第八章多元函數(shù)積分學(xué)一二重積分的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)二二重積分的計(jì)算第八章多元函數(shù)積分學(xué)1第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出2柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.１．曲頂柱體的體積一、問題的提出曲頂柱體柱體體積=底面積×高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：3回憶定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則如圖0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi,表小區(qū)間[xi,xi+1]的長(zhǎng),f(i)xi表示小矩形的面積.回憶定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可4求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極5求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極6求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極7求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極8求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極9設(shè)有一立體.其底面是xy

面上的區(qū)域D,其側(cè)面為母線平行于z軸的柱面,其頂是曲面z=f(x,y)0,連續(xù).稱為曲頂柱體.若立體的頂是平行于xy

面的平面.則平頂柱體的體積=底面積×高.0yzxz=f(x,y)D如圖一、例1.求曲頂柱體的體積V.設(shè)有一立體.其底面是xy面上的區(qū)域D,其側(cè)面為母10(i)用曲線將D分成

n個(gè)小區(qū)域D1,D2,…,Dn,

每個(gè)小區(qū)域Di都對(duì)應(yīng)著一個(gè)小曲頂柱體.如圖z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(i)用曲線將D分成n個(gè)小區(qū)域D1,D2,…,Dn11(ii)由于Di很小,z=f(x,y)連續(xù),小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體.(i,i)Di.小平頂柱體的高=f(i,i).若記

i=Di的面積.則小平頂柱體的體積=f(i,i)

i

小曲頂柱體體積f(i,i)

(i,i)Diz=f(x,y)(ii)由于Di很小,z=f(x,y)連續(xù),小曲頂12(iii)因此,大曲頂柱體的體積分割得越細(xì),則右端的近似值越接近于精確值V,若分割得"無限細(xì)",則右端近似值會(huì)無限接近于精確值V.

若存在則(iii)因此,大曲頂柱體的體積分割得越細(xì),則右端的近似13(iv)其中Di的直徑是指Di中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離.其中

(i,i)Di,i=Di的面積.xyDi如圖(iv)其中Di的直徑是指Di中相距最遠(yuǎn)的兩點(diǎn)的距離.其中14求曲頂柱體體積的方法：分割、取近似、求和、取極限。求曲頂柱體體積的方法：分割、取近似、15步驟如下：1.分割2.取近似3.求和4.取極限步驟如下：1.分割2.取近似3.求和4.取極限16２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近17二、二重積分的概念二、二重積分的概念18積分區(qū)域被積函數(shù)積分變量------被積表達(dá)式面積元素積分區(qū)域被積函數(shù)積分變量------被積表達(dá)式面積元素19對(duì)二重積分定義的說明：對(duì)二重積分定義的說明：20二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．21在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為則面積元素為D在直角坐標(biāo)系下用平行于坐故二重積分可寫為則面積元素為D22性質(zhì)１當(dāng)

k為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)１當(dāng)k為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)23性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上24性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）25解因此，由性質(zhì)6知即解因此，由性質(zhì)6知即26二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）四、小結(jié)二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體27思考題將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.思考題將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出28定積分與二重積分相同之處：都表示某種和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)．不同的是:定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù);二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)．思考題解答定積分與二重積分相同之處：都表示某種和式思考題解答29第二節(jié)二重積分的計(jì)算法（1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分第二節(jié)二重積分的計(jì)算法（1）利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分30先討論積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［X－型］X型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).先討論積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間31高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件32積分區(qū)域?yàn)椋海踃－型］一般地，---先對(duì)y積分，后對(duì)x積分的二次積分積分區(qū)域?yàn)椋海踃－型］一般地，---先對(duì)y積分，后對(duì)33如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］---先對(duì)x積分，后對(duì)y積分的二次積分如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］---先對(duì)x積分，后對(duì)y341.若D既是x—型區(qū)域,又是y—型區(qū)域.比如x0yx0yx0y當(dāng)用某次序算二重積分不好算時(shí),可改換積分次序,可能好算.則既可先對(duì)x積分,又可先對(duì)y積分.等等,此時(shí),1.若D既是x—型區(qū)域,又是y—型區(qū)域.比如x0y352.（1）如果積分區(qū)域是矩形（2）如果被積函數(shù)f(x,y)=f1(x)·f2(y),且積分區(qū)域是矩形區(qū)域，則2.（2）如果被積函數(shù)f(x,y)=f1(x)·f36設(shè)D：a

x

b,c

y

d.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可積，則yx0dcab設(shè)D：axb,cyd.f(x37比如，比如，38若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.3.若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使則必須分割.3.394.設(shè)D:y1(x)yy2(x),axb,為x—型區(qū)域.其中y2(x)為分段函數(shù).如圖則由于y2(x)是分段函數(shù),里層積分上限無法確定用哪一個(gè)表達(dá)式.

