第二章隨機變量及其分布第一節離散型隨機變量及其分布第二節連續型隨機變量及其分布第三節隨機變量的函數的分布第二章隨機變量及其分布第一節離散型隨機變量及其分

概率論是從數量上來研究隨機現象內在規律性的，為了更方便有力的研究隨機現象，就要用數學分析的方法來研究，因此為了便于數學上的推導和計算，就需將任意的隨機事件數量化．當把一些非數量表示的隨機事件用數字來表示時，就建立起了隨機變量的概念．1.隨機變量第一節離散型隨機變量及其分布概率論是從數量上來研究隨機現象內在規律性的，為了實例1在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.S={紅色、白色}

非數量將S數量化可采用下列方法紅色白色實例1在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數量的S={紅色，白色}數量化了.即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這實例2

拋擲骰子,觀察出現的點數.S={1，2，3，4，5，6}樣本點本身就是數量恒等變換且有則有實例2拋擲骰子,觀察出現的點數.S={1，2，3，4，定義2.1.1設X＝X(w)是定義在樣本空間W上的實值函數，稱X＝X(w)為隨機變量.隨機變量通常用大寫字母X，Y，Z，W，...等表示或希臘字母,η,ζ,….等表示。下圖給出樣本點w與實數X＝X(w)對應的示意圖

Wx定義2.1.1設X＝X(w)是定義在樣本空間W上的實實例3擲一個硬幣,觀察出現的面,共有兩個結果:若用X表示擲一個硬幣出現正面的次數,則有即X是一個隨機變量.實例3擲一個硬幣,觀察出現的面,共有兩個若用實例4在有兩個孩子的家庭中,考慮其性別,共有4個樣本點:若用X表示該家女孩子的個數時,則有可得隨機變量X=實例4在有兩個孩子的家庭中,考慮若用X表示該家女實例5

設盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是一個隨機變量.且X(e)的所有可能取值為:實例6

觀察某城市的120急救電話臺一晝夜接到的呼叫次數．如果用X表示呼叫次數，那么表示一隨機事件，顯然也表示一隨機事件．實例5設盒中有5個球(2白3黑),從中任抽3個,則是實例7某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達該車站的時刻是隨機的,則是一個隨機變量.且X(e)的所有可能取值為:實例7某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,隨機變量是定義在樣本空間上的一個函數,隨機變量的取值隨試驗的結果而定，隨機變量的某種取值都對應一個隨機事件；而隨機變量的取值概率即為所對應的隨機事件的概率。說明隨機變量是定義在樣本空間上的一個函數,隨機變量的取值隨隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量的可能取值是有限多個或無限可列個,叫做離散型隨機變量.觀察擲一個骰子出現的點數.隨機變量X的可能取值是:隨機變量連續型實例11,2,3,4,5,6.非離散型其它隨機變量的分類離散型(1)離散型隨機變量的可能取值是有限實例2若隨機變量X記為“連續射擊,直至命中時的射擊次數”,則X的可能取值是:實例3

設某射手每次射擊打中目標的概率是0.8,現該射手射了30次,則隨機變量X記為“擊中目標的次數”,則X的所有可能取值為:實例2若隨機變量X記為“連續射擊,直至命中時實例1隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續型

隨機變量舉例則X的取值范圍為實例2

在區間[0，1]上隨機地投點，隨機變量X為“點的位置（坐標）”。則X的取值范圍為[0，1]實例1隨機變量X為“燈泡的壽命”.(2)連續型X取各個可能值的概率，即事件的概率為（2.1.1）則稱（2.1.1）式為離散型隨機變量X的分布律或概率分布。定義2.1.2設離散型隨機變量X所有可能取值為2.離散型隨機變量及其分布律X取各個可能值的概率，即事件分布律也可以直觀地用下面的表格來表示：

由概率的定義知，分布律中的應滿足以下條件：

隨機變量X的所有取值隨機變量X的各個取值所對應的概率分布律也可以直觀地用下面的表格來表示：由概率的定義知，分布例1

設隨機變量的分布律為，，試確定常數。解：例1設隨機變量的分布律為

例2

某系統有兩臺機器相互獨立地運轉．設第一臺與第二臺機器發生故障的概率分別為0.1，0.2，以X表示系統中發生故障的機器數，求X的分布律。

解（1）確定r.v.X的所有可能取值；（2）求X取各個可能值的概率，即求所對應的隨機事件的概率。X=0,1,2例2某系統有兩臺機器相互獨立地運轉．設第一臺與第二臺故X的分布律為：

