2014年湖北省高考數學理科試題及解析1.為虛數單位，A.－1B.1C.－D.【解題提示】利用復數的運算法則進行計算【解析】選A.2.若二項式的展開式中的系數是84，則實數＝A.2B.C.1D.【解題提示】考查二項式定理的通項公式【解析】選C.因為，令，得，所以，解得a＝1.3.設為全集，是集合，則“存在集合使得”是“”的A.充分而不必要的條件B.必要而不充分的條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件【解題提示】考查集合與集合的關系，充分條件與必要條件的判斷【解析】選C.依題意，若，則，當，可得；若，不妨另，顯然滿足，故滿足條件的集合是存在的.4.根據如下樣本數據x345678y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回歸方程為，則A.B.C.D.【解題提示】考查根據已知樣本數判繪制散點圖，由散點圖判斷線性回歸方程中的與的符號問題【解析】選B.畫出散點圖如圖所示，y的值大致隨x的增加而減小，因而兩個變量呈負相關，所以，5..在如圖所示的空間直角坐標系中，一個四面體的頂點坐標分別是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），給出編號①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【解題提示】考查由已知條件，在空間坐標系中作出幾何體的大致形狀，進一步得到正視圖與俯視圖【解析】選D.在坐標系中標出已知的四個點，根據三視圖的畫圖規則判斷三棱錐的正視圖為=4\*GB3④與俯視圖為=2\*GB3②，故選D.6.若函數EQf(x)，滿足，則稱EQf(x)，為區間[-1,1]上的一組正交函數，給出三組函數：①；②；③其中為區間的正交函數的組數是（）A.0B.1C.2D.3【解題提示】考查微積分基本定理的運用【解析】選C.對=1\*GB3①，，則、為區間上的正交函數；等的四段弧”用數學語言表示出來。13.設是一個各位數字都不是0且沒有重復數字的三位數.將組成的3個數字按從小到大排成的三位數記為，按從大到小排成的三位數記為（例如，則，）.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，任意輸入一個，輸出的結果________.【解析】當，則；當，則；當，則；當，則，終止循環，故輸出答案：495【誤區警示】解答本題時易犯的錯誤是循環計算時出現計算錯誤14.設是定義在上的函數，且，對任意，若經過點的直線與軸的交點為，則稱為關于函數的平均數，記為，例如，當時，可得，即為的算術平均數.當時，為的幾何平均數；當時，為的調和平均數；（以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數即可）【解析】：（1）設，（x＞0），則經過點、的直線方程為，令y=0，求得，

∴當，（x＞0）時，為a，b的幾何平均數（2）設，則經過點，的直線方程為，令，所以，所以當時，為的調和平均數答案：（1）（2）【誤區警示】解答本題時容易出現的錯誤是不能正確理解新定義15.（選修4-1：幾何證明選講）如圖，為⊙外一點，過作⊙的兩條切線，切點分別為，過的中點作割線交⊙于兩點，若則.【解析】由切割線定理得，所以，.答案：4【誤區警示】解答本題時容易出現的問題是錯誤使用切割線定理。16.（選修4-4：坐標系與參數方程）已知曲線的參數方程是，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，則與交點的直角坐標為_______.【解析】由消去得，由得，解方程組得與的交點坐標為.答案：【誤區警示】解答本題時容易出現的問題是消去中的參數時出現錯誤。17.某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位;h）的變化近似滿足函數關系：求實驗室這一天的最大溫差；若要求實驗室溫度不高于11，則在哪段時間實驗室需要降溫？【解題指南】（Ⅰ）將化為y=Asinωx+φ+b可求得只一天的溫度最大值和最小值，進而求得最大溫差。（Ⅱ）由題意可得，當f（t）＞11時，需要降溫，由f（t）＞11，求得，即

