2021-2022學年河南省許昌市實驗高級中學高三數學理

模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

八、忱口口口口腕.

/(X)=?

1.設函數但⑶，“0*。若/⑺是奇函數，則"-2)的值是

1.2

(A)4(B)4(C)4(D)-4

參考答案：

D

因為函數是奇函數，所以/L2)=二"；=-2'=-4,選口.

2,過點他?出的直線]與雙曲線°：U一*=3">0)的-條斜率為正值的漸近線平

行，若雙曲線C的右支上的點到直線，的距離恒大于小，則雙曲線。的離心率的取值范圍

是()

A.Q]B.(2呵c.MD.1a)

參考答案：

A

【知識點】雙曲線

b>c

y--x.bx-cry-0.

因為斜率為正值的漸近線方程為。與之平行的直線為

b2abc

y-2b=-x.bx-ay-￥2ab-0,/—S2

a由題意得兩平行線的距離為d}a}?化簡得a。

所以，離心率的取值范圍是(L2〕

故答案為：A

3.若則下列不等式：①必；②③a<6；④

中，正確的不等式是

A.①②B.②③C.①④D.③④

參考答案:

答案：C

4.已知某兒何體的三視圖如下，則該幾何體體積為

D.4+兀

參考答案:

C

己+W=i

5.橢圓行16~的左、右焦點分別是6'三，弦過耳，且03瑪的內切圓的周長是

人，若A8的兩點的坐標分別是yj,〔為R,則舊一乃I的值為

102052^

A.3B,3c.3D3.

參考答案：

C

略

6.已知aW{-2,0,1,3,4},bw{l,2},則函數f(x)=(a?-2)x+b為增函數的概

率是()

23j._3

A.5B.5C.2D.10

參考答案:

B

考點：幾何概型.

專題：概率與統計.

分析：首先求出所以事件個數就是集合元素個數5,然后求出滿足使函數為增函數的元素

個數為3,利用公式可得.

解答：解：從集合{-2,0,1,3,4}中任選一個數有5種選法，使函數f(x)=(a-

2)x+b為增函數的是/-2>0解得a>如或者a<一加，所以滿足此條件的a有-2,

3

3,4共有3個，由古典概型公式得函數f(x)=(a2-2)x+b為增函數的概率是豆

故選：B.

點評：本題考查了古典概型的概率求法；關鍵是明確所有事件的個數以及滿足條件的事件

公式，利用公式解答.

7集合/={x|尸=log2a_x))，g={x|X>0),則74nB=

A.(O，DB.(0,1]c.(fl)D.(-?,0)U(0,D

參考答案：

D

8.(09年宜昌一中12月月考文)若函數/⑶的反函數為了"5)=卜/5<0),

則”2)的值為()

A.1B.5c.-2D.-1

參考答案：

D

9.已知集合M={xI1VXV4),N={1,2,3,4,5},則McN=

A.{2,3}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{2,3,4}

參考答案:

A

略

10.已知直線，：x+y_9=0和圓M2/+b'-8x_8y-1=0,點力在直線/上，B.C

為圓Af上兩點，在AASC中，/珈C=45°,過圓心時，則點力的橫坐標的取值

范圍為（）

A.億6]B,[0,6]c,[1,（5]D.[3,6]

參考答案：

D

設4（。，9-a）,則圓心M到直線4c的距離卜in45。，由直線4c與圓M相交，

dw

得解得34。46.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.函數y二號的0一6+M:^電力的值域是

參考答案：

針.

略

12.過"G'D的直線，與圓C：（x-l）2+y2=4交于A、B兩點，當乙4cB最小時，直線的方

程

為.

參考答案：

2x—4）H-3=0

13.如圖：拋物線）'2=4x的焦點為尸，原點為o,直線AB經過點F,拋物線的準線與

x軸交于點C,若NOE4=I35。，則tan4C8=.

參考答案：

2/2

14.如圖，從圓0外一點P作圓0的割線PAB、PCD,

AB是圓0的直徑，若PA=4,PC=5,CD=3,則

Z.CBD=o

-

—

q0?"

