人口預測與數據擬合1、摘要：隨著人口的增加，人們越來越認識到資源的有限性，人口與資源之間的矛盾日漸突出，人口問題已成為世界上最被關注的問題之一。問題給出了1790—2000年間美國的人口數據，通過分析近兩百年的美國人口統計數據表，得知每10年的人口數和人口增長率的變化。預測美國未來的人口。首先，人口增長率是變化值。對于問題（1）假設了人口上限因此我們選擇建立Logistic模型（模型1）其次，根據表中的人口數據，進行曲線擬合（模型2），通過Matlab進行人口預測。關鍵詞：預測模型人口增長率Logistic2、實驗問題：1970年到1980年間美國人口數的統計數據如表所示1790180018101820183018401850186018701880統計3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.21890190019101920193019401950196019701980統計62.072.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.51）根據表中的數據，分別用不同次數的多項式擬合美國人口數量增長的近似曲線圖。（2）根據表中的數據，建立符合Malthus模型的美國人口數量增長曲線模型。（3）設美國人口總體容量為4.5億，試用Logistic模型建立美國人口增長曲線模型。（4）分別用上述三種方法預測2000年，2005年，2015年，2020年美國人口數量，并對不同方法的預測結果進行比較分析。3、實驗問題的分析：根據以上問題的提出我們可以通過兩種模型來進行求解，Malthus模型和Logistic模型來預測美國人口數量和統計的結果的差別。Malthus模型：1798年，英國統計學家Malthus在在進行大量統計的基礎上發現了一種關于生物種的繁殖規律，就是一種個體數量的增長率與該時刻種群的個體數量成正比。有效地控制人口的增長，認識人口數量的變化規律，建立人口模型，做出較準確的預報，是有效控制人口增長的前提。整個模型的過程中應當包括：人口增長的變化規律；人口數量的死亡的變化規律；人口平均生育的變化規律；統計人口是的過程等。人口預測是一個相當復雜的問題，影響人口增長除了人口數與可利用資源外，還與醫藥衛生條件的改善，人們生育觀念的變化等因素有關……?可以采取幾套不同的假設，做出不同的預測方案，進行比較。人口預測可按預測期長短分為短期預測（5年以下）、中期預測（5?20年）和

長期預測（20?50年）。在參數的確定和結果討論方面，必須對中短期和長期預測這兩種情況分開討論。中短期預測中所用的各項參數以實際調查所得數據為基礎，根據以往變動趨勢可較準確加以估計，推算結果容易接近實際，現實意義較大。4、實驗模型的假設：（1）、人口數量在某一年內增長的速度較快，在哪一年內不記人口的死亡人數，和種種影響人口增長的因素。（2）、假設美國人口上限為5億，根據表中給出的人口增長率，進行適當的處理，建立微分方程模型；（3）、利用（2）中的模型計算各年人口，與實際人口數量比較，計算模型的計算誤差；（4）、利用（2）中的模型預測美國2010,2020,2030,2040,2050年的人口；（5）、假設人口增長率服從［1.1,1.3］上的均勻分布，結合（2）中建立微分方程模型，預測美國2010,2020,2030,2040,2050年的人口.5、模型的建立：模型1圖1為1790-2000年的人口數據，人口增長率r為每10年的取值。首先對人口增長率進行處理求出其他年份相對于1790年的增長率Rr++rR=tn二丄—n其中11=1800年???..t21=2000年（1<nW21）。例如1810年相對于1790年的增長率為（3.11+2.99）/2=3.05其他年份同理可得如圖2；對增長率R求平均直為Rx=2.64%模型1為阻滯增長模型假設人口增長率r（x）是t時人口x（t）的函數，r（x）應該是x的減函數。一個簡單的假設是假設r（x）為x的線性函數r（x）=r-s*x,s>0.最大人口數量Xm=500當x=Xm時增長率為零。在線性化假設前提下可以得到r（x）=r（1-x/Xm）,（公式1）其中的r我們取之前求得的平均增長率r=0.0264,Xm=500。在公式1假設下，模型可修改為打=rX打=rX(1-（公式2）桫(0)=上述方程改為Logistic模型x(t)x(t)/1+(x/x-1)e-rt（公式3）取2.718，t為Dt，求出每10年的rt值帶入方程算出各年的人口數以及和實際值的誤差見圖3。2010年的R*t=5.808，預測人口為362.32；2020年的R*t=6.072，預測人口為387.59；2030年的R*t=6.336，預測人口為408.16；2040年的R*t=6.6，預測人口為427.352050年的R*t=6.864，預測人口為442.48；

