2022-2023學年重慶市南開中學高二（上）期末數學試題1.已知是函數的導函數，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：基本初等函數的導數答案：D解析：，則，故．故選．2.在等差數列中，若，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：等差數列的性質答案：C解析：因為是等差數列，

所以，

所以，

所以．

故選．3.已知拋物線，若拋物線上縱坐標為的點到焦點的距離為，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：拋物線的標準方程拋物線的定義答案：C解析：拋物線上縱坐標為的點到焦點的距離為，，

．故選．4.音樂與數學有著密切的聯系，我國春秋時期有個著名的三分損益法：若以宮為基本音，宮經過一次損，頻率變為原來的，得到徵；徵經過一次益，頻率變為原來的，得到“商”；依次損益交替變化，獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個音階．據此可推得（

）A.

徵、商、羽的頻率成等比數列

B.

宮、徵、商的頻率成等比數列

C.

商、羽、角的頻率成等比數列

D.

宮、商、角的頻率成等比數列知識點：等比數列的定義與證明數列中的數學文化問題答案：D解析：根據題意，設宮的頻率為，

由題意經過一次損，可得徵的頻率為

徵經過一次益，可得商的頻率為，

商經過一次損，可得羽頻率為，

最后羽經過一次益，可得角的頻率是，

易得宮、商、角的頻率成等比數列；

故選．5.設函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識點：導數與單調性導數中不等式恒成立與存在性問題答案：D解析：函數在上單調遞減，

在上恒成立，

即在上恒成立，

而在上單調遞增，故，

．

故選．6.法國數學家加斯帕爾蒙日發現：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若圓上存在點，使得過點可作兩條互相垂直的直線與橢圓相切，則實數的取值范圍為（

）A.

，

B.

，

C.

，

D.

，知識點：平面解析幾何的新定義問題橢圓的標準方程圓與圓的位置關系及其判定答案：B解析：橢圓方程為：，

，，，

根據題意可得橢圓的蒙日圓的方程為，

根據題意知圓與蒙日圓有公共點，

又圓心，半徑；圓心，半徑，

，

，

，，

故選．7.若數列滿足，，且對于都有，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點：累加法求數列通項裂項相消法求和答案：D解析：，，

又，，則，

數列是首項為，公差為的等差數列，

，

，，，，

由累加法得，即，

，

，

故選．8.已知是函數的導函數，，且對于任意的有．則下列不等式一定成立的是（

）A.

B.

C.

D.

知識點：函數奇偶性的應用導數中不等式恒成立與存在性問題導數中的函數構造問題答案：A解析：由，故是偶函數，

由函數對于任意的滿足，

令，，

故，

故在遞增，是偶函數，

故，

又，，，

（），，

即，

故只有答案成立，其他錯誤，

故選．9.已知數列中，，則能使的可以為（

）A.

B.

C.

D.

知識點：數列的遞推公式數列的函數特征答案：A；D解析：，

，，，

數列是周期為的周期數列，

，，

，，

故選．10.如圖是函數的導函數的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的是（

）

A.

在上是增函數

B.

在上是減函數

C.

當時，取得極小值

D.

當時，取得極大值知識點：導數與單調性導數與最值導數與極值答案：B；C解析：由的導函數的圖象知，

導函數在，上小于，單調遞減，

在，上大于，單調遞增，選項錯誤，正確；

函數在處取得極小值，選項正確；

時導函數取得極大值，原函數沒有取得極大值，選項錯誤．

故選．11.設等差數列的前項和為，公差為，若，，，則下列結論正確的有（

）A.

數列是單調遞增數列

B.

當取得最小值時，或

C.

D.

數列中的最小項為知識點：數列的函數特征等差數列的基本量等差數列的前項和的應用答案：A；D解析：對于，，，，

，，

解得，數列是單調遞增數列，故正確；

對于，，，，

解得，，可得，

由數列是單調遞增數列前項都是負的且和最小，故錯誤；

對于，由，，，得，

解得，故錯誤；

對于，，當時，，，，

當時，，，，

當時，，，，

數列中的最小項在之間，

在時，，且逐漸增大但逐漸減少，且逐漸增大，

逐漸增大，最小，故正確．

故選：．12.年月日，小米正式開始啟用具備超橢圓數學之美的新（如圖所示），設計師的靈感來源于曲線?．當，，時，下列關于曲線的判斷正確的有（

）

A.

曲線關于軸和軸對稱

B.

曲線所圍成的封閉圖形的面積小于

C.

設，直線交曲線于，兩點，則的周長小于D.

