2．3.2對數函數

第二課時學習目標1.初步掌握對數形式的復合函數單調性的判定與證明．2．掌握對數的數值特征．3．掌握對數形式的復合函數的性質及應用．

課堂互動講練知能優化訓練課前自主學案第二課時課前自主學案溫故夯基1．一般地，當a＞0，且a≠1時，函數y＝logax叫做__________函數．2．(1)當a＞1時，函數y＝logax在(－∞，＋∞)上是________；當0＜a＜1時，函數y＝logax在(－∞，＋∞)上是_________．對數減函數增函數(2)若a＞1，則當x＝1時，y__0；當x＞1時，y____0；當0＜x＜1時，y____0；若0＜a＜1，則當x＝1時，y______0；當x＞1時，y_____0；當0＜x＜1時，y_____0.＝＞＜＝＜＞知新益能1．對數型復合函數的單調性(1)對于形如y＝loga[g(x)](a＞0，且a≠1)的一類函數的單調性，在定義域上，當a＞1時，與函數y＝g(x)的單調性相同，當0＜a＜1時，則相反．(2)判斷復合函數的單調性可以借助圖象來判斷．(3)求復合函數單調區間的步驟：①求定義域；②分解成y＝logau，u＝g(x)兩個函數；③求u的單調區間(注意定義域)，并判斷y＝logau的單調性；④利用同一區間上“同增異減”得出結論．2．對數型復合函數的定義域、值域由下圖可知對數函數y＝logax的定義域為_______________，值域為R，反過來，要使函數y＝logax的值域為R，由下圖可知，x必須取遍(0，＋∞)內所有的值(一個也不能少)．(0，＋∞)(1)因此，若y＝loga[φ(x)]的定義域為R，則對于任意實數x恒有φ(x)＞0，特別是當φ(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)時，要使y＝loga[φ(x)]的定義域為R，則有a＞0，且Δ＜0.(2)若已知y＝loga[φ(x)]的值域為R，則φ(x)必須取遍(0，＋∞)內的所有值(一個也不能少)，則對于函數t＝φ(x)而言，必須有t＝φ(x)的值域包含(0，＋∞)(此時y＝loga[φ(x)]的定義域一般包含于t＝φ(x)的定義域之中)．反之，若φ(x)≥m(m＞0)，則當a＞1時，有y＝loga[φ(x)]≥logam；當0＜a＜1時，有y＝loga[φ(x)]≤logam，因此其值域一定不為R.特別地當φ(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，要使y＝loga[φ(x)]的值域為R，則有_______，且______.a＞0Δ≥0課堂互動講練對數型復合函數的值域考點一考點突破求對數型復合函數的值域，往往要先求定義域，把真數視作某一函數，求值域；再利用對數函數的增減性求出復合函數的值域．例1【思路點撥】先確定真數的取值范圍，再運用對數的單調性求解．【名師點評】求函數的值域一定要注意定義域對它的影響，然后利用函數的單調性求之，當函數中含有參數時，有時需要討論參數的取值．對數函數y＝logax(a>0，a≠1)的定義域為{x|x>0}．當對數函數與二次函數或其他函數復合時，在運算中往往忽略真數大于0這一隱含條件，從而造成解題錯誤．對數型復合函數的單調性考點二例2【思路點撥】先求函數的定義域、然后在定義域內討論單調區間．【名師點評】函數y＝logaf(x)可看作是y＝logat與t＝f(x)兩個簡單函數復合而成的，則由復合函數的判斷法則同增異減知：當a＞1時，若t＝f(x)為增函數，則y＝logaf(x)為增函數，若f(x)為減函數，則y＝logaf(x)為減函數；當0＜a＜1時，若t＝f(x)為增函數，則y＝logaf(x)為減函數，若t＝f(x)為減函數，則y＝logaf(x)為增函數．解：由題意得x2－3x－18＞0，解得x＞6或x＜－3.在區間(6，＋∞)內，設任意x1，x2∈(6，＋∞)，且x1＜x2，所以y2－y1＜0，即y2＜y1，所以函數在(6，＋∞)上是減函數．同理可得函數在(－∞，－3)上是增函數．故函數的單調增區間是(－∞，－3)，單調減區間是(6，＋∞)．對數函數性質的綜合運用考點三對數函數往往作為考查函數性質的載體，考查函數的性質，在眾多函數中，對數函數的結構對函數的性質影響較大，因而解決有關問題時，抓住其特點入手解題是必需要走的解題之路．例3【名師點評】

(1)判斷函數的奇偶性，首先應求出定義域，看是否關于原點對稱．(2)對于類似于f(x)＝logag(x)的函數，利用f(－x)±f(x)＝0來判斷奇偶性較簡便．(3)求函數的單調區間有兩種思路：一是易得到的單調區間，可用定義法來求證；二是利用復合函數的單調性求得單調區間．1．與對數函數有關的復合函數的值域：求由對數函數組成的復合函數的值域，一方面，要抓住對數函數的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對數函數的單調性來求其值域(多采用換元法)．2．單調性的應用及有關問題：方法感悟(1)與對數函數有關的復合函數的單調性：解決與對數函數有關的復合函數的單調性問題時，一是要注意確定函數的定義域；二是看底數是否大于1，當題目中未明確給出時，則應按a