2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊·重點題型全歸納專題一元二次方程的應(yīng)用【八大題型分類歸納】思維導(dǎo)圖：類型一：數(shù)字問題1．有一個兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為8，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求這個兩位數(shù)．【答案】見解析【分析】設(shè)個位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，根據(jù)如果十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，則所得兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855，求解即可．【解答】解：設(shè)原來個位為x，則十位上的數(shù)字為8﹣x，由題意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855解得：x1＝3，x2＝5，原來十位上的數(shù)字為5或3，答：原來這個兩位數(shù)53或35．【點評】本題考查了一元二次次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是表示出對調(diào)前后兩位數(shù)的表示方法．2．2021年7月1日是建黨100周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數(shù)（如圖所示），圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)；若不能請說明理由．【答案】最小的數(shù)是5【分析】設(shè)這個最小數(shù)為x，則最大數(shù)為（x+8），根據(jù)最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65或33，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)最小的數(shù)為x，由題意得x（x+8）＝33，解得x1＝﹣11，x2＝3．由表格知不符合實際舍去；由題意得x（x+8）＝65，解得x1＝﹣13（舍去），x2＝5，所以當(dāng)最大數(shù)與最小數(shù)乘積為65時，最小的數(shù)是5．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．用一根長為12cm的繩子能否圍成一個兩直角邊長度相差1cm的直角三角形，若能，求出這一個直角三角形的三邊長；若不能，說明理由．【答案】3cm、4cm、5cm．【分析】設(shè)較短的直角邊為xcm，則較長的直角邊為（x+1）cm，斜邊為12﹣x﹣x﹣1＝（11﹣2x）cm，由題意得：x2+（x+1）2＝（11﹣2x）2，求解方程即可．【解答】解：能，理由：設(shè)較短的直角邊為xcm，則較長的直角邊為（x+1）cm，斜邊為12﹣x﹣x﹣1＝（11﹣2x）cm，由題意得：x2+（x+1）2＝（11﹣2x）2，解得：x1＝3，x2＝20（舍去），∴較長的直角邊為x+1＝4cm，斜邊為11﹣2x＝5cm，∴這一個直角三角形的三邊長為：3cm、4cm、5cm．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理的逆定理，熟練掌握各知識點是解決本題的關(guān)鍵．4．設(shè)一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程．①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝﹣1；④b＝2，c＝2．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】見解析．【分析】先根據(jù)這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中選取，然后求解方程即可．【解答】解：∵使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，選②解方程，則這個方程為：x2+3x+1＝0，∴x=?b±∴x1=?3+52，x選③解方程，則這個方程為：x2+3x﹣1＝0，∴x1=?3+132，x【點評】本題主要考查的是根據(jù)一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式等于0，方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式小于0，方程無解．5．閱讀探究有關(guān)個位數(shù)是5的整數(shù)的平方簡便計算問題．觀察下列算式：152＝1×2×100+25＝225；252＝2×3×100+25＝625；352＝3×4×100+25＝1225…（1）請你寫出952的簡便計算過程及結(jié)果；（2）其實這種方法也可以推廣到個位數(shù)是5的三位數(shù)的平方，證明略．①請你寫出1152的簡便計算過程及結(jié)果．②用計算或說理的方式確定9852﹣8952的結(jié)果末兩位數(shù)字是多少？（3）已知一個個位數(shù)是5的整數(shù)的平方是354025，請用方程的相關(guān)知識求這個數(shù)．【答案】見解析【分析】（1）結(jié)果＝十位數(shù)字×（十位數(shù)字+1）×100+25；（2）①結(jié)果＝前兩位數(shù)字×（前兩位數(shù)字+1）×100+25；②末兩位數(shù)字都是25，那么可得相減后的末兩位數(shù)字；（3）可設(shè)未知數(shù)位上的數(shù)字為x，那么x（x+1）×100+25＝354025，求得正整數(shù)x，進而加上最后一位上的5即可．【解答】解：（1）952＝9×10×100+25＝9025；（2）①1152＝11×12×100+25＝13225；②因為9852的末兩位為25，而8952的末兩位也為25，所以9852﹣8952的末兩位數(shù)字都為零；（3）籠統(tǒng)地設(shè)未知數(shù)位上的數(shù)為x，由題意有x（x+1）×100+25＝354025，x（x+1）×100＝354000，x（x+1）＝3540，左邊為相鄰兩整數(shù)的積，把3540“分解”為兩個相鄰整數(shù)，即3540＝59×60，故x＝59．所以這個三位數(shù)為595．【點評】考查規(guī)律性的數(shù)字問題及一元二次方程的應(yīng)用；得到末尾數(shù)字是5的數(shù)的平方的計算規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．類型二：傳播問題6．春季是傳染病多發(fā)季節(jié).2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非常快，開始有4人被感染，經(jīng)過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感．若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數(shù)．【答案】每輪每人傳染的人數(shù)為7人．【分析】設(shè)每輪每人傳染的人數(shù)為x人，則第一輪中有4x人被感染，第二輪中有x（4+4x）人被感染，根據(jù)“開始有4人被感染，經(jīng)過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感”，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每輪每人傳染的人數(shù)為x人，則第一輪中有4x人被感染，第二輪中有x（4+4x）人被感染，根據(jù)題意得：4+4x+x（4+4x）＝256，即4（1+x）2＝256，解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合題意，舍去）．答：每輪每人傳染的人數(shù)為7人．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7．衛(wèi)生部疾病控制專家經(jīng)過調(diào)研提出，如果1人傳播10人以上而且被傳染的人已經(jīng)確定為新冠肺炎，那么這個傳播者就可以稱為“超級傳播者”．如果某鎮(zhèn)有1人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．（1）經(jīng)過計算，判斷最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”嗎？請先寫出結(jié)論，再說明理由；（2）若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有多少人成為新冠肺炎病毒的攜帶者？【答案】（1）最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”，理由見解答；（2）1728人．