例2.2.1超幾何分布故X的分布律為：例2.2.1超幾何分布例3某盒產品中恰有8件正品，2件次品，每次從中不放回的任取一件進行檢查，直到取到正品為止，ξ表示抽取次數，求ξ的分布律。解：ξ的可能取值為：1，2，3“第一次取到正品”

“第一次取到次品，第二次取到正品”

“前兩次均取到次品，第三次取到正品”例3某盒產品中恰有8件正品，2件次品，每次從中不放思考：

將“無放回”改成“有放回”，求ξ的分布律。故

ξ的分布律為ξ的可能取值為：1，2，3，…例2.2.2幾何分布思考：將“無放回”改成“有放回”，求ξ的分布律3.（0－1）分布（或兩點分布）設隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是則稱X服從（0－1）分布或兩點分布．

（0－1）分布的分布律也可寫成

拋一枚硬幣，觀察出現正面H還是反面T，正面X＝0,反面X＝1TH3.（0－1）分布（或兩點分布）設隨機變量X只可能取0對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即，我們總能在W上定義一個服從（0－1）分布的隨機變量．

來描述這個隨機試驗的結果。

檢查產品的質量是否合格，對新生嬰兒的性別進行登記，檢驗種子是否發芽以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗都可以用（0-1）分布的隨機變量來描述．對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即現在求Ｘ的分布律

．4.二項分布現在求Ｘ的分布律．4.二項分布顯然

注意到剛好是二項式的展開式中出

～二項分布兩點分布顯然注意到剛好是二項式的展

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數很大,且抽查元件的數量相對于元件的總數來說又很小,因而此抽樣可近似當作放回抽樣來處理.分析例2.2.4這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數解解作出上表的圖形，如下圖所示

定義：二項分布的最可能值為書P31作出上表的圖形，如下圖所示定義：解因此例2.2.5設每次射擊命中目標的概率為0.01，現獨立地射擊400次，求（1）最可能命中目標的次數及相應的概率；（2）至少3次命中目標的概率？解因此例2.2.5設每次射擊命中目標的概率為0.01，檢查10個產品,10個產品中的次品數X~B(10,p),p為次品率調查50人,50人中的色盲人數Y~B(50,p),p為色盲率射擊20次,20次射擊中的命中次數Z~B(20,p),p命中率檢查10個產品,10個產品中的調查50人,50人中的色盲人數5.泊松分布5.泊松分布觀察某放射性物質(體積是V)在單位時間(7.5秒)內放出α粒子數X的規律,X是個隨機變量.把該物質n等分,假設①各小塊在單位時間內至多放出1個粒子,且各小塊在單位時間內放出1個粒子的概率pn≈kV/n=λ/n(其中k是放射常數,從而λ>0也是常數)放出兩個及以上粒子的概率是V/n的高階無窮小②各小塊在單位時間內放出粒子相互獨立.觀察某放射性物質(體積是V)在單位時間(7.5秒)內放出α粒

在生物學、醫學、工業統計、保險科學及公用事業的排隊等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數等,都服從泊松分布.泊松分布往往和單位時間,單位面積,單位產品上的計數過程相聯系定義：泊松分布的最可能值為.P40例2.2.6在生物學、醫學、工業統計、保險科學及定義：二項分布

泊松分布泊松定理當n很大，p很?。╪p=λ）時，有以下近似式（書P39定理2.1.1）（2.1.8）二項分布

設1000只產品中的次品數為X,則可利用泊松定理計算所求概率為解例4有計算機硬件公司制造某種特殊型號的微型芯片，次品率達0.1%，各芯片成為次品相互獨立。求在1000只產品中至少有2只次品的概率。設1000只產品中的次品數為X,則可例:某商店某種商品每月銷售數X服從參數是5的Poisson分布,為了以95%以上的把握不脫銷,問月底至少應該進該商品多少件.(假設無庫存)解:設至少要進貨a件查表得例:某商店某種商品每月銷售數X服從參數是5的Poisson分實例

在區間[0，1]上隨機地投點，隨機變量X為“點的位置（坐標）”.則連續型r.v.X的取值范圍為[0，1]任取一實數01x幾何概率沒有多大的意義實例在區間[0，1]上隨機地投點，則連續型r.v.X為了對離散型和連續型r.v.以及其它類型的r.v.給出一種統一的描述方法，我們考慮一個r.v.的取值落在區間的概率。為了對離散型和連續型r.v.以及其它類型的rF(x)是r.vX取值不大于x的概率；在幾何上，它表示r.v.X的取值落在區間(-,x]的概率。6.隨機變量的分布函數定義

