第頁第28章銳角三角函數教材分析一、本章的地位和作用“銳角三角函數〞屬于三角學，是?課標〔2023年版〕?中“圖形與幾何〞領域的重要內容.中學數學把三角學內容分成兩個局部，第一局部放在義務教育第三學段，第二局部放在高中階段.在初中學段，研究銳角三角函數和解直角三角形；高中學段，繼續研究任意角的三角函數、解斜三角形等內容.本章在前面已經研究了直角三角形中三邊之間的關系、兩個銳角的根底上，進一步研究其邊角之間的關系，完善對直角三角形性質的理解.同時，學生已經學過的相似三角形、全等三角形、勾股定理等內容，將作為本章學習的重要根底.相似三角形的性質是建立銳角三角函數概念的根底和關鍵，三角形全等的判定定理是解直角三角形的理論依據，解直角三角形時需要綜合運用銳角三角函數、勾股定理等知識.通過本章的學習，使學生全面掌握直角三角形的組成要素〔邊，角〕之間的關系，并綜合運用已學知識解決與直角三角形有關的度量問題，進一步培養學生的推理能力、運算能力和數學建模能力，同時為高中數學中任意角三角函數等知識的學習做準備.二、本章學習目標和考試要求本章學習目標〔1〕利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數〔sinA，cosA，tanA〕，能夠應用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中兩邊的比；知道30°，45°，60°的正弦、余弦和正切值，并會由一個特殊角的三角函數值說出這個角.〔2〕會使用計算器由銳角求它的三角函數值，由三角函數值求它對應的銳角.〔3〕理解直角三角形中邊與邊之間的關系、角與角之間的關系、邊與角之間的關系，能運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余以及銳角三角函數解直角三角形，并能用解直角三角形等有關知識解決簡單的實際問題，體會數學在解決實際問題中的作用.教學重、難點重點：銳角三角函數的概念；運用解直角三角形解決與直角三角形有關的度量問題.難點：銳角三角函數的概念；綜合運用銳角三角函數、勾股定理等知識解直角三角形，進而解決有關問題.2023年北京市中考說明對本章的要求考試內容考試要求ABC圖形與幾何圖形的性質銳角三角函數及解直角三角形理解銳角三角函數〔sinA，cosA，tanA〕的概念；知道30°，45°，60°角的三角函數值；理解解直角三角形的概念能利用銳角三角函數的有關知識解直角三角形；能利用銳角三角函數的有關知識解決一些簡單的實際問題運用直角三角形的有關內容解決有關問題三、本章知識結構框圖四、本章教學建議課時安排本章教學時間約需10-11課時，具體分配如下〔僅供參考〕：28.1銳角三角函數 5課時 28.1.1銳角三角函數定義 2課時 28.1.2特殊角的三角函數值 1課時 28.1.3用計算器求銳角三角函數值 1課時 〔可整合數學活動1〕 習題課及講評 1課時28.2解直角三角形及其應用 4課時 28.2.1解直角三角形 1課時 28.2.2應用舉例 2課時 〔可整合數學活動2〕 習題課及講評 1課時數學活動和小結 1-2課時教學建議加強銳角三角函數概念的探究過程，揭示概念的內涵銳角三角函數的概念既是本章學習的重點，又是學生理解的難點.可按照教材中的思路，讓學生充分經歷“實際問題引入——研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——給出銳角的正弦概念〞的過程，在探究直角三角形中銳角的對邊與斜邊之比的不變性上下功夫，幫助學生理解銳角三角函數的內涵：銳角三角函數建立了直角三角形中邊和角之間的關系.需要特別指出的是，在理解銳角三角函數的內涵時，要點出“對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是A的函數.同樣地，cosA，tanA也是A的函數〞即可.加強能力培養應用銳角三角函數等有關知識解直角三角形及其相關的實際問題是銳角三角函數教學的核心任務，也是培養學生分析問題、解決問題能力的重要載體.初學階段，學生往往不易找到解決問題的思路，特別是選不準具體的銳角三角函數，且易發生計算錯誤；應用銳角三角函數等有關知識解決實際問題，對數學建模能力、推理能力、計算求解能力都有較高的要求.教學中，應注意讓學生理解解直角三角形的根本原理；在此根底上，通過例題示范和必要的練習使學生切實提高推理能力、運算能力、數學建模能力.發揮計算器的作用本章教學中，應認真落實課標中“會使用計算器由銳角求它的三角函數值，由三角函數值求它的對應銳角〞的要求，使學生掌握用計算器進行計算的技能.