湖南省長沙市路口鎮路口中學2022-2023學年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數，且在（﹣∞，0]上是增函數，設a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6）則a，b，c的大小關系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c參考答案：B【分析】利用對數和指數冪的運算性質，結合函數單調性和奇偶性的性質是解決本題的關鍵．【解答】解：∵f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數，∴b=f（log3）=f（﹣log23）=f（log23），∵log23=log49＞log47＞1，0＜0.20.6＜1，∴0.20.6＜log47＜log49，∵在（﹣∞，0]上是增函數，∴在[0，+∞）上為減函數，則f（0.20.6）＞f（log47）＞f（log49），即b＜a＜c，故選：B【點評】本題主要考查函數值的大小比較，根據函數的奇偶性和單調性之間的關系以及對數的運算性質是解決本題的關鍵．2.設f（x）=|lgx|，若函數g（x）=f（x）﹣ax在區間（0，4）上有三個零點，則實數a的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數判斷．【專題】函數的性質及應用；導數的綜合應用．【分析】轉化函數的零點為方程的根，利用數形結合，推出3個零點滿足的情況，利用函數的導數求出切線的斜率，推出結果即可．【解答】解：函數g（x）=f（x）﹣ax在區間（0，4）上有三個零點，就是g（x）=f（x）﹣ax=0在區間（0，4）上有三個根，也就是f（x）=ax的根有3個，即兩個函數y=f（x）與y=ax圖象在區間（0，4）上的交點個數為3個．如圖：由題意以及函數的圖象可知函數有3個零點，直線y=ax過A，與l之間時，滿足題意．A（4，lg4），kOA=．設l與y=lgx的切點為（t，f（t）），可得y′=，切線的斜率為：==，即lgt=lge，t=e．可得切線l的斜率為：，a∈．故選：B．【點評】本題考查函數的零點與方程的根的關系，考查數形結合轉化思想的應用，是中檔題．3.已知銳角滿足，則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略4.已知全集，則（

）A． B． C． D．參考答案：B略5.曲線在點（—1，—1）處的切線方程為

（

）

A.

y=2x+1

B.

y=2x—1

C.y=—2x—3

D.y=—2x—2參考答案：A略6.(2009湖北卷理)設球的半徑為時間t的函數。若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A.成正比，比例系數為C

B.成正比，比例系數為2C C.成反比，比例系數為C

D.成反比，比例系數為2C

參考答案：D解析：由題意可知球的體積為，則，由此可得，而球的表面積為，所以，即，故選D7.已知(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：答案：C解析：，由、是實數，得∴，故選擇C?！久麕燑c拔】一個復數為實數的充要條件是虛部為0。【考點分析】本題考查復數的運算及性質，基礎題。8.若復數，滿足：，則的虛部為（

）A.

B.1

C.

D.參考答案：C9.給出如下三個命題：①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題；②命題“若，則”的否命題為“若”；③“”的否定是“”.其中不正確的命題的個數是A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：C①“p且q”為假命題，則p、q至少有一個為假命題，所以①錯誤。②正確。③“”的否定是“”，所以③錯誤。所以不正確的命題的個數是2個，選C.10.將數字“124470”重新排列后得到不同的偶數個數為（

）A．180

B．192

C．204

D．264參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設數列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），則數列{}的前10項的和為．參考答案：【考點】數列的求和；數列遞推式．【分析】數列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂項求和”即可得出．【解答】解：∵數列{an}滿足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴當n≥2時，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．當n=1時，上式也成立，∴an=．∴=2．∴數列{}的前n項的和Sn===．∴數列{}的前10項的和為．故答案為：．12.過雙曲線的一個焦點F作它的一條漸近線的垂線FM,垂足為M并且交軸于E，若M為EF中點，則=___________.

參考答案：答案：113.（5分）（2015?南昌校級模擬）已知一個正三棱錐P﹣ABC的正視圖如圖所示，若AC=BC=，PC=，則此正三棱錐的表面積為．參考答案：9【考點】：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積．【專題】：空間位置關系與距離．【分析】：求正三棱錐的表面積即求三個側面面積與底面面積的和，故求解本題需要求出底面三角形的邊長，側面上的斜高，然后求解表面積．解：由題設條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點到底面的距離是，故底面三角形各邊上的高為3×=，令頂點P在底面上的投影為M，由正三棱錐的結構特征知M到三角形各邊中點的距離是底面三角形高的，計算得其值為，故斜高為=，故此正三棱錐的表面積為：=9．故答案為：9．【點評】：本題考查由三視圖求面積與體積，三視圖的作圖規則是主視圖與俯視圖長對正，主視圖與側視圖高平齊，側視圖與俯視圖是寬相等，本題是考查利用三視圖的作圖規則把三視圖中的數據還原到原始圖形中來，求面積與體積，做題時要注意正確利用三視圖中所提供的信息．14.對于函數f(x)定義域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下結論：①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)；