，解得t的范圍，可得結論．【解析】（Ⅰ）因為又當時，；當時，。于是在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故實驗室這一天最高溫度為12，最低溫度為8，最大溫差為4。（Ⅱ）依題意，當時實驗室需要降溫由（1）得，故有即。又，因此，即。在10時至18時實驗室需要降溫。18.已知等差數列滿足：＝2，且成等比數列.求數列的通項公式.記為數列的前項和，是否存在正整數，使得若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.【解題指南】（Ⅰ）由，，成等比數列可求得公差d,從而根據通項公式表示出數列的通項；（Ⅱ）根據的通項公式表示出的前n項和公式Sn,令，解此不等式。【解析】（1）設數列的公差為，依題意，成等比數列，故有化簡得，解得或當時，當時，從而得數列的通項公式為或。（2）當時，。顯然此時不存在正整數，使得成立。當時，令，即，解得或（舍去），此時存在正整數，使得成立，的最小值為41。綜上，當時，不存在滿足題意的；當時，存在滿足題意的，其最小值為41。19.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點分別在棱,上移動，且.當時，證明：直線平面;是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解題指南】（Ⅰ）建立坐標系，求出，可得BC1∥FP，利用線面平行的判定定理，可以證明直線BC1∥平面EFPQ；

（Ⅱ）求出平面EFPQ的一個法向量、平面MNPQ的一個法向量，利用面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角，建立方程，即可得出結論．【解析】以為原點，射線分別為軸的正半軸建立空間直角坐標系。由已知得（Ⅰ）證明：當時，因為，所以，即而，且，故直線平面。（Ⅱ）設平面的一個法向量為，則由可得，于是可取同理可得平面的一個法向量為若存在，使得平面與面所成的二面角為直二面角，則，即解得故存在，使平面與面所成的二面角為直二面角。20.計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和.單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立.求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系：年入流量X發電機最多可運行臺數123若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬，欲使水電站年利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？【解題指南】（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根據二項分布，求出未來4年中，至少有1年的年入流量超過120的概率；

（Ⅱ）分三種情況進行討論，分別求出一臺，兩臺，三臺的數學期望，比較即可得到．【解析】（Ⅰ）依題意，，，由二項分布，在未來4年中至多有一年的年入流量超過120的概率為（Ⅱ）記水電站年總利潤為安裝1臺發電機的情形由于水庫年入流量總大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤，（2）安裝2臺發電機的情形依題意，當時，一臺發電機運行，此時，因此；當時，兩臺發電機運行，此時，因此；由此得的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，。（3）安裝3臺發電機的情形依題意，當時，一臺發電機運行，此時，因此；當時，兩臺發電機運行，此時，因此；當時，兩臺發電機運行，此時，因此由此得的分布列如下Y3400820015000P0.20.70.1所以，。綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺。在平面直角坐標系中，點M到點的距離比它到軸的距離多1，記點M的軌跡為C.求軌跡為C的方程設斜率為k的直線過定點，求直線與軌跡C恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時k的相應取值范圍。【解題指南】（Ⅰ）設出M點的坐標，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設出直線l的方程為，和（Ⅰ）中的軌跡方程聯立化為關于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線y-1=k（x+2）中取y=0得到，然后分判別式小于0、等于0、大于0結合x0＜0求解使直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍．【解析】（Ⅰ）設點,依題意得，即化簡整理得故點的軌跡的方程為。（Ⅱ）在點的軌跡中，記依題意，可設直線的方程為由方程組，可得①（1）當時，此時，把帶入軌跡的方程，得故此時直線與軌跡恰好有一個公共點（2）當時，方程①的判別式②設直線與軸的交點為，則由，令，得③（ⅰ）若，由②③解得，或。即當時，直線與沒有公共點，與有一個公共點，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點。（ⅱ）若或由②③解得，或。即當時，直線與沒有公共點，與有一個公共點，當時，直線與只有兩個公共點，與沒有公共點故當時，直線與軌跡恰好有兩個公共點。（ⅲ）若由②③解得，或即當時，直線與有兩個公共點，與有一個公共點故此時直線與軌跡恰好有三個公共點。綜合（1）（2）可知，當時，直線與軌跡恰好有一個公共點；當時，直線與軌跡恰好有兩個公共點；當時，直線與軌跡恰好有三個公共點。22.為圓周率，為自然對數的底數.求函數的單調區間；求這6個數中的最大數與最小數；將這6個數按從小到大的順序排列，并證明你的結論.【解題指南】（Ⅰ）先求函數定義域，然后在定義域內解不等式f'（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根據函數y=lnx，y=ex，y=πx在定義域上單調遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，從而六個數的最大數在π3與3π之中，最小數在3e與e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的結論，得f（π）＜f（3）＜f（e），即lnπ，由此進而得到結論；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得，故只需比較e3與πe和eπ與π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e時，，令，有，從而，即得①，由①還可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得結論；【解析】（1）函數的定義域為，因為，所以。當，即時，函數單調遞增；