曲線上的點到原點的距離的最大值為知識點：平面解析幾何的新定義問題橢圓的定義答案：A；B；D解析：當，，時，曲線，

對于，用替換，不變，得，即，則曲線關于軸對稱；

用替換，不變，得，即，則曲線關于軸對稱，故正確；

對于，由，得，，所以曲線在由直線和所圍成的矩形內（除曲線與坐標軸的四個交點外），所以曲線所圍成的封閉圖形的面積小于該矩形的面積，該矩形的面積為，故正確；

對于，對于曲線和橢圓，

設點在上，點在上，

因為

．

所以，所以，

設點，在上，點，在上，

因為

，

所以，所以，

所以橢圓在曲線內（除四個交點外），如圖：

設直線交橢圓于，兩點，交軸于，

易知，，為橢圓的兩個焦點，

由橢圓的定義可知，，，

所以的周長為，

由圖可知，的周長不小于，故不正確；

對于，設曲線上的點，則該點到原點的距離為，

因為，所以設，

則，其中，

所以當時，取得最大值取得最大值．故正確；

故選．13.如圖，直線是曲線在點?處的切線，則的值等于

．

知識點：導數的幾何意義答案：解析：由函數的圖像可得（），直線過點和，

則直線的斜率，

又由直線是曲線在點，（）處的切線，則，

所以．

故答案為：．14.記數列的前項和為，且，則．知識點：數列的遞推公式等比數列的通項公式構造法求數列通項答案：解析：且，

又，即，

，

又，

數列是首項為，公比為的等比數列，

，即，

，

故答案為：．15.設雙曲線的右焦點為，中心為，斜率為的直線過且與的兩條漸近線分別交于，兩點，且，則雙曲線的離心率為

．知識點：雙曲線的離心率雙曲線的漸近線共線向量基本定理直線的斜率答案：解析：由已知可得，

又，

則，

設，

則，

又，

則，

即，

則，

即雙曲線的離心率為，

故答案為：．16.定義：設函數在上的導函數為，若在上也存在導函數，則稱函數在上存在二階導函數，簡記為．若在區間上，則稱函數在區間上為凹函數．已知在區間上為凹函數，則實數的取值范圍為

．知識點：函數的新定義問題導數與單調性答案：解析：，，

，

在區間上為凹函數，

，，

令，

則，

令，得，令，得，

在上為減函數，在上為增函數，

（），實數的取值范圍為．

故答案為：．17.已知正項等比數列前項和為，，且，，成等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)記，其前項和為，求數列的前項和．知識點：等差中項等比數列的通項公式裂項相消法求和對數的運算性質等差數列的基本量答案：(1)由題意，設等比數列的公比為，

則，，，

，，成等差數列，

，即，

化簡整理，得，

解得（舍去），或（舍去），或，

，．(2)由（1），可得?，

則，

，

??

．解析：(1)略(2)略18.設函數．(1)若是函數的極值點，求在上的最大值；(2)若曲線在處的切線與曲線也相切，求實數的值．知識點：導數與最值利用導數求曲線的切線方程（斜率）導數與極值答案：(1)因為，所以，，

因為是函數的極值點，所以?，得，

此時，，

當時，，當時，，

所以在上為減函數，在上為增函數，

所以是的一個極小值點，所以符合題意．

由以上可知，在，上為減函數，在上為增函數，

又，，

所以?，

所以在，上的最大值為．(2)由（1）知，，，所以?，

又?，所以切線，即，

假設直線與曲線切于，，

因為，所以，

又，所以在，處的切線方程為，

即，

因為直線與直線重合，

所以，得，

解得或．解析：(1)略(2)略19.如圖，在四棱錐中，側面底面，，底面是平行四邊形，，，，，分別為線段，的中點．

(1)證明：平面；(2)若直線與平面所成角的大小為，求二面角的余弦值．知識點：二面角直線與平面垂直的判定定理平面與平面垂直的性質定理直線與平面所成的角答案：(1)證明：因為，為線段的中點，所以，

又側面底面，面面，面，

所以面，

因為面，所以，

連接，

因為，，所以為等邊三角形，所以，

所以，即，

因為，分別為線段，的中點，所以，所以，

又，、平面，

所以平面．

(2)連接，設與相交于點，連接，

由（1）知，面，

所以為直線與平面所成角，即，

因為，，所以，

所以，

因為面，，

所以為二面角的平面角，

在中，，，

所以，

所以，

故二面角的余弦值為．解析：(1)略(2)略20.已知數列滿足．數列滿足，且．(1)求數列和的通項公式；(2)設數列前項和為，若不等式對任意恒成立，求實數取值范圍．知識點：等差數列的通項公式數列的遞推公式構造法求數列通項錯位相減法求和數列與不等式的綜合問題答案：(1)數列滿足，

，

相除可得：，即，，

時，由，解得，滿足上式，

數列是等差數列，公差為，

．

數列滿足，且，

，，

數列是等差數列，公差為1，

，

．(2)數列前項和，

，

，

化為：，

不等式，即，

化為：，

，

，

若不等式對任意恒成立，

實數取值范圍是，．解析：(1)略(2)略21.已知函數，其中是自然對數的底數．(1)討論函數的單調性；(2)若在區間，上有解，求實數的取值范圍．知識點：利用導數求參數的取值范圍利用導數討論函數單調性導數中不等式恒成立與存在性問題答案：(1)，

令得或，

當，即時，在上，單調遞增，

當，即時，在上，單調遞增，

在上，單調遞減，

在上，單調遞增，

當，即時，在上，單調遞增，

在上，單調遞減，

在上，單調遞增，

綜上所述，當時，在上單調遞增，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．(2)若在區間，上有解，則在，上，

由（1）知當時，在，上單調遞增，

，

所以，

所以，又，所以，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

若，即時，在上單調遞減，

，所以，

若，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，

，

即，所以，

又，所以這種情況不存在，

所以或，

綜上所述，的取值范圍為?．解析：(1)略(2)略22.已知橢圓的左右焦點為，，且，直線過且與橢圓相交于，兩點，當是線段的中點時，．(1)求橢圓的標準方程；(2)當線段的中點不在軸上時，設線段的中垂線與軸交于點，與軸交于點，為橢圓的中心，記的面積為，的面積為，當取得最大值時，求直線的方程．

知識點：橢圓的標準方程直線與橢圓的綜合應用導數與最值三角形的面積（公式）圓錐曲線的弦長及中點弦問題圓錐曲線的最值（范圍）問題答案：(1)由于，所以，則右焦點的坐標為，

當時，代入橢圓方程為，故當是線段的