【分析】（1）最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”，設(shè)每人每輪傳染的人數(shù)為x人，則第一輪傳染了x人，第二輪傳染了x（1+x）人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有144人成為新冠肺炎病毒的攜帶者，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之將其正值與10比較后即可得出結(jié)論；（2）利用經(jīng)過3輪傳染后成為新冠肺炎病毒的攜帶者的人數(shù)＝經(jīng)過兩輪傳染后成為新冠肺炎病毒的攜帶者的人數(shù)+經(jīng)過兩輪傳染后成為新冠肺炎病毒的攜帶者的人數(shù)×每人每輪傳染的人數(shù)，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”，理由如下：設(shè)每人每輪傳染的人數(shù)為x人，則第一輪傳染了x人，第二輪傳染了x（1+x）人，依題意得：1+x+x（1+x）＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．∵11＞10，∴最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”．（2）144+144×11＝1728（人）．答：若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有1728人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．為了響應(yīng)“踐行核心價值觀，傳遞青春正能量”的號召，小穎決定走入社區(qū)號召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．假定從一個人開始號召，每一個人每周能夠號召相同的m個人參加，被號召參加的人下一周會繼續(xù)號召，兩周后，將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”．（1）求出m的值；（2）經(jīng)過計算后，小穎、小紅、小麗三人開始發(fā)起號召，但剛剛開始，他們就發(fā)現(xiàn)了問題，實際號召過程中，不是每一次號召都可以成功，而他們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤阎〖t的成功率比小穎的兩倍少10%，第一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了n人．請分別求出他們?nèi)颂栒俚某晒β剩敬鸢浮浚?）m的值為10；（2）小穎號召的成功率為40%，小紅號召的成功率為70%，小麗號召的成功率為60%．【分析】（1）根據(jù)兩周后將有121人被號召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者”，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）由三人號召人數(shù)間的關(guān)系可得出小麗號召了（n+2）人、小紅號召了（15﹣2n）人，根據(jù)小紅的成功率比小穎的兩倍少10%，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解之即可得出n的值，再利用號召的成功率=號召的人數(shù)【解答】解：（1）依題意得：1+m+（1+m）m＝121，整理得：（1+m）2＝121，解得：m1＝10，m2＝﹣12（不合題意，舍去）．答：m的值為10．（2）∵第一周后小麗比小穎多號召2人，三人一共號召17人，其中小穎號召了n人，∴小麗號召了（n+2）人，小紅號召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人．依題意得：15?2n10×100%＝2解得：n＝4，∴n10×100%=410×100%＝40%，15?2n10×答：小穎號召的成功率為40%，小紅號召的成功率為70%，小麗號召的成功率為60%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．9．隨著通信事業(yè)的日益發(fā)達，信息傳播越來越快捷，如果有一個人收到一條信息后，轉(zhuǎn)發(fā)了此信息，收到轉(zhuǎn)發(fā)的信息的人中有13【答案】平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給21個人．【分析】設(shè)平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給x個人，則第一輪轉(zhuǎn)發(fā)給了x個人，第二輪轉(zhuǎn)發(fā)給了13x2個人，根據(jù)“有一個人收到一條信息后，經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后，共有169人收到此信息”，可得出關(guān)于x【解答】解：設(shè)平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給x個人，則第一輪轉(zhuǎn)發(fā)給了x個人，第二輪轉(zhuǎn)發(fā)給了13x2根據(jù)題意得：1+x+13x整理得：x2+3x﹣504＝0，解得：x1＝21，x2＝﹣24（不符合題意，舍去）．答：平均每人每輪轉(zhuǎn)發(fā)給21個人．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．類型三：單循環(huán)問題10．參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了55份合同，共有多少家公司參加商品交易會？【答案】11家．【分析】設(shè)共有x家公司參加商品交易會，利用簽訂合同的總數(shù)量＝參會公司數(shù)×（參會公司數(shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)共有x家公司參加商品交易會，依題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣110＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣10（不符合題意，舍去）．答：共有11家公司參加商品交易會．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．為增強同學(xué)們的體質(zhì)，豐富校園文化體育生活，富川縣某校八年級舉行了籃球比賽，比賽以循環(huán)賽的形式進行，即每個班級之間都要比賽一場，共比賽了45場．（1）問該校八年級共有幾個班？（2）籃球比賽勝一場得2分，負一場得1分，小奉同學(xué)所在的2101班要想獲得不低于14分的積分，至少要取得多少場勝利？【答案】（1）10個班；（2）5場．【分析】（1）該校八年級共有x個班，利用比賽的總場數(shù)＝該校八年級的班數(shù)×（該校八年級的班數(shù)﹣1）÷2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)小奉同學(xué)所在的2101班勝了y場，則負了（9﹣y）場，利用積分＝2×勝的場數(shù)+1×負的場數(shù)，結(jié)合積分不低于14分，可列出關(guān)于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）該校八年級共有x個班，根據(jù)題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合題意，舍去）．答：該校八年級共有10個班；（2）設(shè)小奉同學(xué)所在的2101班勝了y場，則負了（9﹣y）場，根據(jù)題意得：2y+（9﹣y）≥14，解得：y≥5，∴y的最小值為5．答：小奉同學(xué)所在的2101班至少要取得5場勝利．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．12．閱讀與思考方法介紹：同學(xué)們、生活中的很多實際問題，我們往往抽象成數(shù)學(xué)問題，然后通過數(shù)形結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型的方式來解決．例如：我校七年級有五個班在落實“雙減”政策，豐富課余生活，每個班只能組建一個球隊，代表該班參加比賽，每個隊都要和其他各隊比賽一場，問該學(xué)校一共要安排多少場比賽？這是一個實際問題，我們可以在平面內(nèi)畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），如圖1所示，其中每個點各代表一個足球隊，兩個隊之間比賽一場就用一條線段把他們連起來，其中連接線段的條數(shù)就是安排比賽的場數(shù)、這樣模型就建立起來了，如何解決這個模型呢？由于每個隊都要與其他各隊此賽一場，即每個點都要與另外4點連接一條線段，這樣5個點應(yīng)該有5×4＝20條線段，而每兩個點之間的線段都重復(fù)計算了一次，實際只有10條線段，所以學(xué)校一共要安排10場比賽．學(xué)以致用：（1）由于七年級學(xué)生積極性高漲，還要求再比賽，體育組為了讓更多的同學(xué)參加，體現(xiàn)班級的凝聚力，這次要求每班組建2個球隊，且每個隊與其他各隊比賽一場且本班的兩個球隊也要比賽．學(xué)校一共安排20場比賽，對嗎？