..幾何證明◆典例精析【例題1】〔**〕Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．〔1〕如圖①，假設半徑為r1的⊙O1是Rt△ABC的切圓，求r1；〔2〕如圖②，假設半徑為r2的兩個等圓⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙O2與BC、AB相切，求r2；〔3〕如圖③，當n是大于2的正整數(shù)時，假設半徑為rn的n個等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1與AC、AB相切，⊙On與BC、AB相切，⊙O2、⊙O3、…、⊙On－1均與AB邊相切，求rn．解：〔1〕∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10．如圖，設⊙O1與Rt△ABC的邊AB、BC、CA分別切于點D、E、F，連接O1D、O1E、O1F、AO1、BO1、CO1．于是，O1D⊥AB，O1E⊥BC，O1F⊥AC，S△AO1C=AC·O1F=AC·r1=3r1，S△BO1C=BC·O1E=BC·r1=4r1，S△AO1B=AB·O1D=AB·r1=5r1，S△ABC=AC·BC=24．又∵S△ABC=S△AO1C+S△BO1C+S△AO1B，∴24=3r1+4r1+5r1，∴r1=2．〔2〕如圖，連接AO1、BO2、CO1、CO2、O1O2，則S△AO1C=AC·r2=3r2，S△BO2C=BC·r2=4r2，∵等圓⊙O1、⊙O2外切，∴O1O2=2r2，且O1O2∥AB．過點C作CM⊥AB于點M，交O1O2于點N，則CM==，=CM－r2=－r2，∴S△CO1O2=O1O2·=〔－r2〕r2，∴S梯形AO1O2B=〔2r2+10〕r2=〔r2+5〕r2．∵S△ABC=S△AO1C+S△BO2C+S△CO1O2+S梯形AO1O2B，∴24=3r2+4r2+〔－r2〕r2+〔r2+5〕r2．解得r2=．〔3〕如圖，連接AO1、BOn、CO1、COn、O1On，則S△AO1C=AC·rn=3rn，S△BOnC=BC·rn=4rn，∵等圓⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且均與AB邊相切，∴O1、O2、…、On均在直線O1On上，且O1On∥AB，∴O1On=〔n－2〕2rn+2rn=2〔n－1〕rn．過點C作CH⊥AB于點H，交O1On于點K，則CH=，CK=－rn．∴S△CO1On=O1On·CK=〔n－1〕〔－rn〕rn．S梯形AO1OnB=[2〔n－1〕rn+10]rn=[〔n－1〕rn+5]rn．∵S△ABC=S△AO1C+S△BOnC+S△CO1On+S梯形AO1OnB，∴24=3rn+4rn+〔n－1〕〔－rn〕rn+[〔n－1〕rn+5]rn，解得rn=．評析：通過面積關系，建立所求半徑的等量關系式，也是解決幾何計算題一種重要的途徑．【例題2】如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于E點，過點E作直線與AF垂直交AF的延長線于D點，交AB延長線于C點．〔1〕求證：CD與⊙O相切于點E；〔2〕假設CE·DE=，AD=3，求⊙O的直徑及∠AED的正切值．解題思路：〔1〕連OE，證OE⊥CD；〔2〕利用三角形相似線段成比例求半徑．解：〔1〕連OE，易證∠OEA=∠OAE=∠EAD，∠OED=90°，得OE⊥CD，CD與⊙O相切．〔2〕連BE有BE=OE，易證Rt△ABE∽Rt△AED，△CBE∽△CEA，得，設⊙O半徑為R，則CO=R+，CA=+2R，∴，解得R=或R=－1〔舍〕，∴⊙O直徑為，由CE2=CB·CA=，∴CE=，DE=，tan∠AED=2．評析：此題第〔2〕小題是幾何計算，不少考生怕這種題型，因它與證明題不同，證明題的結論是確定的，有目標可尋，而計算題則需要根據(jù)題設條件和學過的知識去分析和探索，包括一定的運算能力，這就要求考生平時多練習，多思考，增強信心，才能攻克這樣的難關．◆探究實踐【問題】〔〕四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過P作MN∥AD，EF∥CD，分別交AB、CD、AD、BC于M、N、E、F，設a=PM·PE，b=PN·PF，解答以下問題：〔1〕當四邊形ABCD是矩形時，見圖①，請判斷a與b的大小關系，并說明理由；〔2〕當四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A為銳角時，見圖②，〔1〕中的結論是否成立？請說明理由；〔3〕在〔2〕的條件下，設=k，是否存在這樣的實數(shù)k，使得？假設存在，請求出滿足條件的所有k的值；假設不存在，請說明理由．