這樣，一方面，可以使學生的學習重心更好地集中在理解銳角三角函數的概念、掌握解直角三角形的原理與方法以及建立實際問題的數學模型等核心內容上；另一方面，?課標〔2023年版〕?中“解直角三角形〞“解決一些簡單實際問題〞的要求才能真正得到落實.注意數形結合銳角三角函數具有鮮明的幾何意義，因此本章內容是表達數形結合的很好的載體.在教學中，注意加強數形結合，在引入概念、推理論證、化簡計算、解決實際問題時，畫圖幫助分析，通過圖形幫助找到直角三角形邊、角之間的關系，使畫圖成為本章學習重要的工具.充分利用教材資源〔習題、“拓廣探索〞、數學活動中的問題是很好的素材〕五、各節內容及典型例題28.1銳角三角函數教學建議：銳角的正弦概念是研究本節內容的起點，同時也是重點、關鍵和難點.重點在于它是銳角三角函數的一個代表；關鍵在于它為研究銳角的余弦、正切的概念提供范例；難點在于它是一種函數，它建立了銳角與它的對邊與斜邊的比之間的對應關系，對學生來說建立這種對應關系有一定的困難.因此，教學時要充分重視銳角的正弦概念的教學，讓學生真正理解它的內涵.在給出銳角的正弦概念時，要注意強調在直角三角形中，當銳角的度數確定時，它的對邊與斜邊的比也就確定下來.這樣對于每一個銳角，都有一個確定的比值與之對應，從而可以合理地定義銳角的正弦概念.在“用計算器求銳角三角函數值〞一課中，可以整合本章數學活動1的內容，豐富課堂的同時，全面培養學生的動手能力和實踐精神.1.銳角三角函數的概念〔1〕教學內容在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦.記作:sinA.把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦.記作：cosA.把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切.記作：tanA.sinA＝；cosA＝；tanA＝.〔2〕備選例題：※在直角三角形中，邊長，求銳角的三角函數值.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，求兩個銳角∠A和∠B的正弦、余弦、正切值.※銳角的一個三角函數值，求同角的其它三角函數值.∠A為銳角，且，求cosA，tanA的值.※構造直角三角形，求銳角的三角函數值.〔1〕在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，求∠B的三角函數值.〔2〕如圖，△ABC中，AB=8，BC=6，S△ABC=12，求sinB的值．※通過等角轉換解決問題.如圖，∠C=90°，CD⊥AB，假設AC=5，CD=3,求sinB的值．※探究三角函數的根本關系式〔教材上習題28.1第10題〕在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的正弦、余弦之間有什么關系？〔提示：利用銳角三角函數的定義及勾股定理.〕2.特殊角的三角函數值〔1〕教學內容：銳角α三角函數30°45°60°1〔2〕備選例題：※與特殊角的三角函數值有關的計算.計算※三角函數值，求銳角度數.〔1〕求適合以下各式的銳角α：〔2〕在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且，那么關于△ABC的形狀的說法錯誤的選項是〔〕〔A〕它不是直角三角形 〔B〕它是鈍角三角形 〔C〕它是銳角三角形 〔D〕它是等腰三角形※借助特殊角求邊長或求其它銳角的三角函數值.〔1〕，如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一點.∠B=30°，∠BDA=135°，BD=3，求AB的長.〔2〕如圖，D是△ABC中BC邊的中點，∠BAD=90°，tanB=，求sin∠DAC.〔3〕利用一副三角板和圓規作圖，求sin15°.※用銳角的三角函數表示線段長度.如圖，矩形ABCD中，AD>AB，AB=a，∠BDA=θ，作AE交BD于E，且AE=AB，試用a與θ表示AD、BE.〔〕3.用計算器求銳角的三角函數值※借助計算器探索三角函數的性質.〔1〕〔教材練習改〕用計算器求以下銳角三角函數值，從結果中你能得出什么猜測？你能說明自己的猜測嗎？sin20°，cos70°；sin35°，cos55°；sin15°32′，cos74°28′.〔2〕〔教材習題28.1第9題〕用計算器求以下銳角三角函數值，并填入表中：銳角A…15°18°20°22°…80°82°84°…sinAcosAtanA隨著銳角A的度數不斷增大，sinA有怎樣的變化趨勢？