請借助圖2直接判斷，若不正確，請直接寫出學(xué)校一共安排的場數(shù)；（2）根據(jù)規(guī)律，直接寫出如果學(xué)校準(zhǔn)備組織n個籃球隊參加比賽，每兩個球隊之間都比賽一場，若比賽場數(shù)用m表示，直接寫出m與n的數(shù)量關(guān)系式；問題解決：（3）D5367是從大同南開往運城北的高鐵，若途中任兩站的距離都不相等，在這趟高鐵中共設(shè)有45種不同的票價，求途中有多少個停車點．【答案】（1）不正確，學(xué)校一共安排45場比賽；（2）m=12n（（3）途中有10個停車點．【分析】（1）不正確，由七年級的班級數(shù)及每班組建2個球隊，可得出七年級共組建10個球隊，利用學(xué)校安排比賽的場數(shù)＝組建球隊的數(shù)量×（組建球隊的數(shù)量﹣1）÷2，即可求出結(jié)論；（2）利用學(xué)校安排比賽的場數(shù)＝組建球隊的數(shù)量×（組建球隊的數(shù)量﹣1）÷2，即可找出m與n的數(shù)量關(guān)系式；（3）設(shè)途中有x個停車點，根據(jù)在這趟高鐵中共設(shè)有45種不同的票價，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）不正確，∵七年級共組建5×2＝10（個）球隊，∴學(xué)校一共安排的場數(shù)為10×（10﹣1）÷2＝45（場）．答：不正確，學(xué)校一共安排45場比賽．（2）依題意得：m=12n（（3）設(shè)途中有x個停車點，依題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合題意，舍去）．答：途中有10個停車點．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：圖形的變化類，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13．新年到了，為增進同學(xué)友誼，某班主任規(guī)定本班同學(xué)間，每兩個人必須相互通電話1次．（1）若本班人數(shù)為20，則共通話190次，若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話12n（n﹣1）（2）若同學(xué)們共通話1225次，求該班同學(xué)的人數(shù)；（3）王峰同學(xué)由打電話問題想到了一個數(shù)學(xué)問題：若線段AB上共有m個點（不含端點A、B），線段總數(shù)為多少呢？請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）190，12n（n（2）50人；（3）12（m+2）（m【分析】（1）利用通話總次數(shù)＝本班人數(shù)×（本班人數(shù)﹣1）÷2，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)同學(xué)們共通話1225次，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（3）利用線段的總數(shù)＝點的個數(shù)×（點的個數(shù)﹣1）÷2，即可用含m的代數(shù)式表示出線段的總數(shù)．【解答】解：（1）20×（20﹣1）÷2＝190（次），若本班人數(shù)為n（n≥2，且n為正整數(shù)），則共通話12n（n故答案為：190；12n（n（2）依題意得：12n（n整理得：n2﹣n﹣2450＝0，解得：n1＝50，n2＝﹣49（不符合題意，舍去）．答：該班同學(xué)的人數(shù)為50人．（3）∵線段AB上共有m個點（不含端點A，B），∴該線段上共有（m+2）個點（含端點A，B），∴線段總數(shù)為12（m+2）（m【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含n的代數(shù)式表示出通話總數(shù)；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含m的代數(shù)式表示出線段總數(shù)．14．某單位準(zhǔn)備舉辦羽毛球邀請賽，賽制為單循環(huán)（每兩位選手之間各進行一場比賽），計劃一共舉行45場比賽．（1）求該邀請賽的參賽選手人數(shù)；（2）為了保證比賽正常進行，該單位需要為每場比賽至少準(zhǔn)備4只羽毛球，且計劃購買的羽毛球數(shù)量為10的整數(shù)倍．計劃購買的某品牌羽毛球原價4元/只，現(xiàn)有甲，乙兩家公司促銷該品牌羽毛球．甲公司促銷方案：在原價的基礎(chǔ)上，在一定范圍內(nèi)每多購買10只，每個的單價可降低0.05元，例如購買20只時的單價為3.9元，最低單價不能低于2.8元；乙公司一律按8折促銷．若該單位選擇甲，乙中的一家公司購買，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，分別選擇在這兩家公司購買的總金額相差40元，從節(jié)約成本的角度考慮，判斷該單位應(yīng)選擇哪家公司購買，并求其計劃購買的羽毛球數(shù)量．【答案】（1）10位；（2）該單位應(yīng)選擇甲公司購買，其計劃購買的羽毛球數(shù)量為200只．【分析】（1）設(shè)該邀請賽邀請了x位參賽選手，利用比賽的總場數(shù)＝參賽選手?jǐn)?shù)×（參賽選手?jǐn)?shù)﹣1）÷2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)計劃購買y只羽毛球，由“該單位需要為每場比賽至少準(zhǔn)備4只羽毛球，且計劃購買的羽毛球數(shù)量為10的整數(shù)倍”，可得出y的取值范圍，根據(jù)分別選擇在這兩家公司購買的總金額相差40元，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該邀請賽邀請了x位參賽選手，依題意得：12x（x整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不符合題意，舍去）．答：該邀請賽邀請了10位參賽選手．（2）設(shè)計劃購買y只羽毛球，∵45×4＝180（只），∴y≥180，且y為10的整數(shù)倍．y﹣（4?y10×整理得：y2﹣160y﹣8000＝0，解得：y1＝200，y2＝﹣40（不符合題意，舍去）．答：從節(jié)約成本的角度考慮，該單位應(yīng)選擇甲公司購買，其計劃購買的羽毛球數(shù)量為200只．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．類型四：雙循環(huán)問題15．某校要組織足球聯(lián)賽，每兩隊之間都進行兩場比賽．（1）如果有4支球隊參加比賽，那么共進行多少場比賽；（2）如果全校一共進行90場比賽，那么有多少支球隊參加比賽？【答案】（1）如果有4支球隊參加比賽，那么共進行12場比賽．（2）如果全校一共進行90場比賽，那么有10支球隊參加比賽．【分析】（1）根據(jù)參加比賽球隊的數(shù)量及賽制，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)有x支球隊參加比賽，根據(jù)全校一共進行90場比賽，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）4×3＝12（場）．∴如果有4支球隊參加比賽，那么共進行12場比賽．（2）設(shè)有x支球隊參加比賽，依題意，得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：如果全校一共進行90場比賽，那么有10支球隊參加比賽．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每兩隊之間都賽兩場），共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？【答案】共有10支隊參加比賽．【分析】每個隊都要與其余隊比賽一場，2隊之間要賽2場．等量關(guān)系為：隊的個數(shù)×（隊的個數(shù)﹣1）＝90，把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．【解答】解：設(shè)有x隊參加比賽．依題意，得x（x﹣1）＝90，（x﹣10）（x+9）＝0，解得x1＝10，x2＝﹣9（不合題意，舍去）．答：共有10支隊參加比賽．【點評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用；得到比賽總場數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17．閱讀下表：解答下列問題：線段AB上的點數(shù)n（包括A、B兩點）圖例線段總條數(shù)N33＝2+146＝3+2+1510＝4+3+2+1615＝5+4+3+2+1（1）根據(jù)表中規(guī)律猜測線段總條數(shù)N與線段上點數(shù)n（包括線段的兩個端點）的關(guān)系，用含n的代數(shù)式表示N，則N＝n(n?1)2（2）2018年“俄羅斯世界杯足球賽”，第一輪小組賽共有32支球隊分成8組（每組4個隊），每組組內(nèi)分別進行單循環(huán)賽（即每個隊與本小組的其它隊各比賽一場），求第一輪共要進行幾場比賽？（3）2018年“中國足球超級聯(lián)賽”，不分小組，所有球隊直接進行雙循環(huán)賽（即每兩個隊之間按主客場共要進行兩場比賽），共要進行240場比賽，求共有幾支球隊參加比賽？