微波技術(shù)基礎(chǔ)(微波技術(shù)與天線)第2章2.1導(dǎo)波原理本節(jié)要點(diǎn)1.波導(dǎo)管內(nèi)的電磁波的一般分析方法2.波的傳輸特性3.導(dǎo)行波的分類21.規(guī)則金屬管內(nèi)的電磁波理論分析的一般方法對由均勻填充介質(zhì)的金屬波導(dǎo)管建如圖所示坐標(biāo)系金屬波導(dǎo)內(nèi)部的電、磁場滿足矢量齊次亥姆霍茲方程，即其中，k2=2。（2-1）設(shè)z軸與波導(dǎo)的軸線相重合，并假設(shè)：(1)波導(dǎo)管內(nèi)填充的介質(zhì)是均勻、線性、各向同性的；(2)波導(dǎo)管內(nèi)無自由電荷和傳導(dǎo)電流的存在；(3)波導(dǎo)管內(nèi)的場是時(shí)諧場。3（1）將電場和磁場分解為橫向分量和縱向分量即：代表z方向單位矢量，t表示橫向坐標(biāo)。將式（2-2）代入齊次亥姆霍茲方程（2-1），將矢量方程分解為部分標(biāo)量方程（拉普拉斯算子分解）。（2-2）（2-3）t在直角坐標(biāo)系中代表(x,y)，在柱坐標(biāo)系中代表(,)。分析：4（3）設(shè)在直角坐標(biāo)系中，利用分離變量法，令：

（2-5）將式（2-4）和式（2-5）代入式（2-3）得式（2-6）中左邊是橫向坐標(biāo)(x,y)的函數(shù)，與z無關(guān)；而右邊是z的函數(shù)，與(x,y)無關(guān)。只有二者均為一常數(shù)上式才能成立。（2-6）（2）將標(biāo)量拉普拉斯算子展開為（2-4）5設(shè)該常數(shù)為2，則有：（2-7）式（2-7）中的第二式的形式與傳輸線方程相同，其通解為：若規(guī)則金屬波導(dǎo)為無限長，沒有反射波，故A_=0，即縱向電場的縱向分量應(yīng)滿足解的形式為：A+為待定常數(shù)，對無耗波導(dǎo)j，而為相移常數(shù)。

（2-9）（2-8）6（4）設(shè)Eoz(x,y)=A+Ez(x,y)，則縱向電場可表達(dá)為：（2-10a)（2-10b)而幅值函數(shù)Eoz(x,y)和Hoz(x,y)，滿足以下方程：

（2-11）其中kc2=k2

2，為傳輸系統(tǒng)的本征值。同樣縱向磁場也可表達(dá)為同理，對方程可再進(jìn)行分離變量，拆分為一元微分函數(shù)，將各坐標(biāo)分量函數(shù)求解。7（5）由麥克斯韋方程可知，無源區(qū)電場和磁場應(yīng)滿足的方程為：

（2-12）將(2-12)用直角坐標(biāo)展開8大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流9將縱向分量代入，求解可得：（2-13）10結(jié)論在規(guī)則波導(dǎo)中場的縱向分量滿足標(biāo)量齊次波動方程，結(jié)合相應(yīng)邊界條件即可求得縱向分量Ez和Hz，而場的橫向分量即可由縱向分量求得；既滿足上述方程又滿足邊界條件的解有許多，每一個解對應(yīng)一個波型也稱之為模式，不同的模式具有不同的傳輸特性；kc是微分方程（2-11）在特定邊界條件下的特征值，它是一個與導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面形狀、尺寸及傳輸模式有關(guān)的參量。由于當(dāng)相移常數(shù)=0時(shí)，意味著波導(dǎo)系統(tǒng)不再傳播，亦稱為截止，此時(shí)kc=k，故將kc稱為截止波數(shù)(cutoffwavenumber)。112.波的傳輸特性描述波導(dǎo)傳輸特性的主要參數(shù)有：相移常數(shù)、截止波數(shù)、相速、波導(dǎo)波長、群速、波阻抗及傳輸功率。下面分別敘述如下：

(1)相移(phaseshift)常數(shù)和截止(cutoff)波數(shù)