故應(yīng)將D分成D1,D2,分塊積分.xy0D1D2y=1(x)y=2(x)ab4.設(shè)D:y1(x)yy2(x),ax40例1將化為二次積分。其中D由直線圍成。解1：先畫出積分區(qū)域D。D是Y－型。于是，例1將化為二次積分。其中D由直線圍成。解1：先畫出41解2：于是，解2：于是，42例2計(jì)算其中D由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D。D是X－型。于是，例2計(jì)算其中D由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D。43于是，于是，44例3例345解積分區(qū)域?yàn)橛谑牵夥e分區(qū)域?yàn)橛谑牵?6解設(shè)則解設(shè)則47于是，設(shè)于是，設(shè)48解解49高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件50解解51例9.求解：由于是“積不出”的，怎么辦？要改換積分次序.先畫積分區(qū)域D的圖形.由積分表達(dá)式知，D：y

x1,0y1畫曲線x=y和x=1，直線y=0,y=1.如圖：故原式=yx0Dy

=x例9.求解：由于是“積不出”的，怎么辦？要改換積分次序.先52由例8，例9知，選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序，有時(shí)能使積分變得簡(jiǎn)便，易行。在作題時(shí)，當(dāng)按某一順序積分很難，或不可行時(shí)，可改換積分順序試一試。由例8，例9知，選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序，有時(shí)能使積分變得簡(jiǎn)便531.xy0y=xy=x2x解:先畫區(qū)域D的圖形.法1.先對(duì)y積分.1.xy0y=xy=x2x解:先畫區(qū)域D的圖形.法1.先54高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件55xy0y=xy=x211法2.

先對(duì)x積分.yxy0y=xy=x211法2.先對(duì)x積分.y56高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件572.

解:先畫D的圖形.先對(duì)x積分.xy0y=x+2y=x21122.解:先畫D的圖形.先對(duì)x積分.xy0y=58所以,原式=問,若先對(duì)y積分,情形怎樣?xy0y=x+2y=x2112所以,原式=問,若先對(duì)y積分,情形怎樣?xy0593.改換解：寫出D的表達(dá)式，畫D的圖形改為先對(duì)x再對(duì)y的積分yx0D243.改換解：寫出D的表達(dá)式，畫D的圖形改為先對(duì)x再對(duì)y60第二節(jié)二重積分的計(jì)算（2）一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分二、小結(jié)第二節(jié)二重積分的計(jì)算（2）一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分61一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分面積元素一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分面積元素62二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖D：二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖D：63區(qū)域特征如圖D：區(qū)域特征如圖D：64二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖D：二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖D：65極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征66例1將化為在極坐標(biāo)系下的二次積分。1）4）2）3）例1將化為在極坐標(biāo)系下的二次積分。1）4）2）3）671）解在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為1）解在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)682）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域693）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域704）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為71解解72解解73例4.

求其中D：x2+y2

1解：一般,若D的表達(dá)式中含有x2+y2時(shí)，可考慮用極坐標(biāo)積分。0xyx2+y2

1令x=rcos,y=rsin,則x2+y2

1的極坐標(biāo)方程為r=1.由(2)D*:0r1,0

2例4.求其中D：x2+y21解：一般,若D的表達(dá)式74另由幾何意義：另由幾何意義：75解解76高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件77高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件78高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件79二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二、小結(jié)二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二、小結(jié)805利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分5利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分81D：由所圍成區(qū)域（第一象限部分）D：由82高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件83高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件84高等數(shù)學(xué)第八章多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件85第三節(jié)二重積分的應(yīng)用第三節(jié)二重積分的應(yīng)用86一、立體的體積二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．一、立體的體積二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分87例1計(jì)算由曲面及xoy面所圍的立體體積。解設(shè)立體在第一卦限上的體積為V1。由立體的對(duì)稱性，所求立體體積V=4V1。立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為例1計(jì)算由曲面及xoy面所圍的立體體積。解設(shè)立體在第88立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