其定義域是整個實數軸．F(x)是一個普通的函數，F(x)是r.vX取值不大于x的概率；在幾何上，它表1.2.3.對任意實數x1<x2，r.v.X的取值落在區間（x1,x2]的概率為：分布函數的基本性質：

1.2.3.對任意實數x1<x2，r.v.X的取值落在區間d.f.全面描述了r.v.的統計規律性d.f.全面描述了r.v.的統計規律性例5

拋一枚均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數.解例5拋一枚均勻硬幣,令求隨機變量X的分布函數.第二章隨機變量及其分布ppt課件離散型r.v.的分布函數0110.5離散型r.v.的分布函數0110.5解例6解例6第二章隨機變量及其分布ppt課件第二章隨機變量及其分布ppt課件也可表示為一般地，設離散型r.v.X的分布律為也可表示為一般地，設離散型r.v.X的分布律為

離散型r.v.的分布函數是一種概率的累加，是分段函數，它的圖形是階梯狀曲線，在處有跳躍，其跳躍值為。

離散型r.v.的分布函數是.例7一個靶子是半徑為2m的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設射擊都能中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數.解.例7一個靶子是半徑為2m的圓盤,設擊中靶上任解故X的分布函數為其圖形為一連續曲線注意

兩類隨機變量的分布函數圖形的特點不一樣。離散型r.v.的分布函數是分段函數；連續型r.v.的分布函數是連續函數。故X的分布函數為其圖形為一連續曲線注意兩類隨機變量第二章隨機變量及其分布ppt課件第二節連續型隨機變量及其分布定義2.2.1第二節連續型隨機變量及其分布定義2.2.1性質(1),(2)是兩個最基本的性質1性質(1),(2)是兩個最基本的性質1第二章隨機變量及其分布ppt課件注意對于任意可能值a,連續型隨機變量取a的概率等于零.即證明由此可得連續型隨機變量取值落在某一區間的概率與區間的開閉無關注意對于任意可能值a,連續型隨機變量取a的概注意若X是連續型隨機變量，概率為0的事件不一定是不可能事件概率為1的事件不一定是必然事件注意若X是連續型隨機變量，概率為0的事件不一定是不可能事件概例2.2.1

設連續型隨機變量X具有概率密度例2.2.1設連續型隨機變量X具有概率密度例1例1解340.5解340.5340.5340.5340.534340.534練習

設連續型隨機變量X具有概率密度練習設連續型隨機變量X具有概率密度0200解：0200解：第二章隨機變量及其分布ppt課件2.均勻分布滿足連續型隨機變量的兩個最基本性質2.均勻分布滿足連續型隨機變量的兩個最基本性質第二章隨機變量及其分布ppt課件第二章隨機變量及其分布ppt課件例:公交車站每5分鐘有一班車通過,某人到達車站的時刻是任意的,求他等車時間不超過3分鐘的概率.把本題看作是(0,5]區間上的等可能投點,所求概率為3/5.例:公交車站每5分鐘有一班車通過,某人到達車站的時刻是任意的例:設隨機變量X在區間[2，4]上服從均勻分布，則P{2<X<3}=（）.A．P{1.5<X<2.5}B．P{3<X<4}例:設隨機變量X在區間[2，4]上服從均勻分布，則P{2<X解由題意,R的概率密度為故有例2設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．解由題意,R的概率密度為故有例2設電阻值R是一個隨機例3

設隨機變量X在[2，5]上服從均勻分布，現對X進行三次獨立觀測。求至少有兩次觀測值大于3的概率。設Y表示三次獨立觀測其測值大于3的次數，則

解：

X的概率密度函數為例3設隨機變量X在[2，5]上服從均勻分布，現對X進行三3.指數分布若連續型隨機變量X的概率密度函數為其中為常數，則稱X服從參數為的指數分布。滿足連續型隨機變量的兩個最基本性質3.指數分布若連續型隨機變量X的概率密度函數為其中指數分布的概率密度及分布函數分別如圖所示

應用某些元件或設備的壽命服從指數分布.例如無線電元件的壽命、電力設備的壽命、動物的壽命等都服從指數分布.指數分布的概率密度及分布函數分別如圖所示應用指數分布的重要性質:“無記憶性”.（與s無關）指數分布的重要性質:“無記憶性”.（與s無關）4.正態分布(或高斯分布)滿足連續型隨機變量的兩個最基本性質4.正態分布(或高斯分布)滿足連續型隨機變量的兩個最基本