在確定的均勻媒質(zhì)中，波數(shù)k與電磁波的頻率成正比，相移常數(shù)和k的關(guān)系式為：（2-14）12(2)相速(phasevelocity)與波導(dǎo)波長電磁波在波導(dǎo)中傳播，其等相位面移動速率稱為相速，于是有：

（2-15）其中，c為真空中光速。

對導(dǎo)行波來說k>kc，故即在規(guī)則波導(dǎo)中波的傳播速度要比在無界空間媒質(zhì)中傳播的速度要快。

導(dǎo)行波的波長稱為波導(dǎo)波長，它與波數(shù)的關(guān)系式為：

（2-16）13(3)群速(groupvelocity)我們將相移常數(shù)及相速vp隨頻率的變化關(guān)系稱為色散關(guān)系，它描述了波導(dǎo)系統(tǒng)的頻率特性。當(dāng)存在色散特性時(shí)，相速已不再能很好地描述波的傳播速度，一般引入“群速”的概念，它表征了波能量的傳播速度，當(dāng)kc為常數(shù)時(shí)，導(dǎo)行波的群速為：

（2-17）14(4)波阻抗(waveimpedance)

某個波型的橫向電場和橫向磁場之比為波阻抗，即：

（2-18）(5)傳輸功率(transmissionpower)由坡印廷定理，波導(dǎo)中某個波型的傳輸功率為：

式中，Z為該波型的波阻抗。

（2-19）153.導(dǎo)行波的分類

根據(jù)截止波數(shù)kc的不同可將導(dǎo)行波分為以下三種情況：

(1)kc2=0即kc=0這時(shí)必有Ez=0和Hz=0，否則由式（2-13）知Ex、Ey、Hx、Hy、將出現(xiàn)無窮大，這在物理上不可能。這意味著該導(dǎo)行波既無縱向電場又無縱向磁場，只有橫向電場和磁場，故稱為橫電磁波簡稱TEM波。

對于TEM波，k，故相速、波長及波阻抗和無界空間均勻媒質(zhì)中情況相同。而且由于截止波數(shù)kc=0，因此理論上任意頻率均能在此類傳輸線上傳輸。此時(shí)不能用縱向場分析法，而可用二維靜態(tài)場分析法或前述傳輸線方程法進(jìn)行分析。

16(2)kc2>0

這時(shí)2>0，而Ez和Hz不能同時(shí)為零，否則所有場必然全為零。一般情況下，只要Ez和Hz中有一個不為零即可滿足邊界條件，這時(shí)又可分為二種情形：(a)TM(transversemagnetic)波將Ez0而Hz=0的波稱為磁場純橫向波，簡稱TM波，由于只有縱向電場故又稱為E波。此時(shí)滿足的邊界條件應(yīng)為：其中，S表示波導(dǎo)周界。

（2-20）TM波的波阻抗為

（2-21）17(b)TE(transverseelectric)波將Ez=0而Hz0的波稱為電場純橫向波，簡稱TE波，由于只有縱向電場故又稱為H波。此時(shí)滿足的邊界條件應(yīng)為：（2-22）TE波的波阻抗為

（2-23）其中，S表示波導(dǎo)周界。為邊界法向單位矢量

無論是TE波還是TM波，其相速均比無界媒質(zhì)空間中的速度要快，故稱之為快波。18(3)即相速比無界媒質(zhì)空間中的速度要慢，故又稱之為慢波。在由光滑導(dǎo)體壁構(gòu)成的導(dǎo)波系統(tǒng)不可能存在的情形，只有當(dāng)某種阻抗壁存在才有這種可能。

這時(shí)，而相速192.2矩形波導(dǎo)

設(shè)矩形波導(dǎo)(rectangularguide)的寬邊尺寸為a，窄邊尺寸為b。由于此時(shí)的導(dǎo)波系統(tǒng)中存在縱向場分量，故不能采用上一章等效電路的分析方法，而采用場分析法。

本節(jié)主要內(nèi)容矩形波導(dǎo)中的場分析

矩形波導(dǎo)的傳輸特性

矩形波導(dǎo)尺寸選擇原則脊形波導(dǎo)