【答案】見解析【分析】（1）線段的總條數(shù)N與線段上的點數(shù)n的關(guān)系式N=n(n?1)（2）先將n＝4代入（1）中的關(guān)系式求出每小組4個隊單循環(huán)賽一共比賽的場數(shù)，再乘以組數(shù)8即可；（3）設(shè)共有幾支球隊參加比賽，根據(jù)所有球隊直接進行雙循環(huán)賽（即每兩個隊之間按主客場共要進行兩場比賽），共要進行240場比賽列出方程，求解即可．【解答】解：（1）由題意，得N=n(n?1)故答案為：n(n?1)2（2）每小組4個隊單循環(huán)賽一共比賽：4×32共6個組，6×6＝36（場）．答：第一輪共要進行36場比賽；（3）設(shè)共有幾支球隊參加比賽，根據(jù)題意得x（x﹣1）＝240，解得x＝16或x＝﹣15（舍去）．答：共有16支球隊參加比賽．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，線段的定義，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，掌握從特殊向一般猜想的方法，得出線段的總條數(shù)N與線段上的點數(shù)n的關(guān)系式．18．在一次會議上，參加會議的人之間互送名片，一共送出了210張名片，求參加這次會議的人數(shù)．【答案】參加這次會議的人數(shù)有15人．【分析】設(shè)參加這次會議的人數(shù)有x人，每人送出禮物（x﹣1）件，共送出x（x﹣1）件，根據(jù)題意列出方程，求解即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)參加這次會議的人數(shù)有x人，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝210，解得：x1＝15，x2＝﹣14（不合題意，舍去），答：參加這次會議的人數(shù)有15人．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，找出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．19．“中超”足球聯(lián)賽采用的是主客場制的雙循環(huán)比賽制度（即每兩個隊之間都要舉行兩場比賽）．顯然參賽球隊的個數(shù)對比賽總場次數(shù)有直接影響，由于各種原因，到底有幾支球隊參加“中超”聯(lián)賽，一直是中國足協(xié)考慮的問題之一．在目前的基礎(chǔ)上，如果減少4支球隊，則比賽總場次數(shù)將比現(xiàn)在的總場次數(shù)的一半還少6場，那么，現(xiàn)在共有多少支球隊參加“中超”聯(lián)賽？【答案】見解析【分析】如果有n支球隊參加雙循環(huán)比賽，那么比賽總場次為n（n﹣1）．據(jù)此依題意列方程解答．【解答】解：設(shè)現(xiàn)在共有x支球隊參加“中超”聯(lián)賽，（1分）則：（x﹣4）（x﹣5）=12x（即x2﹣17x+52＝0，（8分）解得：x1＝4，x2＝13．（11分）x1＝4不合題意，所以x2＝13．答：現(xiàn)在共有13支球隊參加“中超”聯(lián)賽．（12分）【點評】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，主要搞清楚雙循環(huán)賽制的計算場次方法．類型五：增長率問題20．新能源汽車節(jié)能、環(huán)保，越來越受消費者喜愛，我國新能源汽車近幾年出口量逐年增加，2020年出口量為20萬臺，2022年出口量增加到45萬臺．（1）求2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是多少？（2）按照這個增長速度，預(yù)計2023年我國新能源汽車出口量為多少？【答案】（1）2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是50%；（2）預(yù)計2023年我國新能源汽車出口量為67.5萬輛．【分析】（1）根據(jù)2020年某款新能源車銷售量為20萬輛，到2022年銷售量為45萬輛，若年增長率x不變，可得關(guān)于x的一元二次方程；（2）利用（1）中所求，進而利用2023年出口量＝2022年出口量×（1+增長率），即可得出答案．【解答】解：設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程：20（1+x）2＝45，解得：x1＝0.5，x2＝﹣2.5（不合題意舍去），答：2020年到2022年新能源汽車出口量的年平均增長率是50%；（2）由（1）得，45×（1+50%）＝67.5（萬），答：預(yù)計2023年我國新能源汽車出口量為67.5萬輛．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．某城市2020年底已有綠化面積500公頃，經(jīng)過努力，綠化面積以相同的增長率逐年增加，到2022年底增加到605公頃，求該城市綠化面積的增長率．【答案】該城市綠化面積的增長率10%．【分析】先根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求出增長率．【解答】解：設(shè)綠化面積的年平均增長率是x，由題意得：500（1+x）2＝605，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去），答：該城市綠化面積的增長率10%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意找出相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．某繪畫藝人第一天的收入為875元，第三天的收入為1260元（每天收入的增長率相同）．（1）求繪畫藝人每天平均收入的增長率是多少？（2）繪畫藝人想制作一幅長30分米，寬20分米的一幅畫，其中有一橫一豎寬度相同的彩條（陰影部分為彩條無費用），其余空白處進行作畫，如圖所示，作畫區(qū)域的費用為每平方分米3元，經(jīng)預(yù)算作畫區(qū)域的總費用恰好是第四天的收入，求彩條的寬度是多少分米．【答案】（1）繪畫藝人每天平均收入的增長率是20%；（2）彩條的寬度是2分米．【分析】（1）設(shè)繪畫藝人每天平均收入的增長率為x，則第二天的收入是875（1+x）元，第三天的收入是875（1+x）（1+x）元，根據(jù)題意可得方程；（2）設(shè)彩條的寬度是y分米，作畫區(qū)域的面積是1512÷3＝504，所以由長方形的面積公式得到：（30﹣y）（20﹣y）＝504，解方程即可．【解答】解：（1）設(shè)繪畫藝人每天平均收入的增長率是x．875（1+x）2＝1260，x1＝0.2，或x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），答：繪畫藝人每天平均收入的增長率是20%；（2）第四天的收入是1260×（1+20%）＝1512（元）．作畫區(qū)域的面積是1512÷3＝504（平方分米），設(shè)彩條的寬度是y分米．（30﹣y）（20﹣y）＝504．y1＝2，y2＝48（不符合題意，舍去）．答：彩條的寬度是2分米．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．23．為滿足師生閱讀需求，學(xué)校建立“閱讀公園”，并且不斷完善藏書數(shù)量，今年3月份閱讀公園中有藏書5000冊，到今年5月份其中藏書數(shù)量增長到7200冊．（1）求閱讀公園這兩個月藏書的平均增長率．（2）按照這樣的增長方式，請你估算出今年6月份閱讀公園的藏書量是多少？【答案】（1）20%；（2）6000冊．【分析】（1）設(shè)閱讀公園這兩個月藏書的平均增長率為x，利用今年5月份的藏書量＝今年3月份的藏書量×（1+這兩年藏書的年平均增長率）2，列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）利用今年6月份的藏書量＝今年5月份的藏書量×（1+藏書的年平均增長率），即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)藏書平均增長率為x，則：5000(1+x)答：閱讀公園這兩個月藏書的平均增長率為20%；（2）5000×（1+20%）＝6000（冊）．答：今年6月份閱讀公園的藏書量是6000冊【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．24．宜昌百里洲砂梨以個大、肉脆、汁多、味甜被湖北省農(nóng)業(yè)廳命名為“湖北十大名果”，村民小張對A（黃金梨）、B（黃花梨）兩種砂梨進行實驗種植對比研究，2021年種植A、Bkg的價格銷售．已知B的平均畝產(chǎn)量比A高25%，兩種梨全部售出后總收入為432000元．（1）求2021年A、B兩種砂梨的平均畝產(chǎn)量分別是多少千克？（2）2022年，小張優(yōu)化了種植方法，在保持種植面積不變的情況下，A、B的平均畝產(chǎn)量在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%．由于B品種深受市場歡迎，銷售價在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而A品種的售價不變，兩種梨全部售出后總收入比2021年增加83a%，求a【答案】（1）2021年A種砂梨的平均畝產(chǎn)量是400千克，B種砂梨的平均畝產(chǎn)量是500千克．（2）a的值為0或50．【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系：A種砂梨總收入+B種砂梨總收入＝總收入，設(shè)未知數(shù)，表示出兩種砂梨的收入列方程求解即可．