觀察預測結果1930年以前只有180018101820誤差較小，其它年份誤差正負都稍微偏大，1940年以后預測值逐年大于實際值，說明在給定最大人口數后增長?T偽人r~i?T偽人r~i[百ZO人廠|1曽長7F：r綣丄YUUd.u厶Ub1800匕一:-;:-J-111KIn7.72.AA1820合一62.971E3U丄2.U2.玄丄1LJ4U17.1乩UL1斤"23.2月一nn156031.42.45丄8703S.52.dd丄七蘭UbU.二、己.吐二1：3〕2一：-）興一os1<innFrvn1.<i11^1092.01.66丄-J^U丄U6.b1.<L61士工.二1.g1<0401/31.71-041<^5O150.71.581^50丄79.31.d9丄■JYUUU<1.U丄.丄S1妙C匚1-nn1P9門咒匚1.41.nq2000281.41.16率選擇不適當，與給定的最大人口數不匹配，有待改進。士皆細2_9曰110502N.99曰N.ess5.O12?93SV：2?S23-743圖（1）圖（2）IZ^IHL%[^I孕_dISi.I廊珀1^▼<ZI乍▼A”I邕E23▼咼51.93AECDE邛苗A匚l匚百77)平均斥牛十計算■值謠差179Hsy1SOO5.30.2645.06-0.2412107.20.522&.G-0.G13209.G0.7923.54-0.16183012.91.05611.03-1.871BlIir.i1.:心14.巧iyhoMM一21.匕辭iy.44-4.'fE1S6031.<L1.34223.S-7.G1S703G.e2.11230.E-□.1133050.22.37639-11-2t1Km。62.9N6449.沙-1沙1Wiii7H.IlHi14一74-I：%一〃iyiu92.Us-i^yvy.sa-1^.翻192010G.53.<L3297.S5-3.6E1930123.23.G9C120.13-3.011940131.73.96145.7714.071勺斤「」1FSu.74.7加1T4.XP產一砂1SdKl117M.：V4.4如*1III.1KI1.x197020<L.04.752238.134.11950226.55.016270.2743.771990251.45.23303.0351.GO2000231.45.544333.33I51.93II圖(3)模型2根據表中的人口數據，進行曲線擬合，建立數學模型；利用(1)中的模型計算各年人口，與實際人口數量比較，計算模ii=1型的計算誤差；利用(1)中的模型預測美國2010,2020,2030,2040,2050年的人口；利用MATLAB進行曲線擬合，首先在平面上繪出已知數據的分布圖，通過直觀觀察，猜測人口隨時間的變化規律，再用函數擬合的方法確定其中的未知參數，從而估計出20102020203020402050年的美國人口。利用MATLAB作出美國人口統計數據的連線圖如圖4。圖5建模方法1的擬合效果圖由圖4可以發現美國人口的變化規律曲線近似為一條指數函數曲線，因此我們假設美國的人口滿足函數關系x=f(t),f(t)=ea+bt,a,b為待定常數，根據最小二乘擬合的原理，a,b是函數E(a,b)(f(t)-x)2的最小值點。其中x是iiitj時刻美國的人口數。