cosA呢？tanA呢？你能說明自己的結論嗎？實踐活動.教材中數學活動1，內容略.4.應用三角函數解決問題※射影定理的適當滲透,體會到三角函數在解決問題時的優越性：如圖，在Rt中，∠ACB=90°，CD是斜邊上的高，請用兩種不同的方法證明，，.如下圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上任意一點，于點E，于點F，于點P。求證：.在中，AB=AC，點E在AC上，且點D在AB上，且，連接DE，BE.求證：〔借助銳角三角函數證明角相等〕28.2解直角三角形及其應用教學建議：結合教材中的“探究〞活動，讓學生全面梳理直角三角形中元素之間的關系.教學時應引導學生分別從邊與邊之間的關系、角與角之間的關系、角與邊之間的關系等方面進行總結.對于解直角三角形條件的探究，本質是探究確定直角三角形的條件，可以從直角三角形全等的判定定理入手.這個探究可以根據學生的根底和認知能力靈活安排，可以安排在本節教學中，也可以安排在章、節小結中進行.解直角三角形在實際中有著非常廣泛的應用.在解決實際問題時，關鍵是借助圖形，將實際問題轉化為解直角三角形的問題，并分析問題中的數量關系，將其歸結為直角三角形中元素之間的關系.因此在教學中，要注意引導學生畫出示意圖，將實際問題中的數量關系在圖形中反響出來，把數和形結合起來，提高學生分析問題和解決問題的能力.在解決實際問題時，本節的例題涉及到仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等概念，也涉及到圓的切線的性質、弧長的計算公式等知識，教學中要注意復習相關內容.在“應用舉例〞一節中，可以整合本章數學活動2的內容，培養學生的綜合能力.1.直角三角形的性質如圖，在Rt中，，AC=b,BC=a,AB=c(i)邊的關系：a2+b2=c2；(ii)角的關系：∠A+∠B=90°；(iii)邊角關系：；；(iv)面積關系：2.解直角三角形〔1〕教學內容：一般地，直角三角形中,除直角外，共有5個元素，即3條邊和2個銳角，由直角三角形中除直角外的元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．條件示意圖求解過程兩邊〔1〕兩條直角邊；〔2〕斜邊和一條直角邊；一銳角及一邊〔3〕一個銳角及其對邊；〔4〕一個銳角及其鄰邊〔直角邊〕；〔5〕一個銳角及斜邊：〔2〕備選例題：※解直角三角形〔1〕〔教材例題〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解這個直角三角形.〔2〕，如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.(i)假設AD=3，BD=1，求解△ABC；(ii)假設AD=h，∠ACD=β，求解△ABC；(iii)假設AD:BD=3:1，求∠A；(iv)sin∠BCD=，CB=4，求AC的長.※利用直角三角形解斜三角形〔1〕在△ABC中，AB=5，∠B=60°.分別在以下條件下，求BC的長.(i)AC=7； (ii)AC=； (iii)AC=4； (iv)AC=8.〔2〕：如圖，在△ABC中，CD⊥AB，sin∠CAD=，AB=13，CD=12，求AD的長和tan∠CBD的值.〔3〕〔2023.1石景山〕：如圖，△ABD中，AC⊥BD于C，，E是AB的中點，tanD=2，CE=1，求sin∠ECB和AD的長．※利用圓的性質和相似求解.〔1〕如圖，C、D是半圓O上兩點，BD=8，，求cos∠CEB和tan∠CEB.〔2〕如圖，A、B兩點的坐標分別為，(0,2)，P是△AOB外接圓上的一點，且∠AOP=45°，那么點P的坐標為______________.3.實際應用〔1〕教學內容 仰角和俯角 方位角 坡角和坡度備選例題※熟悉概念，體會從實際問題中抽象出數學模型的過程如圖，山頂上有一座電視塔，在塔頂B處測得地面上一點A的俯角α=60°，在塔底C處測得A的俯角β=45°，塔高BC=60米，求山高.※更真實的背景，根據題意畫圖并求解〔需要借助計算器〕〔教材習題28.2第10題〕海中有一個小島P，在以P為圓心、半徑為nmile的圓形海域內有暗礁.一輪船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東60°方向上，且A、P之間的距離為32nmile.假設輪船繼續向正東方向航行，輪船有無觸礁危險？請通過計算加以說明.