正態分布是最常見最重要的一種分布,例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產的產品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態分布.正態分布的應用與背景

正態分布是最常見最重要的一種分布,例如正態分正態概率密度函數的幾何特征即曲線以x軸為漸近線正態概率密度函數的幾何特征即曲線以x軸為漸近線故稱μ為位置參數-故稱μ為位置參數-故稱σ為形狀（或離散）參數故稱σ為形狀（或離散）參數正態分布的分布函數但正態分布的分布函數但標準正態分布的概率密度表示為標準正態分布標準正態分布的分布函數表示為標準正態分布的概率密度表示為標準正態分布標準正態分布的分布函解例4

查p168標準正態分布表正態分布下的概率計算例2.2.2解例4查p168標準正態分布表正態分布下的概率計算例2.2第二章隨機變量及其分布ppt課件例5設X~N(0,1)，求P(|X|<1.96)解P(|X|<1.96)=P(-1.96<X<1.96)

=2×0.975-1=0.95=Ф(1.96)-[1-Ф(1.96)]=2Ф(1.96)-1=Ф(1.96)-Ф(-1.96)書P42圖2.2.10

雙側分位數

例5設X~N(0,1)，求P(|X|<1.96解例6

例2.2.3解例6例2.2.3例2.2.4

解例2.2.4解(1)所求概率為解例7(1)所求概率為解例7第二章隨機變量及其分布ppt課件第三節隨機變量的函數的分布問題第三節隨機變量的函數的分布問題ＸP-10120.20.30.10.4一、離散型隨機變量的函數的分布例1ＸP-10120.20.30.10.4一、離散型隨機變量的函YP-20240.20.30.10.4解ＸY-1012-2024(1)ＸP-10120.20.30.10.4YP-20240.20.30.10.4解ＸY-1012-20ZP0140.10.70.2ＸZ-10124101(2)例2.3.1ＸP-10120.20.30.10.4ZP0140.10.70.2ＸZ-10124101(2)例2離散型隨機變量的函數的分布離散型隨機變量的函數的分布Y的分布律為練習設解Y的分布律為練習設解

第一步

先求Y=2X+8的分布函數解二、連續型隨機變量的函數的分布例2第一步先求Y=2X+8的分布函數解二第二步

由分布函數求概率密度.第二步由分布函數求概率密度.第二章隨機變量及其分布ppt課件例2.3.2證明例2.3.2證明第二章隨機變量及其分布ppt課件常用結論,請記住常用結論,請記住例2.3.4解例2.3.4解第二章隨機變量及其分布ppt課件連續型隨機變量的函數的分布方法2注意“單調”這一條件.方法1注意y的取值范圍的確定。連續型隨機變量的函數的分布方法2注意“單調”這一條件.方法1第二章隨機變量及其分布ppt課件二、重點與難點一、主要內容三、典型例題第二章隨機變量及其分布

習題課二、重點與難點一、主要內容三、典型例題第二章隨機變量及其分一、主要內容隨機變量離散型隨機變量連續型隨機變量分布函數分布律密度函數均勻分布指數分布正態分布兩點分布二項分布泊松分布隨機變量的函數的分布定義一、主要內容隨機變量離散型連續型隨機變量分布離散型隨機變量的分布律(1)定義離散型隨機變量的分布律(1)定義(2)說明(2)說明設隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱X服從(0-1)分布或兩點分布.兩點分布設隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布二項分布稱這樣的分布為二項分布.記為二項分布兩點分布二項分布泊松分布記作泊松分布記作(2)說明隨機變量的分布函數(1)定義分布函數主要研究隨機變量在某一區間內取值的概率情況.(2)說明隨機變量的分布函數(1)定義分布函數主要研究隨即任一分布函數處處右連續.(3)性質即任一分布函數處處右連續.(3)性質(4)重要公式可以根據分布函數求隨機變量落入某個區間的概率。(4)重要公式可以根據分布函數求隨機變量落入某個區間的概率。離散型隨機變量的分布函數

離散型r.v.的分布函數是一種概率的累加，是分段函數，它的圖形是階梯狀曲線，在處有跳躍，其跳躍值為。

離散型隨機變量的分布函數離散型r.v.的分布連續型隨機變量的概率密度(1)定義連續型隨機變量的概率密度(1)定義(2)性質(2)性質均勻分布均勻分布分布函數指數分布若連續型隨機變量X的概率密度函數為其中為常數，則稱X服從參數為的指數分布。分布函數指數分布若連續型隨機變量X的概率密度函數為其中正