②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③＞0；

④f()＜.當f(x)=10x時，上述結論中正確結論的序號是 參考答案：答案：①、③、④.15.若x，y滿足，則的取值范圍是．參考答案：【考點】基本不等式．【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性質即可得出．【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．∴．∴的取值范圍是．故答案為：．16.設函數是定義在R上的奇函數，若當時，則滿足的值域是 。參考答案：答案：17.二項式的展開式中常數項是第

項。參考答案：9略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數（，）為奇函數，且相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）當時，求的單調遞減區間；（2）將函數的圖象沿軸方向向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短到原點的（縱坐標不變），得到函數的圖象，當時，求函數的值域.參考答案：（1）由題意可得：，因為相鄰量對稱軸間的距離為，所以，，因為函數為奇函數，所以，，，因為，所以，函數，∵，∴要使單調減，需滿足，，所以函數的減區間為（2）由題意可得：∵，∴，∴，∴即函數的值域為19.已知函數f（x）=ax+xlnx的圖象在點x=e（e為自然對數的底數）處的切線的斜率為3．（1）求實數a的值；（2）若f（x）≤kx2對任意x＞0成立，求實數k的取值范圍；（3）當n＞m＞1（m，n∈N*）時，證明：．參考答案：考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．專題：計算題；證明題；導數的綜合應用．分析：（1）求出f（x）的導數，由切線的斜率為3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉化為求g（x）的最大值，運用導數，求得單調區間，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出導數，判斷單調性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函數，由n＞m＞1，則h（n）＞h（m），化簡整理，即可得證．解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的圖象在點x=e處的切線的斜率為3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉化為求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，當0＜x＜1時，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函數；當x＞1時，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是減函數．

故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1，∴k≥1即為所求；

（3）令，則，由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，∴h（x）是（1，+∞）上的增函數，∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即，∴mnlnn﹣nlnn＞mnlnm﹣mlnm，即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，ln（mnn）m＞ln（nmm）n，∴（mnn）m＞（nmm）n，∴．點評：本題考查導數的綜合應用：求切線方程和求單調區間、極值和最值，考查不等式恒成立問題轉化為求函數的最值，考查不等式的證明，運用構造函數，求導數得到單調性，再由單調性證明，屬于中檔題．20.已知函數，其中，為自然對數的底數.（Ⅰ）設是函數的導函數，求函數在區間[0,1]上的最小值；（Ⅱ）若，函數在區間(0,1)內有零點，求a的取值范圍參考答案：（Ⅰ）當時，；當時，；當時，.（Ⅱ）的范圍為.試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調區間，根據在上的單調性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設為在區間內的一個零點，注意到.聯系到函數的圖象可知，導函數在區間內存在零點，在區間內存在零點，即在區間內至少有兩個零點.由（Ⅰ）可知，當及時，在內都不可能有兩個零點.所以.此時，在上單調遞減，在上單調遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍.試題解答：（Ⅰ）①當時，，所以.②當時，由得.若，則；若，則.所以當時，在上單調遞增，所以.當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.當時，在上單調遞減，所以.（Ⅱ）設為在區間內一個零點，則由可知，在區間上不可能單調遞增，也不可能單調遞減.則不可能恒為正，也不可能恒為負.故在區間內存在零點.同理在區間內存在零點.所以在區間內至少有兩個零點.由（Ⅰ）知，當時，在上單調遞增，故在內至多有一個零點.當時，在上單調遞減，故在內至多有一個零點.所以.此時，在上單調遞減，在上單調遞增，因此，必有.由得：，有.解得.當時，在區間內有最小值.若，則，從而在區間上單調遞增，這與矛盾，所以.又，故此時在和內各只有一個零點和.由此可知在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.所以，，故在內有零點.綜上可知，的取值范圍是.【考點定位】導數的應用及函數的零點.21.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）點D滿足=2，且線段AD=3，求2a+c的最大值．參考答案：【考點】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ）結合題意畫出圖形，根據圖形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，=，∴=，∴ac﹣c2=a2﹣b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴cosB===；又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）如圖所示，點D滿足=2，∴BC=CD；又線段AD=3，∴AD2=c2+4a2﹣2?c?2acos=c2+4a2﹣2ac=9，∴c2+4a2=9+2ac；又c2+4a2≥2c?2a，∴4ac≤9+2ac，∴2ac≤9；∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，∴2a+c≤6，即2a+c的最大值為6．【點評】本題考查了正弦定理和余弦定理的應用問題，也考查了基本不等式的應用問題，是綜合題．22.（本小題滿分14分）正方體ABCD-A1B1C1D1中，點F為A1D的中點．（1）求證：A1B∥平面AFC；（2）求證：平面A1B1CD平面AFC．參考答案：證明：（1）連接BD交AC于點O，連接FO，則點O是BD的中