收益資產而言，可知：兩式相除消掉S后，得：根據：可得不同期限遠期價格之間的關系：13第三節支付已知現金收益資產遠期合約的定價支付已知現金收益的資產是指在到期前會產生完全可預測的現金流的資產。如附息債券和支付已知現金紅利的股票。黃金、白銀等貴金屬本身不產生收益，但需要花費一定的存儲成本，存儲成本可看成是負收益。14定義：已知現金收益的現值為I。（對黃金、白銀來說，I為負值）構建如下兩種組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為的現金；

組合C：一單位標的資產加上利率為無風險利率、期限為從現在到現金收益派發日、本金為I的負債。15在T時刻，兩種組合都等于一單位標的資產。由此可以斷定，這兩種組合在t時刻的價值相等。即：根據的F定義，可從上式中求得：

16例3：假設6個月期和12個月期的無風險利率分別為9%和10%。再假定某十年期債券的現貨價格為＄990。而該證券一年期遠期合約的交割價格為＄1001。假定該債券在6個月和12個月后將收到＄60的利息，且第二次付息日在遠期合約的交割日之前。則該遠期合約多頭的價值為：相應地，該合約空頭的價值為27.39元。17例4：假設黃金的現貨價格為每盎司＄450。其存儲成本為每年每盎司＄2，假定該費用在年底支付。假定無風險利率為7%。則一年期黃金的遠期價格為：

18第四節支付已知收益率資產遠期合約的定價支付已知收益率的資產是指在到期前將產生與該資產現貨價格成一定比率的收益的資產。外匯使這類資產的典型代表，其收益率就是該外匯發行國的無風險利率。股價指數也可近似地看作是支付已知收益率的資產。遠期利率協議和遠期外匯綜合協議也可看作是支付已知收益率資產的遠期合約。19一、支付已知收益率資產遠期合約定價的一般方法構建如下兩種組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為的現金；組合D：單位標的資產并且所有收入都再投資于該證券，其中為該資產按連續復利計算的已知收益率。20組合A在T時刻的價值等于一單位標的資產。組合D擁有的證券數量則隨著獲得紅利的增加而增加，在T時刻，正好擁有一單位標的資產。因此在t時刻兩者的價值也應相等。即：根據F的定義，可從上式中算出支付已知收益率的資產的遠期價格

:21例5：假設S&P500指數現在的點數為1000點，該指數所含股票的紅利收益率預計為每年5%（連續復利）。假定無風險利率為10%，3個月S&P500指數期貨的市價為1080點。則該期貨合約的價值為：由于S&P500指數合約規模為指數乘以＄500，因此一份該合約的價值為:－65.75×500=－＄32877。

22該指數期貨的理論價格為：

23二、外匯遠期與外匯期貨的定價外匯屬于支付已知收益率的資產，其收益率是該外匯發行國連續復利的無風險利率，用表示。S表示以本幣表示的一單位外匯的即期價格;K表示遠期合約中約定的以本幣表示的一單位外匯的交割價格。

(S、K均為用直接標價法表示的外匯的匯率）

24則可以得出外匯遠期合約的價值為：

外匯遠期和期貨的價格為：這就是利率平價關系式。25三、遠期利率協議的定價由于FRAs是空方承諾在未來的某個時刻（T時刻）將一定數額的名義本金（A）按約定的合同利率（）在一定的期限（T*-T）貸給多方的遠期協議。本金A在借貸期間會產生固定的收益率，因此其屬于支付已知收益率資產的遠期合約。26FRAs多方的現金流為:

這些現金流的現值即為FRAs多頭的價值，即：

27這里的遠期價格就是遠期利率。根據遠期價格的定義，遠期利率就是使遠期合約價值為0的協議價格（在這里為）。即：∵∴

28例7：假設2年期即期利率為10.5%，3年期即期年利率為11%。本金為100萬美元的2年×3年遠期利率協議的合同利率為11%，則該合約的理論合同利率為：而該合約的價值為：29四、一般結論：在簽署時，遠期合約的交割價格等于當期的遠期價格，因此其初期價值等于0。隨著時間的推移，遠期合約的價值會變為正值或負值。根據遠期合約中的交割價格（K）與當前的遠期價格（F），給出t時刻遠期合約多頭的價值（f）的一般表達式：30證明：引入另一種內容基本相同，但交割價格為F的遠期合約。由于交割價格與遠期價格相同，按定義t時刻其初始價值為0。

兩者的區別只是在T時刻購買標的資產時支付的價格不同。在T時刻兩者支出現金流差為（F-K），轉換為t時刻的初始現金流差為：31即在t時刻，交割價格為K的遠期合約多頭的價值比交割價格為F的遠期合約多頭的價值要高:因為后者為0，所以交割價格為的遠