（2）根據(jù)題意分別表示出優(yōu)化后A、B兩種砂梨平均畝產(chǎn)量，售價和收入，并表示出優(yōu)化后的總收入，再根據(jù)等量關(guān)系：A種砂梨總收入+B種砂梨總收入＝總收入列方程求解即可．【解答】解：（1）設(shè)2021年A種砂梨的平均畝產(chǎn)量是x千克，則B種砂梨的平均畝產(chǎn)量是（1+25%）x千克，由題意得，4.8×100x+4.8×100×（1+25%）x＝432000．解得x＝400，則（1+25%）×400＝500kg．答：2021年A種砂梨的平均畝產(chǎn)量是400千克，B種砂梨的平均畝產(chǎn)量是500千克．（2）由題意可得優(yōu)化后，A種梨的平均畝產(chǎn)量為：400（1+a%）kg，Akg，則100畝A種梨的收入為：4.8×100×400（1+a%）＝192000+1920a，優(yōu)化后，B種梨的平均畝產(chǎn)量為：500（1+2a%）kg，B種梨的售價為4.8（1+a%）元/kg，則100畝A種梨的收入為：4.8（1+a%）×100×500（1+2a%）＝240000+7200a+48a2，優(yōu)化后，兩種梨的總收入為：432000（1+83a%）＝432000+11520則有：192000+1920a+240000+7200a+48a2＝432000+11520a，化簡得：a2﹣50a＝0，解得a1＝0，a2＝50．答：a的值為0或50．【點評】本題第（1）問考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確的理解題意，找出等量關(guān)系是關(guān)鍵．當(dāng)然也可用二元一次方程組求解．第（2）問輸入增長率問題，考查了一元二次方程的應(yīng)用，等量關(guān)系同（1），很容易找出，但本問數(shù)量比較多且代數(shù)式復(fù)雜，計算有一定的難度，做題時應(yīng)小心謹(jǐn)慎有條理，注意不要算錯．類型六：銷售問題25．某商店以20元/千克的單價進貨了一批商60品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中線段AB所示．?（1）求y與x的函數(shù)表達式；（2）要讓利給消費者且使每天的銷售利潤達到800元，銷售單價應(yīng)定為每千克多少元？【答案】（1）y＝﹣x+80；（2）銷售單價應(yīng)定為每千克40元或60元．【分析】（1）觀察函數(shù)圖象找出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出y與x的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)總利潤＝每千克利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k≠0），將（20，60），（80，0）代入y＝kx+b，得：20k+b=6080k+b=0解得：k=?1b=80∴y與x的函數(shù)表達式為y＝﹣x+80．（2）根據(jù)題意得：（x﹣20）（﹣x+80）＝800，整理得：x2﹣100x+2400＝0，解得：x1＝40，x2＝60．答：銷售單價應(yīng)定為每千克40元或60元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．26．某商場銷售一批名牌襯衫，每件進價為100元，若每件售價為160元，則平均每個月可售出100件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價2元，商場平均每月可多售出10件，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，設(shè)每件襯衫降價x元．（1）用含x的代數(shù)式表示每月可售出的襯衫件數(shù)為（100+5x）件；（2）若商場每月要盈利7875元，請你幫助商場算一算，每件襯衫應(yīng)降價多少元？【答案】（1）（100+5x）件；（2）每件襯衫應(yīng)降價25元．【分析】（1）根據(jù)題意可以用含x的代數(shù)式表示每天可售出的襯衫；（2）以利潤為等量關(guān)系列出方程解答即可；【解答】解：（1）每件襯衫每降價2元，商場平均每月可多售出10件，∴每件襯衫降價x元，每月可售出襯衫件數(shù)為（100+5x）件．故答案為：（100+5x）件；（2）每件襯衫降價x元，由題意得，（160﹣x﹣100）（100+5x）＝7875解得x1＝25，x2＝15∵要盡快減少庫存∴x＝25答：每件襯衫應(yīng)降價25元【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．27．2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進貨價和銷售價如下表：（注：利潤＝銷售價﹣進貨價）類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價（元/件）3025銷售價（元/件）4537（1）網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)？（2）冬奧會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？【答案】（1）購進20件A款鑰匙扣，10件B款鑰匙扣；（2）每件30元或34元．【分析】（1）設(shè)購進x件A款鑰匙扣，y件B款鑰匙扣，利用進貨總價＝進貨單價×進貨數(shù)量，結(jié)合“網(wǎng)店用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)將銷售價定為每件m元，則每件的銷售利潤為（m﹣25）元，平均每天可售出（78﹣2m）件，利用總利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)購進x件A款鑰匙扣，y件B款鑰匙扣，根據(jù)題意得：x+y=3030x+25y=850解得：x=20y=10答：購進20件A款鑰匙扣，10件B款鑰匙扣；（2）設(shè)將銷售價定為每件m元，則每件的銷售利潤為（m﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣m）＝（78﹣2m）件，根據(jù)題意得（m﹣25）（78﹣2m）＝90，整理得：m2﹣64m+1020＝0，解得：m1＝30，m2＝34．答：將銷售價定為每件30元或34元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．28．年糕餃?zhǔn)菍幉ǖ奶厣朗常湟阅旮鉃槠ぃ上炭商鸬酿W料裹于其中，口感軟糯平實．今有某店鋪銷售年糕餃，通過分析銷售情況發(fā)現(xiàn)，年糕餃的日銷售量y（盒）是銷售單價x（元/盒）的一次函數(shù)，銷售單價、日銷售量的部分對應(yīng)值如下表，已知銷售單價不低于成本價．當(dāng)?shù)赇亴N售單價定為18元/盒時，日銷售利潤為750元．銷售單價x（元/盒）1517日銷售量y（盒）150100（1）求年糕餃的日銷售量y（盒）關(guān)于銷售單價x（元/盒）的函數(shù)表達式．（2）求年糕餃每盒的成本價．（3）端午節(jié)，為了盡可能讓利顧客，擴大銷售，店鋪采用了降價促銷的方式，當(dāng)銷售單價x（元/盒）定為多少時，日銷售利潤為1000元？【答案】（1）y＝﹣25x+525；（2）8元/盒；（3）13元/盒．【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，即可求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（2）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，可求出當(dāng)x＝18時y的值，利用每盒年糕餃的銷售利潤＝總利潤÷日銷售量，可求出每盒年糕餃的銷售利潤，再利用每盒年糕餃的成本＝銷售單價﹣成本，即可求出結(jié)論；（3）利用總利潤＝每盒的銷售利潤×日銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再結(jié)合要盡可能讓利顧客，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k≠0），將（15，150），（17，100）代入y＝kx+b得：15k+b=15017k+b=100解得：k=?25b=525∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝﹣25x+525；（2）當(dāng)x＝18時，y＝﹣25×18+525＝75，∴每盒年糕餃的銷售利潤為750÷75＝10（元），∴每盒年糕餃的成本為18﹣10＝8（元）．答：每盒年糕餃的成本為8元；（3）根據(jù)題意得：（x﹣8）（﹣25x+525）＝1000，整理得：x2﹣29x+208＝0，解得：x1＝13，x2＝16，∵要盡可能讓利顧客，∴x＝13．答：當(dāng)銷售單價x（元/盒）定為13時，日銷售利潤為1000元．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法，求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．29．