如果有危險，輪船自A處開始沿南偏東多少度的方向航行，能平安通過這一海域？※實踐活動教材中數學活動2，內容略.專題專題一.銳角三角函數的實際應用1.(2023朝陽畢業)如圖，某數學小組要測量校園內旗桿AB的高度，其中一名同學站在距離旗桿12米的點C處，測得旗桿頂端A的仰角為α，此時該同學的眼睛到地面的高CD為1.5米，那么旗桿的高度為〔米〕〔用含α的式子表示〕．2.(2023房山一模)如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離BC為30m，在A點測得D點的仰角∠EAD為45°，在B點測得D點的仰角∠CBD為60°，那么甲建筑物的高度為_____m，乙建筑物的高度為_____m．3.(2023豐臺一模)在某一時刻，測得身高為1.8m的小明的影長為3m，同時測得一建筑物的影長為10m，那么這個建筑物的高度為m．4.(2023石景山一模)某學校組織學生到首鋼西十冬奧廣場開展綜合實踐活動，數學小組的同學們在距奧組委辦公樓〔原首鋼老廠區的筒倉〕20m的點處，用高為0.8m的測角儀測得筒倉頂點C的仰角為63°，那么筒倉CD的高約為____________m．〔精確到0.1m，，，〕5.(2023豐臺二模)如圖，是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側OB與墻MN平行且距離為0.8米，一輛小汽車車門寬AO為1.2米，當車門翻開角度∠AOB為40°時，車門是否會碰到墻？；〔填“是〞或“否〞〕請簡述你的理由〔第14題〕〔第14題〕6.(2023昌平二模)為了測量校園水平地面上一棵不可攀爬的樹的高度，小文同學做了如下的探索：根據物理學中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如以下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子放在適宜的位置，剛好能在鏡子里看到樹梢頂點，此時小文與平面鏡的水平距離為2.0米，樹的底部與平面鏡的水平距離為8.0米，假設小文的眼睛與地面的距離為1.6米，那么樹的高度約為______米〔注：反射角等于入射角〕.7.(2023平谷二模)如圖，一名滑雪運發動沿著傾斜角為的斜坡，從滑行至，米，那么這名滑雪運發動的高度下降了約米．(參考數據：，，)8.(2023海淀二模)西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表．如圖是一個根據北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱高為．，冬至時北京的正午日光入射角約為°，那么立柱根部與圭表的冬至線的距離〔即的長〕約為〔〕A．B．C．D．9.如圖，甲船在港口P的南偏西方向，距港口86海里的A處，沿AP方向以每小時15海里的速度勻速駛向港口P．乙船從港口P出發，沿南偏東方向勻速駛離港口P，現兩船同時出發，2小時后乙船在甲船的正東方向．求乙船的航行速度．〔結果精確到個位，參考數據：〕10.如圖：我漁政310船在南海海面上沿正東方向勻速航行，在A點觀測到我漁船C在北偏東60°方向的我國某傳統漁場捕魚作業．假設漁政310船航向不變，航行半小時后到達B點，觀測到我漁船C在東北方向上．問：漁政310船再按原航向航行多長時間，離漁船C的距離最近？〔漁船C捕魚時移動距離忽略不計，結果不取近似值．〕11.如下圖，某數學活動小組要測量山坡上的電線桿PQ的高度．他們采取的方法是：先在地面上的點A處測得桿頂端點P的仰角是45°，再向前走到B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°，這時只需要測出AB的長度就能通過計算求出電線桿PQ的高度.你同意他們的測量方案嗎？假設同意，畫出計算時的圖形，簡要寫出計算的思路，不用求出具體值；假設不同意，提出你的測量方案，并簡要寫出計算思路.12.如圖，為了測量某電線桿〔底部可到達〕的高度，準備了如下的測量工具：=1\*GB3①平面鏡；=2\*GB3②皮尺；=3\*GB3③長為2米的標桿；=4\*GB3④高為1.5m的測角儀〔測量仰角、俯角的儀器〕，請根據你所設計的測量方案，答復以下問題：〔1〕畫出你的測量方案示意圖，并根據你的測量方案寫出你所選用的測量工具；〔2〕結合你的示意圖，寫出求電線桿高度的思路．*開放性問題要注意方案的可行性13.由于2023年第30號強臺風“海燕〞的侵襲，致使多個城市受到影響.