利用MATLAB中的曲線擬合程序“curvefit”編制的程序如下：首先創建指數函數的函數M――文件用最小二乘擬合求上述函數中待定常數，以及檢驗擬合效果的圖形繪制程序m-function,fun1.mfunctionf=fun1(a,t)f=exp(a(1)*x+a(2));t=1790:10:2000;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(t,x,'*',t,x);a0=[0.001,1];a=curvefit('fun1',a0,t,x)ti=1790:5:2050;xi=fun1(a,ti);holdonplot(ti,xi);t1=2010;x1=fun1(a,t1)holdoff在MATLAB命令窗口運行該程序，輸出結果a=0.0148-23.8311；x1=358.48因此，參數a=0.0148,b=-23.8307,擬合函數在2010處的函數值f(2010)=358.48。通過作圖，我們來看看擬合的誤差如何，見圖5。從圖中可看出，擬合曲線與原數據還是比較吻合，因此，預測美國在2010年的人口數為358.48百萬。同理2020年預測人口為413.33;2030年預測人口為452.57;2040年預測人口為475.89;2050年預測人口為494.18。圖6為誤差值%觀察誤差和圖像，模型2對過去的統計數據吻合得較好，但也存在問題，即人口是呈指數規律無止境地增長，此時人口的自然增長率隨人口的增長而增長，這不可能。一般說來，當人口較少時增長得越來越快，即增長率在變大；人口增長到一定數量以后，增長就會慢下來，即增長率變小這是因為，自然資源、環境條件等因素不允許人口無限制地增長，它們對人口的增長起著阻滯作用，而且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大。而且人口最終會飽和，趨于某一個常數xm這里通過Matlab對模型1中的公式3進行一次計算擬合：functionf=fun3(a,t)f=a(1)./(1+(a(1)/3.9-1)*exp(-(t-1790)*a(2)));x=1790:10:2000;y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];plot(x,y,'*',x,y);a0=[0.001,1];a=curvefit('fun3',a0,x,y)xi=1790:5:2050;

yi=fun3(a,xi);holdonplot(xi,yi);x1=2010;y1=fun3(a,x1)holdoffABCD年偽人口(百萬：)曲線擬合泯差鳴17903.913005.35-433.31S107.27352.11S209.69-S42.5183012?914.541￡?7184017.117-452.1135023.224-3S5.11SS031.432.22.S18703蟲&39?7631880SO.250?30?21890S2.962.7-0.3190076.074.4-2191092.039.3—2-91920106?5102?3-3.91930123?2120?4-2.31940131.7131.2-0.41950150.7150.3-0.31960179.3177.3-0.11970204?□203?6-0.21980226.5225.7-0.31990251.4256.4220002S1.42S5.71.5圖(6)將r(即a(2))的初值取為小于1的數，比如取a=[200,0.1]時，得到a=[311.950.0280],y1=267.19，即(2)中的r=0.0280,x=311.95，2010年美國的人口預計為267.19。這個結果還比較合理，當tm時，靜增長率趨于零，人口數趨于311.95百萬人，即極限人口x=311.95。擬合效果見圖7,這種效果比之前情形好。從圖7看出，在前一段吻合得比較好，但在最上面，若擬合曲線更接近原始數據，對將來人口的預測應該更好。因此略加修改將擬合準則改為：minE(a)二工(f(t)一x)2+w區(f(t)一x)2iiiii=1i=n+1其中w為右端幾個點的誤差權重，在此處應該取為大于1的數，這樣會使右邊的擬合誤差減小，相應的，其他點的誤差會有所增加。如何才能使這些誤差的增減恰當呢？可以通過調整w和n的具體取值，比較他們取各種不同值時的擬合效果，從而確定出一個合適的數值。n=16;w=2;x=1790:10:2000;x1=x(1:n);x2=x(n+1:21);y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4];y1=y(1:n);y2=y(n+1:21);f=[fun3(a,x1),w*fun