玩轉數學

——中學數學故事渦陽四中

杜志偉1/26一、結識數學1、數學起源？結繩記事土地測量2/26結繩記事是文字發明前，人們所使用一種記事辦法。即在一條繩子上打結，用以記事。事大大結其繩，事小小結其繩計數古埃及尼羅河洪水過后土地測量，金字塔建設等對幾何發展。幾何3/26一、結識數學代數幾何2、數學是什么？數學（mathematics）是研究空間形式和數量關系一門學科。4/26二、我們所結識數1、從小學到初中，我們學過哪些數？整數分數正整數負整數零正分數負分數無理數實數規律數5/26古希臘對數結識古希臘畢達哥拉斯學派以為“萬物皆數”，數是萬物之“本”，只有通過數字才能對萬物現象進行解釋。三角形數正方形數6/26考題回憶1、（2023?安徽9）下面兩個多位數1248624…、6248624…，都是按照如下辦法得到：將第一位數字乘以2，若積為一位數，將其寫在第2位上，若積為兩位數，則將其個位數字寫在第2位．對第2位數字再進行如上操作得到第3位數字…，背面每一位數字都是由前一位數字進行如上操作得到．當第1位數字是3時，仍按如上操作得到一種多位數，則這個多位數前100位所有數字之和是（）

A．495 B．497 C．501 D．5037/26解：當第1位數字是3時，按如上操作得到一種多位數362486248624862486…．認真觀測362486248624862486…中規律，

99÷4=24余3，這個多位數前100位所有數字之和=3+（2+4+8+6）×24+（6+2+4）=495．考題回憶8/262、（2023安徽省18）我們把正六邊形頂點及其對稱中心稱作如圖1所示基本圖特性點，顯然這樣基本圖共有7個特性點，將此基本圖不停復制并平移，使得相鄰兩個基本圖一邊重合，這樣得到圖2，圖3，…考題回憶猜想：在圖（n）中，特性點個數為

（用n表達）；如圖，將圖（n）放在直角坐標系中，設其中第一種基本圖對稱中心O1坐標為（x1，2），則x1=

；圖（2023）對稱中心橫坐標為

．9/263、（2023安徽省16）觀測下列有關自然數等式：（1）32—4×12=5（1）（2）52—4×22=9（2）（3）72—4×32=13（3）……根據上述規律處理下列問題：（1）完成第四個等式：92—4×（）2=（）；（2）寫出你猜想第n個等式（用含n式子表達），并驗證其正確性。考題回憶10/26二、我們所結識數1、從小學到初中，我們學過哪些數？整數分數正整數負整數零正分數負分數無理數實數規律數11/26無理數發覺古希臘畢達哥拉斯學派以為“萬物皆數”，由于當初條件有限，他們理解數都是整數，即世上一切事物都能夠用整數來表達，雖然分數也能夠用兩個整數比來表達。有一天，該學派一種叫西帕索斯學員發覺邊長為1正方形對角線長不能用兩個整數比來表達，這使西帕索斯陷入無比困惑中，我要不要將這個違反學派信條事公之于眾呢？”生氣畢達哥拉斯學派人員為了維護自己所謂“真理”，在一次海上航行中把西帕索斯偷偷地投到了大海里。無理數發覺使人們對現有“公理”產生了疑惑，于是產生了第一次數學危機。12/26二、我們所結識數1、從小學到初中，我們學過哪些數？整數分數正整數負整數零正分數負分數無理數實數規律數要善于發覺大自然規律，數學美13/26引申：善于思考“古希臘學派”1、“芝諾悖論”（1）“二分法”（運動不存在）你要達到終點，必須首先達到全程1/2處；而要達到1/2處，必須要先到1/4處??每當你想達到一種點，總有一種中點需要先到，因此你是永遠也到不了終點。其實，你主線連動都動不了，運動是不也許。14/26引申：善于思考“古希臘學派”（2）阿基里斯追龜在跑步比賽中，假如跑得最慢烏龜一開始領先跑得最快希臘勇士阿基里斯，那么烏龜永遠也不會被阿基里斯追上。由于要想追到烏龜，阿基里斯必須先達到烏龜目前位置；而等阿基里斯到了這個位置之后烏龜已經又前進了一段距離。如此下去，阿基里斯永遠追不上烏龜。15/26引申：善于思考“古希臘學派”（3）飛矢不動構想一支飛行箭。在每一時刻，它位于空間中一種特定位置。由于時刻無連續時間，箭在每個時刻都沒有時間而只能是靜止。鑒于整個運動期間只包括時刻，而每個時刻又只有靜止箭，因此芝諾斷定，飛行箭總是靜止，它不也許在運動。16/26三、圖形孟子曰：“離婁之明、公輸子之巧，不以規矩，不能成方圓。1、尺規作圖“三等分任意角”（即任意給一種角θ，求作一角等于θ/3）；“倍立方體”（即求作一立方體，使其體積等于已知立方體體積二倍）；“化圓為方”（即求作一正方形，使其面積等于已知圓面積）。古希臘三大作圖難題：17/26四、數形結合（1）無理數發覺1、由來已久（2）數軸價值數軸實現了點與數一一對應18/26四、數形結合（3）平面直角坐標系法國哲學家、數學家、物理學家笛卡爾有一天，生病臥床，但他頭腦始終沒有休息，在反復思考一種問題：幾何圖形是直觀，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表達方程呢？突然，他看見屋頂角上一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛“演出”，使笛卡爾思緒豁然開朗。他想，能夠把蜘蛛看做一種點，它在屋子里能夠上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛每個位置用一組數確定下來呢？用一組數（a，b）能夠表達平面上一種點，平面上一種點也能夠用一組二個有次序數來表達。于是在蜘蛛啟示下，笛卡爾創建了直角坐標系。19/261232134323542473571、（2023安徽省17）在由m×n（m×n＞1）個小正方形組成矩形網格中，研究它一條對角線所穿過小正方形個數f，（1）當m、n互質（m、n除1外無其他公因數）時，觀測下列圖形并完成下表：猜想：當m、n互質時，在m×n矩形網格中，一條對角線所穿過小正方形個數f與m、n關系式是________________________（不需要證明）；（2）當m、n不互質時，請畫圖驗證你猜想關系式是否仍然成立。考題回憶20/26考題回憶3、（2023?安徽）某公司1～5月份利潤變化情況圖所示，下列說法與圖中反應信息相符是（） A．1～2月份利潤增加快于2～3月份利潤增加 B．1～4月份利潤極差于1～5月份利潤極差不一樣 C．1～5月份利潤眾數是130萬元

D．1～5月份利潤中位數為120萬元21/263、（2023?安徽）甲、乙兩個準備在一段長為1200米筆直馬路上進行跑步，甲、乙跑步速度分別為4m/s和6m/s，起跑前乙在起點，甲在乙前面100米處，若同步起跑，則兩人從起跑至其中一人先達到終點過程中，甲、乙兩之間距離y（m）與時間t（s）函數圖象是（）考題回憶22/26值得探究問題1、概率統計2、函數與方程3、幾何證明4、問題處理策略……23/26我們為何要學習數學1、知識層面：文化（1）數學思想、辦法、語言、內容等；（2）數學與哲學關系：邏輯柏拉圖、泰勒斯、達芬奇、羅素…（3）