某文具店新進一批體育中考專用排球，每個排球的進價為40元，原計劃以每個60元的價格銷售，為更好地滿足學(xué)生的需求，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種排球銷售量y（個）與每個排球降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次排球銷售中，該文具店獲利1760元，這種排球每個的實際售價多少元？【答案】（1）y＝10x+100；（2）48元．【分析】（1）根據(jù)圖象上點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用總利潤＝每個排球的銷售利潤×銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其符合題意的值代入（60﹣x）中，即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），將（1，110），（3，130）代入y＝kx+b得：110=k+b130=3k+b解得：k=10b=100∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝10x+100；（2）根據(jù)題意得：（60﹣x﹣40）（10x+100）＝1760，整理得：x2﹣10x﹣24＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣2（不符合題意，舍去），∴60﹣x＝60﹣12＝48．答：這種排球每個的實際售價是48元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．30．某工廠每月生產(chǎn)800件產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為100元，分配給線上旗艦店和線下直營店兩個渠道銷售．線上旗艦店的產(chǎn)品售價y（元）與月銷售量x（件）滿足關(guān)系：y=?1（1）設(shè)線上旗艦店的月銷售量為a件，線下直營店的月銷售量為b件，分別用含a、b的代數(shù)式表示：①線上銷售的a件產(chǎn)品的利潤為（?18a2+130a②若0≤b≤400，則線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤為30b元；若400＜b≤800，則線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤為（190b﹣69000）元．（2）假設(shè)工廠每月生產(chǎn)的800件產(chǎn)品都能售出，請你設(shè)計一種分配方案，使得銷售總利潤為45200元．（注：要有解答過程）【答案】（1）①（?18a2+130②30b，（190b﹣69000）；（2）應(yīng)分配線上旗艦店銷售360件，線下直營店銷售440件，使得銷售總利潤為45200元．【分析】（1）①利用線上銷售的a件產(chǎn)品的利潤＝（銷售單價﹣成本）×銷售數(shù)量，可用含a的代數(shù)式表示出線上銷售的a件產(chǎn)品的利潤；②若0≤b≤400，利用線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤＝（銷售單價﹣成本﹣贈送禮品的成本）×銷售數(shù)量，可用含b的代數(shù)式表示出線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤；若400＜b≤800，利用線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤＝（銷售單價﹣成本﹣贈送禮品的成本）×400+銷售單價×超出400件的部分﹣5000，即可用含b的代數(shù)式表示出線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤；（2）設(shè)線上旗艦店的月銷售量為m件，則線下直營店的月銷售量為（800﹣m）件，分0＜800﹣m≤400及400＜800﹣m≤800兩種情況考慮，當(dāng)0＜800﹣m≤400，即400≤m＜800時，根據(jù)銷售總利潤為46200元，可列出關(guān)于m的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣38400＜0，可得出該方程無實數(shù)根，當(dāng)400＜800﹣m≤800，即0≤m＜400時，根據(jù)銷售總利潤為46200元，可列出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①根據(jù)題意得：線上銷售的a件產(chǎn)品的利潤為（?18a+230﹣100）a＝（?18a故答案為：（?18a2+130②根據(jù)題意得：若0≤b≤400，則線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤為（190﹣100﹣60）b＝30b元；若400＜b≤800，則線下銷售的b件產(chǎn)品的利潤為（190﹣100﹣60）×400+190（b﹣400）﹣5000＝（190b﹣69000）元．故答案為：30b，（190b﹣69000）；（2）設(shè)線上旗艦店的月銷售量為m件，則線下直營店的月銷售量為（800﹣m）件，當(dāng)0＜800﹣m≤400，即400≤m＜800時，?18m2+130m+30（800﹣整理得：m2﹣800m+169600＝0，∵Δ＝（﹣800）2﹣4×1×169600＝﹣38400＜0，∴該方程沒有實數(shù)根；當(dāng)400＜800﹣m≤800，即0≤m＜400時，?18m2+130m+190（800﹣整理得：m2+480m﹣302400＝0，解得：m1＝360，m2＝﹣840（不符合題意，舍去），∴800﹣m＝800﹣360＝440，∴應(yīng)分配線上旗艦店銷售360件，線下直營店銷售440件，使得銷售總利潤為45200元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、根的判別式以及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含a（或b）的代數(shù)式表示出銷售利潤；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．31．第19屆亞運會即將在杭州舉行，某商店購進一批亞運會紀(jì)念品進行銷售，已知每件紀(jì)念品的成本是30元．如果銷售單價定為每件40元，那么日銷售量將達到100件．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每提高1元，日銷售量將減少2件．（1）若銷售單價定為每件45元，求每天的銷售利潤；（2）要使每天銷售這種紀(jì)念品盈利1600元，同時又要讓利給顧客，那么該紀(jì)念品的售價單價應(yīng)定為每件多少元？【答案】（1）1350元；（2）每件50元．【分析】（1）利用每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)該紀(jì)念品的售價單價應(yīng)定為每件x元，則每件的銷售利潤為（x﹣30）元，日銷售量為100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，利用每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（45﹣30）×[100﹣2×（45﹣40）]＝15×[100﹣2×5]＝15×[100﹣10]＝15×90＝1350（元）．答：每天的銷售利潤為1350元；（2）設(shè)該紀(jì)念品的售價單價應(yīng)定為每件x元，則每件的銷售利潤為（x﹣30）元，日銷售量為100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，根據(jù)題意得：（x﹣30）（180﹣2x）＝1600，整理得：x2﹣120x+3500＝0，解得：x1＝50，x2＝70，又∵要讓利給顧客，∴x＝50．答：該紀(jì)念品的售價單價應(yīng)定為每件50元．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．32．長沙市政府出臺了一系列“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”優(yōu)惠政策，使廣大農(nóng)戶收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種農(nóng)產(chǎn)品的成本價為每千克20元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該農(nóng)產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關(guān)系：y＝﹣2x+80．設(shè)這種農(nóng)產(chǎn)品每天的銷售利潤為W元．（1）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若物價部門規(guī)定這種農(nóng)產(chǎn)品的銷售價不得高于30元/千克，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤，則銷售價應(yīng)定為多少元/千克？【答案】（1）W＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）銷售價應(yīng)定為25元/千克．