\X?/

參考答案：

30°

略

《

15.直線U=1T與曲線。=2cos6相交，截得的弦長為

參考答案：

2s

略

16.已知首項都是1的數列｛""｝，［"｝("wQ"，滿足*a+34

_s

(I)令c“"，求數列上」的通項公式；

(in若數列｛4｝為各項均為正數的等比數列，且始一他也,求數列｛"?｝的前〃項和

S“

參考答案：

2

(I)Cn=3n-2(II)Sn=8-(6n+8)x(-)n.

(I)由題忌得Hn+lbn=Hn?bn+l+3bn?bn+1，

&±1=匕+35.5.

兩邊同時除以bnbn+1,得K又Cn=4,.?.Cn+「Cn=3,又Ci=4=1,

...數列｛Cn｝是首項為1,公差為3的等差數列，/.Cn=1+3(n-1)=3n-2,neN,.

22426

(II)設數列｛bn｝的公比為q,q>0,Vb3=4b2?b6,.,.biq=4bi?q,

1111

1

整理，得q2=4,q=2,又bi=1>bn=(2J"-,neN',an=cnbn=(3n-2)x(2尸L

!L!J

.*?Sn=1x()0+4x(2)+7x()2+...+(3n-2)x()nl,①

12

2Sn=lx-+4x(二/+7x(2)3+...+(3n-2)x(2尸，②

JJ1

①-②，得：2Sn=l+3x2+3x(2)2+…+3x(2)nl-(Wln-2)x(2)"

111

=1+3[2+(2)2+...+(2)n-l].(3n-2)x(2)n=l+3[l-(2)"-i]-(3n-2)x(2)"

I

=4-(6+3n-2)x(2)"=4-(3n+4)>：(2)%.,.Sn=8-(6n+8)x(2)\

也=&+3

【思路點撥】(I)由題意得aebn=an?be+3bn?bn+”從而IIb,，由此推導出

數列｛Cn｝是首項為1,公差為3的等差數列，進而求出Cn=1+3(n-1)=3n-2,neN,.

(ID設數列｛bn｝的公比為q，q>0,由已知得b0=(2產】，neN\從而an=abn=(3n-

2)x(2)n-i,由此利用錯位相減法能求出數列｛an｝的前n項和Sn.

略

|x2+2x-31,x<2

17.已知函數f(x)=1-X2-2X+13,X>2,若關于x的方程f(x)-m=0恰有五個不相

等的實數解，則m的取值范圍是.

參考答案：

(0,4)

【考點】54：根的存在性及根的個數判斷.

【分析】作出f(x)的函數圖象，根據函數圖象即可得出m的范圍.

【解答】解：作出f(x)的函數圖象如圖所示：

由圖象可知：當0<m<4時，f(x)=m有5個解；

故答案為：(0,4).

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

丘Am"1、

18.如圖，橢圓,*經過點33,且點M到橢圓的兩焦點的距

離之和為2，.5.

（I）求橢圓c的標準方程；

1

（2）若R,S是橢圓C上的兩個點，線段RS的中垂線/的斜率為五且直線/與RS交于點

P,O為坐標原點，求證：P,O,M三點共線.

解：（1）因為點“到橢圓的兩焦點的距離之和為2\五，

所以2a=2j2,解得a=、后

工史

又橢圓C經過點,所以產

所以〃=1

所以橢圓c的標準方程為萬

1

（2）證明：因為線段心的中垂線1的斜率為工,

所以直線心的斜率為-2,

所以可設直線心的方程為＞=21

/=-2x+m

■二】得城"32=0

據

設點雙耳.乂).虱。.％)."(/Jo)

所以

區+巧=——4》+另H-ZXJ+IW-力4+I?=-2(4+X,)+2JW=-2-----12N?=—

工_巧+巧__?_鼻+力

所以"29?"29

打」」

因為事彳，所以“=彳％

1

jr=_/

所以點P在直線4上,

又點火必嗎工在直線T，

所以P,QM三點共線.