201.矩形波導(dǎo)中的場分析將波導(dǎo)中的場分解為橫向場(transversefield)和縱向場(longitudinalfield)的和，即其中，az為z向單位矢量，t表示橫向坐標(biāo)。設(shè)縱向電場、磁場為而E0z和H0z滿足下列方程其中，21將它們滿足的麥克斯韋方程在直角坐標(biāo)系中展開，得波導(dǎo)中各橫向電、磁場的表達(dá)式為：22因?yàn)椋嚎v向場分量Ez和Hz不能同時(shí)為零，否則全部場分量必然全為零，系統(tǒng)將不存在任何場。一般情況下，只要Ez和Hz中有一個不為零即可滿足邊界條件，這時(shí)又可分為二種情形：橫電波（TE波）橫磁波（TM波）23(1)TE波（transverseelectricwave）TE波：Ez=0,縱向場分量滿足方程利用分離變量法，令則有下列方程可得24TE波的縱向場的通解為其中，A1、A2、

B1、B2和kx、ky為待定系數(shù)，由邊界條件確定。Hz應(yīng)滿足的邊界條件為于是得25于是，TE波各場分量的表達(dá)式為26小結(jié)Hmn為模式振幅常數(shù)。根據(jù)解得形式可看出既滿足方程又滿足邊界條件的解有很多，我們將一個解稱之為一種傳播模式。kc為矩形波導(dǎo)TE波的截止波數(shù)，顯然它與波導(dǎo)尺寸、傳輸波型有關(guān)。

m,n分別代表波沿x方向和y方向分布的半波個數(shù)，一組mn對應(yīng)一種TE波，稱作TEmn模。

TE10模是最低次模，其余稱為高次模。

27(2)TM波（transversemagneticwave）

TM波：Hz=0TM波的全部場分量：28小結(jié)矩形波導(dǎo)內(nèi)存在許多模式的波，TE波是所有TEmn模式場的總和，而TM波是所有TMmn模式場的總和。TM11模是矩形波導(dǎo)TM波的最低次模，其它均為高次模。

kc為矩形波導(dǎo)TM波的截止波數(shù)，它與波導(dǎo)尺寸、傳輸波型有關(guān)，其表達(dá)式仍為

292.矩形波導(dǎo)的傳輸特性

截止波數(shù)與截止波長主模主模的場分布

波導(dǎo)波長、相速與群速波阻抗功率容量損耗

30(1)截止波數(shù)與截止波長(cutoffwavelength)其中，為波導(dǎo)中的相移常數(shù)，k=2/

為自由空間波數(shù)。

當(dāng)kc=k時(shí)，=0，此時(shí)波不能在波導(dǎo)中傳輸，也稱為截止，因此kc稱為截止波數(shù)，它僅取決于波導(dǎo)結(jié)構(gòu)尺寸和傳播模式。由于kc2=k2

2矩形波導(dǎo)TEmn和TMmn模的截止波數(shù)均為：對應(yīng)截止波長為

31模式其中，=2/k為工作波長。

(1)當(dāng)工作波長大于某個模的截止波長c時(shí)，2<0，即此模在波導(dǎo)中不能傳輸，稱為截止模(cutoffmode)。(2)當(dāng)工作波長小于某個模的截止波長c時(shí)，2>0，此模可在波導(dǎo)中傳輸，故稱為傳導(dǎo)模(propagationmode)；波導(dǎo)中的相移常數(shù)為

一個模能否在波導(dǎo)中傳輸取決于波導(dǎo)結(jié)構(gòu)尺寸和工作波長。對相同的m和n，TEmn和TMmn模具有相同的截止波長，將截止波長相同的模式稱為簡并模(degeneratingmode)。32標(biāo)準(zhǔn)波導(dǎo)BJ-32各模式截止波長圖

單模傳輸區(qū)域截止區(qū)33[例2-1]設(shè)某矩形波導(dǎo)的尺寸為a=8cm,b=4cm，試求工作頻率在3GHz時(shí)該波導(dǎo)能傳輸?shù)哪Ｊ健＝猓河蒮=3GHz得而各模式的截止波長為因此，在3GHz時(shí)只能傳輸TE10模。34(2)主模(principlemode)

導(dǎo)行波中截止波長最長的導(dǎo)行模。矩形波導(dǎo)的主模為TE10模。

(a)TE10模場分布

35場強(qiáng)與y無關(guān)，各分量沿y軸均勻分布，沿x方向的變化規(guī)律為：

沿z方向的變化規(guī)律為：36TE10模場分布沿縱向傳播瞬時(shí)圖

37TE10模場分布橫截面上瞬時(shí)圖

38(b)TE10模的傳輸特性1)截止波長與相移常數(shù)