【分析】（1）利用這種農(nóng)產(chǎn)品每天的銷售利潤＝每千克的銷售利潤×每天的銷售量，即可找出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)該農(nóng)戶每天獲得150元的銷售利潤，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：W＝（x﹣20）（﹣2x+80），∴W＝﹣2x2+120x﹣1600；（2）根據(jù)題意得：﹣2x2+120x﹣1600＝150，整理得：x2﹣60x+875＝0，解得：x1＝25，x2＝35（不符合題意，舍去）．答：銷售價應(yīng)定為25元/千克．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，找出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．33．某服裝店銷售一種T恤衫，每件進價為40元．經(jīng)過市場調(diào)查，該T恤衫每周的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如下的一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)銷售單價為60元時，每周的銷售量為400件；當(dāng)銷售單價為80元時，每周的銷售量為200件．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，該服裝店每周銷售這種T恤衫所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）y＝﹣10x+1000；（2）銷售單價定為70元時，服裝店每周銷售這種T恤衫所獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）根據(jù)所獲得總利潤＝每件利潤×銷售數(shù)量列出函數(shù)解析式，配方成頂點式可得答案．【解答】解：（1）設(shè)y與x的關(guān)系式為y＝kx+b，把（60，400）與（80，200）代入，得：60k+b=40080k+b=200，解得：k=?10∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣10x+1000；（2）由題意可得：w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵﹣10＜0，∴當(dāng)x＝70時，w最大，w最大＝9000（元），答：銷售單價定為70元時，服裝店每周銷售這種T恤衫所獲得的利潤最大，最大利潤是9000元．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)銷售問題中關(guān)于利潤的相等關(guān)系列出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)．34．某商場服裝部銷售一種名牌襯衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．為了擴大銷售，減少庫存，商場決定降價銷售，經(jīng)調(diào)查，每件降價3元時，平均每天可多賣出6件．（1）設(shè)降價x元，則現(xiàn)在每天可銷售襯衫（30+2x）件，每件的利潤是（40﹣x）元．（用x的代數(shù)式表示）（2）若商場要求該服裝部每天盈利1400元，問每件要降價多少元？（3）若商場要求該服裝部每天盈利1600元，問這個要求能否實現(xiàn)？請說說你的理由．【答案】見解析【分析】（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元，則每件盈利（40﹣x元），每天可以售出（30+2x）件；（2）由（1）可得商場平均每天要盈利（40﹣x）（30+2x）元，根據(jù)商場平均每天要盈利＝1400元，為等量關(guān)系列出方程求解即可．（3）假設(shè)能達到，根據(jù)商場平均每天要盈利＝1600元，為等量關(guān)系列出方程，看該方程是否有解，有解則說明能達到，否則不能．【解答】解：（1）設(shè)降價x元，則現(xiàn)在每天可銷售襯衫（30+2x）件，每件的利潤是（40﹣x）元；（2）由題意，得（40﹣x）（30+2x）＝1400，即：（x﹣5）（x﹣20）＝0，解得x1＝5，x2＝20，為了擴大銷售量，減少庫存，所以x的值應(yīng)為20，所以，若商場要求該服裝部每天盈利1400元，每件要降價20元；（3）假設(shè)能達到，由題意，得（40﹣x）（30+2x）＝1600，整理，得x2﹣25x+200＝0，△＝252﹣4×1×200＝625﹣800＝﹣175＜0，即：該方程無解，所以，商場要求該服裝部每天盈利1600元，這個要求不能實現(xiàn)．故答案為：（30+2x），（40﹣x）．【點評】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意找出等量關(guān)系列出方程求解，另外還用到的知識點有“根的判別式”．類型七：圖形面積問題35．如圖，用80m長的籬笆在墻邊（墻長40米）圍一個矩形草坪，當(dāng)矩形面積是750m2時，它的長和寬應(yīng)為多少？?【答案】矩形草坪的長為30米，寬為25米．【分析】設(shè)AB邊的長為x米，則BC邊的長為（80﹣2x）米，根據(jù)矩形草坪的面積是750m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再結(jié)合墻長40米，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)AB邊的長為x米，則BC邊的長為（80﹣2x）米，根據(jù)題意得：x（80﹣2x）＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，解得：x1＝15，x2＝25，當(dāng)x＝15時，80﹣2x＝80﹣2×15＝50＞40，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝25時，80﹣2x＝80﹣2×25＝30＜40，符合題意．答：矩形草坪的長為30米，寬為25米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．36．如圖，用總長48m的籬笆依墻（墻足夠長）圍成如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，且三塊區(qū)域面積相等．（1）BCAH的值為2；AEEB的值為（2）當(dāng)矩形ABCD的面積為108m2時，求BC的長．【答案】（1）2，2；（2）12m．【分析】（1）由矩形①和矩形②的面積相等，可得出AH＝DH，結(jié)合BC＝AH+DH，可得出BCAH=2；由矩形①和矩形③的面積相等且BC＝2AH，可得出AE＝2EB，進而可得出（2）設(shè)EB＝xm，則AE＝2xm，BC＝（24﹣4x）m，根據(jù)矩形ABCD的面積為108m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再將其代入（24﹣4x）中，即可求出BC的長．【解答】解：（1）∵矩形①和矩形②的面積相等，∴AH＝DH，又∵BC＝AH+DH＝2AH，∴BCAH∵矩形①和矩形③的面積相等，且BC＝2AH，∴AE＝2EB，∴AEEB故答案為：2，2；（2）設(shè)EB＝xm，則AE＝2xm，BC=48?3×2x?2x2=（24﹣4x根據(jù)題意得：（2x+x）（24﹣4x）＝108，整理得：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，∴24﹣4x＝24﹣4×3＝12．答：BC的長為12m．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．37．某學(xué)校計劃利用一片空地為學(xué)生建一個面積為80m2的矩形車棚，其中一面靠墻（墻的可用長度為12m），已知現(xiàn)有的木板材料可使新建板墻的總長為26m．（1）根據(jù)學(xué)校的要求，在與墻平行的一面開一個2米寬的門（如圖1），那么這個矩形車棚相鄰兩邊長分別為多少米；（2）如圖2，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放自行車的面積為54m2，那么小路的寬度為多少米．【答案】（1）10米、8米；（2）1米．【分析】（1）設(shè)與墻垂直的邊長為x米，則與墻平行的邊長為（26+2﹣2x）米，根據(jù)矩形車棚的面積為80m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再結(jié)合墻的可用長度為12m，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)小路的寬度為y米，則剩余部分可合成長為（10﹣y）米，寬為（8﹣2y）米的矩形，根據(jù)停放自行車的面積為54m2，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)與墻垂直的邊長為x米，則與墻平行的邊長為（26+2﹣2x）米，根據(jù)題意得：x（26+2﹣2x）＝80，整理得：x2﹣14x+40＝0，解得：x1＝4，x2＝10，當(dāng)x＝4時，26+2﹣2x＝26+2﹣2×4＝20＞12，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝10時，26+2﹣2x＝26+2﹣2×10＝8＜12，符合題意．