19.已知函數f(x)=xlnx,g(x)=x-l(e^2.71828).

(I)求函數h(x)=f(x)-g(x)的極小值；

3

(II)已知2<aV2且f(b)=g(a),f(c)=g(b),證明：a+b+c>4.

參考答案:

(I)解：由題意得h(x)=f(x)-gx)=xlnx-x+l,則h(x)=lnx,

令h'(x)>0,得x>1,令h/(x)<0,得OVxVl,

h(x的增區間為1，+8)減區間為(01)

??.函數h()=f)-g)的極小值為h()=0.

3

(II)證明b)=f(a)又2v。v2

blnb=a-l>0則Inb>0得b>1

同理由f(c)=g(b)得clnc=b-l>0則c>1

Va-b=g(a)-g(b)=f(b)-g(b)=h(b),又b>l由(I)知a-b=h(b)>h(1=0,

同理，b-c=h(c)>0,則有l<c<b<a<2,

xlnx

設h(x)=X-l,(1<X<2),則h\x)=(x-l尸，令3(x)=x-l-lnx,1<X<2,

x-1

則3,(X)=X>0,故3(X)>3(1)=O,?，?h'(x)>0,

h(x)在(1,2)上單調增加，Ah(x)<h(2)=ln4,；.4<e&,

—3-a---\=-b\nb--a---\=-b-\-n-b-3

h(x)<ln4<2,又Z>-12>—1=//(6),且l<b<2,則占-16-1=h(b)V2,

fe-1clnc32231

同理c-l=e-l=〃(c)vE,則b-l>寫(a?l)>旨(2-1)=3,

2221319

C-1>3(/??!)>3,3>9,則a-l+b-l+c-l>2+3+9=18>1,...a+b+c>4.

略

20.（本小題滿分12分）如圖ABCD是正方形，0是正方形的中心，P0_L底面ABCD,

E是PC的中點.

求證：（1）.PA〃平面BDE；（2）.平面PACJ■平面BDE.

參考答案:

證：⑴連接AC、OE,ACOBD=0,

(1分)

在APAC中,：E為PC中點，0為AC中點.；.PA〃E0,……(3分)

XVEOU平面EBD,PA<Z平面EBD,，PA//BDE.........(6分)

（2）YPOJ■底面ABCD,.\PO±BD.........（8分）

又；BD_LAC,；.BD1平面PAC.........（10分）

又BDU平面BDE,...平面PAC_1平面BDE.........（12分）

21.直線2尸二工+內與曲線C：，=2配交于人，B兩點,A與8的中點N橫坐標為2.

(I)求曲線C的方程；

(2)過A,B兩點作曲線C的切線，兩切線交于點E,直線NE交曲線C于點求證：

M是線段NE的中點.

參考答案：

(1)'=4yQ)見證明

【分析】

(1)設義》乂)，’(巧』，)，求出2P=不＜"馬=4,即得曲線c的方程；(2)先求出

兩切線方程，再求出庭f),求出直線NE的方程為x=2,與拋物線方程聯立可得

由NQ,2+m),M(2JX￡(Z—時，可得M是線段NE的中點

【詳解】(1)設“(、乂)，”(巧JJ,

J?x?

凝’鼻=子?%=子?再?巧=4

則2P2p,

=*=^^=9=12/=玉.馬=4

于是直線AB的斜率5一巧2P耳-丐2p

所以曲線C的方程為，=4/

(2)拋物線在點處的切線方程為：一產"一，),

整理得：2",

同理：拋物線在點”(巧6)處的切線方程為：‘一豆"-彳

y=2

聯立方程組解得:4

x=2

解得：b=r一義二f,即即.一可

而N(Z2*iw),所以直線NE的方程為：x=2；與拋物線方程聯立可得“(ZD

由NQ.2+電同，可得M是線段NE的中點.

【點睛】本題主要考查拋物線的方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，意在考查學

生對這些知識的理解掌握和分析推理能力.

22

22.已知A,B是橢圓C：a+b=1(a>b>0)的左，右頂點，B(2,0),過橢圓C