相移常數(shù)為

截止波長為

2)波導(dǎo)波長與波阻抗

393)相速與群速

4)傳輸功率

其中，E10是Ey分量在波導(dǎo)寬邊中心處的振幅值。由此可得波導(dǎo)傳輸TE10模時(shí)的功率容量為：

其中，Ebr為擊穿電場幅值。40當(dāng)負(fù)載不匹配時(shí)，由于形成駐波電場振幅變大，功率容量會變小，因此不匹配時(shí)的功率容量和匹配時(shí)的功率容量Pbr的關(guān)系為：其中，為駐波比。因空氣的擊穿場強(qiáng)為30kV/cm，故空氣矩形波導(dǎo)的功率容量為：

可見：波導(dǎo)尺寸越大，頻率越高，則功率容量越大。41這里我們用不匹配傳輸線功率的U和I表達(dá)式關(guān)系給予說明：42當(dāng)傳輸功率不能滿足要求時(shí)，可采用下述措施：在不出現(xiàn)高次模(highmode)的條件下適當(dāng)加大波導(dǎo)的窄邊尺寸b；密閉波導(dǎo)并充壓縮空氣或惰性氣體，來提高介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度；保持波導(dǎo)內(nèi)壁清潔和干燥；提高行波系數(shù)，減小反射。43單位長波導(dǎo)內(nèi)傳輸功率的減少等于單位長功率損耗Pl，所以有

5)衰減特性設(shè)導(dǎo)行波沿z方向傳輸時(shí)的衰減常數(shù)為，則沿線電場、磁場按e-z規(guī)律變化，傳輸功率按以下規(guī)律變化：于是，衰減常數(shù)可按下式計(jì)算44在計(jì)算損耗功率時(shí)，因不同的導(dǎo)行模有不同的電流分布，損耗也不同，根據(jù)上述分析，可推得矩形波導(dǎo)TE10模的衰減常數(shù)公式：其中，為導(dǎo)體表面電阻。它取決于導(dǎo)體的磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率和工作頻率。因此，減小導(dǎo)體表面電阻或增大波導(dǎo)高度b能使衰減變小。但當(dāng)b>a/2時(shí)單模工作頻帶變窄。45[例2-2]矩形波導(dǎo)截面尺寸為ab=72mm30mm，波導(dǎo)內(nèi)充滿空氣，信號源頻率為3GHz，試求：只能傳輸模波導(dǎo)中可以傳播的模式；該模式的截止波長，相移常數(shù)，波導(dǎo)波長、相速、群速和波阻抗；若該波導(dǎo)終端接有歸一化導(dǎo)納為0.7-j0.1的負(fù)載，試求其駐波比和第一個波節(jié)點(diǎn)離負(fù)載的距離。解：信號波長為TE10、TE20的截止波長為46TE10的截止波長為：截止波數(shù)為：自由空間的波數(shù)為：

相移常數(shù)為：

此時(shí)，相速和群速分別為47波導(dǎo)波長和波阻抗分別為

由負(fù)載歸一化導(dǎo)納求得終端反射系數(shù)，進(jìn)而求得駐波比。第一個波節(jié)點(diǎn)離負(fù)載的距離為

483.矩形波導(dǎo)尺寸選擇原則

波導(dǎo)帶寬問題：保證在給定頻率范圍內(nèi)的電磁波在波導(dǎo)中都能以單一的模傳播，其它高次模都應(yīng)截止。波導(dǎo)功率容量問題：在傳播所要求的功率時(shí)，波導(dǎo)不致于發(fā)生擊穿。適當(dāng)增加b可增加功率容量，故b應(yīng)盡可能大一些。波導(dǎo)的衰減問題：通過波導(dǎo)后的信號功率不要損失太大。增大b也可使衰減變小，故b應(yīng)盡可能大一些。綜合上述因素，矩形波導(dǎo)的尺寸一般選為：