解題思路：〔1〕利用面積關系可證a=b；〔2〕可證SPEAM=PM·PE．sin∠MPE，SPNCF=PN·PF，sin∠FPN．由SPEAM=SPNCF，可得a=b；〔3〕利用等高三角形面積比等于底邊之比可求k值．〔1〕解：a=S矩形PEAM=S△BDA－S△PMB－S△PDE，b=S矩形PNCF=S△DBC－S△BFP－S△DPN，可證得a=b．〔2〕解：成立．仿〔1〕有SPEAM=SPNCF，作EH⊥MN，可證SPEAM=EH·PM=PM·PE．sin∠MPE．同理SPNCF=PN·PF．sin∠FPN．由sin∠MPE=sin∠FPN，可得PM·PE=PN·PF．即a=b．〔3〕解法一：存在．連結AP，設△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面積分別為S1、S2、S3、S4，即．∴2k2－5k+2=0，∴k1=2，k2=．解法二：由〔2〕可知SPEAM=AE·AM．sinA=AD·ABsinA．∴k=2或．評析：巧用面積法解題，可化難為易，應引起注意．◆中考演練一、填空題1．〔黃岡〕如圖1，在ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，則CD=_______．(1)(2)(3)(4)2．〔〕如圖2，AB、AC是互相垂直的兩條弦，AB=8cm，AC=6cm，則⊙O半徑OA長為_______cm．二、選擇題1．〔〕如圖3，EF過矩形ABCD對角線交于點O，且分別交AB、CD于E、F，則陰影局部的面積是矩形ABCD面積的〔〕．A．B．C．D．2．〔黃岡〕如圖4，△ABC中，AB=AC，D為BC中點，E為AD上任意一點，過C作CF∥AB交BE的延長線于F，交AC于G，連結CE，以下結論中不正確的選項是〔〕．A．AD平分∠BACB．BE=CFC．BE=CED．假設BE=5，GE=4，則GF=三、解答題1．〔〕如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=60°，AD=CD．E、F分別在AD、CD上，DE=CF，AF、BE交于點P，請你量一量∠BPF的度數(shù)，并證明你的結論．2．〔〕：如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延長線于點E，AD⊥AB，交EC的延長線于點D．〔1〕求證：DE是⊙O的切線．〔2〕假設CE=3，BE=2，求CD的長．◆實戰(zhàn)模擬一、填空題1．〔〕如圖5，在半徑為3的⊙O中，B是劣弧AC的中點，連結AB并延長到D，使BD=AB，連結AC、BC、CD．如果AB=2，則CD=________．(5)(6)(7)2．〔〕如圖6，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜邊AB為一邊作等邊△ABD，使點C、D在AB的同側；再以CD為一邊作等邊△CDE，使點C、E在AD的異側．假設AE=1，則CD的長為________．3．〔〕如圖7，在⊙O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，則AB的長為________．二、選擇題1．〔〕如圖8，在四邊形ABCD中，E是AB上一點，EC∥AD，DE∥BC．假設S△BEC=1，S△BEC=3，則S△CDE等于〔〕．A．2B．C．D．(8)(9)(10)2．〔〕如圖9，半徑為4的兩等圓相外切，它們的一條外公切線與兩圓圍成的陰影局部中，存在的最大圓的半徑等于〔〕．A．B．C．D．13．〔〕如圖10，AB是⊙O直徑，點D、E是半圓的三等分點，AE、BD延長線交于點C．假設CE=2，則圖中陰影局部的面積是〔〕．A．－B．C．－D．三、解答題1．〔〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點E在直角邊AC上〔點E與A、C兩點均不重合〕，點F在斜邊AB上〔點F與A、B兩點均不重合〕．〔1〕假設EF平分Rt△ABC的周長，設AE的長為*，試用含*的代數(shù)式表示△AEF的面積；〔2〕是否存在線段EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？假設存在，求出此時AE的長；假設不存在，說明理由．2．〔〕如圖，從⊙O外一點A作⊙O的切線AC、AC，切點分別為B、C，且⊙O直徑BD=6，連結CD、AO．〔1〕求證：CD∥AO；〔2〕設CD=*，AO=y，求y與*之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量*的取值圍；〔3〕假設AO+CD=11，求AB的長．答案:中考演練一、1．102．5二、1．B2．B三、1．證△