答：這個矩形車棚相鄰兩邊長分別為10米、8米；（2）設(shè)小路的寬度為y米，則剩余部分可合成長為（10﹣y）米，寬為（8﹣2y）米的矩形，根據(jù)題意得：（10﹣y）（8﹣2y）＝54，整理得：y2﹣14y+13＝0，解得：y1＝1，y2＝13（不符合題意，舍去）．答：小路的寬度為1米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．38．根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤問題素材1某農(nóng)戶承包了一塊長方形果園ABCD，圖1是果園的平面圖，其中AB＝200米，BC＝300米．準(zhǔn)備在它的四周鋪設(shè)道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價是50元/m2；出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度x不超過12米，且不小于5米．?素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯，經(jīng)市場調(diào)查，草莓培育一年可產(chǎn)果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進新苗，每年還需25萬元的養(yǎng)護、施肥、運輸?shù)绕溆噘M用．?問題解決任務(wù)1解決果園中路面寬度的設(shè)計對種植面積的影響．（1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是44800m2，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求．任務(wù)2解決果園種植的預(yù)期利潤問題．（凈利潤＝草莓銷售的總利潤﹣路面造價費用﹣果園承包費用﹣新苗購置費用﹣其余費用）（3）經(jīng)過1年后，農(nóng)戶是否可以達到預(yù)期凈利潤400萬元？請說明理由．?【答案】（1）5≤x≤12；（2）路面設(shè)置的寬度符合要求；（3）經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元，理由見解答．【分析】（1）由“道路寬度x不超過12米，且不小于5米”，可得出x的取值范圍；（2）根據(jù)中間種植的面積是44800m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得出路面設(shè)置的寬度符合要求；（3）經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元，假設(shè)經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元，根據(jù)“經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元”，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之可得出x的值，結(jié)合（1）的結(jié)論，可得出x＝5符合題意，假設(shè)成立，即即經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元．【解答】解：（1）∵道路寬度x不超過12米，且不小于5米，∴縱向道路寬度x的取值范圍為5≤x≤12；（2）根據(jù)題意得：（300﹣2x）（200﹣4x）＝44800，整理得：x2﹣200x+1900＝0，解得：x1＝10，x2＝190，∵5≤x≤12，∴x＝10符合題意，∴路面設(shè)置的寬度符合要求；（3）經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元，理由如下：假設(shè)經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元，根據(jù)題意得：100（300﹣2x）（200﹣4x）﹣50×[2×300×2x+2（200﹣4x）x]﹣250000﹣330000﹣250000＝4000000，整理得：x2﹣200x+975＝0，解得：x1＝5，x2＝195，又∵5≤x≤12，∴x＝5符合題意，∴假設(shè)成立，即經(jīng)過1年后，農(nóng)戶可以達到預(yù)期凈利潤400萬元．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．39．如何利用閑置紙板箱制作儲物盒素材1如圖1，圖中是小琴家需要設(shè)置儲物盒的區(qū)域，該區(qū)域可以近似看成一個長方體，底面尺寸如圖2所示．素材2如圖是利用閑置紙板箱拆解出的①，②兩種均為acm（a＜50cm）長方形紙板．長方形紙板①長方形紙板②小琴分別將長方形紙板①和②以不同的方式制作儲物盒．長方形紙板①的制作方式長方形紙板②制作方式裁去角上4個相同的小正方形，折成一個無蓋長方體儲物盒．將紙片四個角裁去4個相同的小長方形，折成一個有蓋的長方體儲物盒．目標(biāo)1熟悉材料熟悉按照長方形紙板①的制作方式制成的儲物盒能夠無縫障的放入儲物區(qū)域，且恰好沒有延伸到過道，則長方形紙板寬a的為40．目標(biāo)2利用目標(biāo)1計算所得的數(shù)據(jù)a，進行進一步探究．初步應(yīng)用按照長方形紙板①的制作方式，為了更方便地放入或取出儲物盒，盒子四周需要留出一定的空間，當(dāng)儲物盒的底面積是936cm2，求儲物盒的容積．儲物收納按照長方形紙板②的制作方式制作儲物盒，若EF和HG兩邊恰好重合且無重疊部分，盒子的底面積為702cm2．如圖，是家里一個玩具機械狗的實物圖和尺寸大小，請通過計算判斷玩具機械狗能否完全放入該儲物盒．【答案】（1）儲物盒的容積為6552立方厘米；（2）玩具機械狗不能完全放入該儲物．【分析】（1）由制作過程知小正方形的邊長為5（cm），a＝40（cm），設(shè)小正方形的邊長為xcm，列出方程可求解；（2）設(shè)小長方形的寬為xcm，（x＜20），長為ycm，列出方程組可求解．【解答】（1）解：儲物區(qū)域的長為40cm，由于收納盒可以完全放入儲物區(qū)域，則圖1中的四角裁去小正方形的邊長為（50﹣40）÷2═5（cm），則a＝收納盒的寬+2×小正方形的邊長＝30+2×5＝40（cm），由圖2知，設(shè)小正方形的邊長為xcm，由題意可得：（50﹣2x）（40﹣2x）＝936，解得：x＝7，體積為v＝936×7＝6552（cm3），答：儲物盒的容積為6552立方厘米；（2）設(shè)小長方形的寬為xcm，（x＜20），長為ycm，由題意可得：2(y?x)=100?2y(40?2x)(100?2y)=702解得：x=11∴小長方形的寬為11cm當(dāng)EH，HG之間兩邊恰好重合且無重疊部分，收納盒的高為11＜18，∴玩具機械狗也不能完全放入該儲物；綜上所述：玩具機械狗不能完全放入該儲物．答：玩具機械狗不能完全放入該儲物．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，合理將實際問題轉(zhuǎn)化成方程（組）是解決此題的關(guān)鍵．類型八：動態(tài)幾何問題40．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動．如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動的時間為ts，求：（1）用含t的代數(shù)式表示Rt△CPQ的面積S；（2）當(dāng)t＝3秒時，這時，P、Q兩點之間的距離是多少？（3）當(dāng)t為多少秒時，S=425S△【答案】（1）S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）；（2）10cm；（3）2或3．【分析】（1）若運動的時間為ts，則CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，利用三角形的面積計算公式，即可得出S＝20t﹣4t2，再結(jié)合各線段長度非負，即可得出t的取值范圍；（2）將t＝3代入（20﹣4t）及2t中可求出CP，CQ的長，再利用勾股定理，即可求出PQ的長；（3）利用三角形的面積計算公式，結(jié)合S=425S△ABC，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出【解答】解：（1）若運動的時間為ts，則CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，∴S=12CP?CQ=12（20﹣4t）×2t＝20t又∵20?4t≥02t≥0∴0≤t≤5．∴Rt△CPQ的面積S＝20t﹣4t2（0≤t≤5）．（2）當(dāng)t＝3時，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），∴PQ=CP2（3）依題意得：20t﹣4t2=4整理得：t2﹣5t+6＝0，解得：t1＝2，t2＝3．∴t為2或3時，S＝S△ABC．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、代數(shù)式求值以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含t的代數(shù)式表示出S