494.脊形波導(dǎo)（ridgewaveguide）特點(diǎn)：與相同尺寸a的矩形波導(dǎo)相比，其TE10模的截止頻率低得多；高次模的截止頻率又比矩形波導(dǎo)高；缺點(diǎn)是衰減比矩形波導(dǎo)大，功率容量比矩形波導(dǎo)小。脊形波導(dǎo)是矩形波導(dǎo)的變形，分為單脊形和雙脊形波導(dǎo)。

502.3圓波導(dǎo)

若將同軸線的內(nèi)導(dǎo)體抽走，則在一定條件下，由外導(dǎo)體所包圍的圓形空間也能傳輸電磁能量，這就是圓形波導(dǎo)，簡稱圓波導(dǎo)(circularwaveguide)。與矩形波導(dǎo)一樣，圓波導(dǎo)也只能傳輸TE和TM波型。本節(jié)要點(diǎn)圓波導(dǎo)中的場圓波導(dǎo)的傳輸特性幾種常用模式511.圓波導(dǎo)中的場表達(dá)式中的cosm和sinm是由于圓波導(dǎo)的軸對稱性，使場的極化方向具有不確定性，因此導(dǎo)行波的場分布在方向存在兩種可能的分布，它們獨(dú)立存在，相互正交，截止波長相同，構(gòu)成同一導(dǎo)行模的極化簡并模(degeneratemode)。其中，Jm(x)為m階貝塞爾函數(shù)；mn為m階貝塞爾函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的第n個根，kcTEmn=mn

/a

。(1)TE波采用分離變量法及邊界條件，求得縱向磁場的通解為

5253與TE波相同的分析，可求得TM波縱向電場通解為：

結(jié)論：圓波導(dǎo)中存在著無窮多種TE和TM模，不同的m和n代表不同的模式，記作TEmn和TMmn，其中，m表示場沿圓周分布的整波個數(shù)，n表示場沿半徑分布的最大值個數(shù)。

它們的相移常數(shù)分別為(2)TM波54圓波導(dǎo)模TEmn和TMmn的截止波數(shù)分別為

各模式的截止波長分別為：在所有的模式中，TE11模截止波長最長，其次為TM01模，三種典型模式的截止波長分別為

2.圓波導(dǎo)的傳輸特性（1）截止波長55圓波導(dǎo)中各模式截止波長的分布圖

56圓波導(dǎo)是圓對稱結(jié)構(gòu)。對于m0的任意非圓對稱模式,由于場沿方向存在sinm和cosm兩種場分布，兩者的截止波數(shù)相同，傳播特性相同，但極化面互相垂直，稱之為極化簡并。(2)簡并模由于貝塞爾函數(shù)具有的性質(zhì)，所以一階貝塞爾函數(shù)的根和零階貝塞爾函數(shù)導(dǎo)數(shù)的根相等，故，從而形成了TE0n模和TM1n模的簡并。(a)E-H簡并(b)極化簡并(polarizationdegenerate)在圓波導(dǎo)中除TE0n和TM0n外的所有模式均存在極化簡并。

57極化簡并旋轉(zhuǎn)利用極化兼并現(xiàn)象制成極化衰減器、極化變換器等58(3)傳輸功率其中，

TEmn和TMmn模的傳輸功率分別為：

593.幾種常用模式TE11模的截止波長最長，是圓波導(dǎo)中的最低次模，也是主模。圓波導(dǎo)中模的場分布與矩形波導(dǎo)的模的場分布很相似，因此工程上容易通過矩形波導(dǎo)的橫截面逐漸過渡變?yōu)閳A波導(dǎo)，從而構(gòu)成方圓波導(dǎo)變換器。(1)主模(principlemode)TE11模

場結(jié)構(gòu)分布圖方圓波導(dǎo)變換器

但由于圓波導(dǎo)中極化簡并模的存在，所以很難實(shí)現(xiàn)單模傳輸，因此圓波導(dǎo)不太適合于遠(yuǎn)距離傳輸場合。60（2）圓對稱TM01模

TM01模是圓波導(dǎo)的第一個高次模。由于它具有圓對稱性故不存在極化簡并模，因此常作為雷達(dá)天線與饋線的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)中的工作模式。TM01模的場分布磁場只有H分量波導(dǎo)內(nèi)壁電流：

因其磁場只有H分量，故波導(dǎo)內(nèi)壁電流只有縱向分量，因此它可以有效地和