如下圖，A市位于臺風中心M北偏東15°的方向上，距離千米，B市位于臺風中心M正東方向千米處.臺風中心以每小時30千米的速度沿MF向北偏東60°的方向移動〔假設臺風在移動的過程中的風速保持不變〕，距離臺風中心60千米的圓形區域內均會受到此次強烈臺風的影響.〔1〕A市、B市是否會受到此次臺風的影響？說明理由.〔2〕如果受到此次臺風影響,該城市受到臺風影響的持續時間為多少小時?專題二.直線型圖形中的證明和計算1.(2023石景山一模)如圖，在四邊形中，，，于點．〔1〕求證：；〔2〕假設，求的長．2.(2023平谷一模)如圖，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點F，AE⊥BF于點O，交BC于點E，連接EF．〔1〕求證：四邊形ABEF是菱形；〔2〕連接CF，假設∠ABC=60°，AB=4，AF=2DF，求CF的長．3.(2023懷柔山一模).直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D是斜邊BC上一點，且AB=AD，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E，交AB延長線于點F.(1)求證：∠ACB=∠DCE；(2)假設∠BAD=45°，，過點B作BG⊥FC于點G，連接DG．依題意補全圖形，并求四邊形ABGD的面積4.(2023朝陽一模)如圖，在△ABC中，D是AB邊上任意一點，E是BC邊中點，過點C作AB的平行線，交DE的延長線于點F，連接BF，CD．〔1〕求證：四邊形CDBF是平行四邊形；〔2〕假設∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=42，求DF5.(2023東城一模)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，延長BA至點E，使AE=AB，連接DE，AC.〔1〕求證：四邊形ACDE為平行四邊形;〔2〕連接CE交AD于點O.假設AC=AB=3，，求線段CE的長.6.(2023房山一模)如圖，在中，，點分別是上的中點，連接并延長至點，使，連接.〔1〕證明：；〔2〕假設，AC=2，連接BF，求BF的長7.(2023通州一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，DB⊥AB，點E是BC邊中點，過點E作EF⊥CD，垂足為F，交AB的延長線于點G.〔1〕求證：四邊形BDFG是矩形；〔2〕假設AE平分∠BAD，求tan∠BAE的值.中考題鏈接1.特殊角的三角函數值計算〔2023北京17〕計算：4sin45°+(π-2)°-18+∣-1∣〔2023北京17〕計算：4cos30°+(1-EQ\r(,2))0-EQ\r(,12)+|-2|.〔2023北京17〕計算：.2.直線型的證明和計算〔2023北京22〕如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點，連接BE．〔1〕求證：四邊形BCDE為菱形；〔2〕連接AC，假設AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．〔2023北京19〕如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD.〔1〕求證：四邊形ABEF是菱形.〔2〕假設AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.〔2023北京19〕如圖，在□ABCD中，F是AD的中點，延長BC到點E，使CE=BC，連結DE，CF.〔1〕求證：四邊形CEDF是平行四邊形；〔2〕假設AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的長.〔2023北京19〕如圖，在四邊形中，對角線交于點，．求的長和四邊形的面積．3.圓中的證明和計算〔2023北京22〕如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD.(1)求證:OP⊥CD;(2)連接AD，BC，假設∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的長.〔2023北京24〕如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點，過點E作EC⊥OA于點C，過點B作⊙O的切線交CE的延長線于點