北京房山區實驗中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若Sn=sin，則在S1，S2，…，S2017中，正數的個數是（）A．143 B．286 C．1731 D．2000參考答案：C【考點】數列的求和．【分析】由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，從而可得到周期性的規律，從而得到答案．【解答】解：由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，2017=14×144+1，∴S1，S2，…，S2017中，正數的個數是2017﹣144×2+2=1731．故選：C．2.集合，則a的值為A.1 B.2 C. D.4參考答案：C略3.（多選題）已知向量，，，設的夾角為，則（

）A B. C. D.參考答案：BD【分析】根據題意，求出的坐標，據此分析選項，綜合即可得答案．【詳解】根據題意，，，則，，依次分析選項：對于，，，則不成立，錯誤；對于，，，則，即，正確；對于，，，不成立，錯誤；對于，，，則，，，則，則，正確；故選：BD．【點睛】本題考查向量數量積的計算，涉及向量夾角的計算，屬于基礎題．4.已知數列{an}、{bn}滿足bn=log2an，n∈N+，其中{bn}是等差數列，且a9a2009=4，則b1+b2+b3+…+b2017=（）A．2016 B．2017 C．log22017 D．參考答案：B【考點】數列的求和．【分析】由已知得an=2，計算可判斷{an}為等比數列，于是a1a2017=a9a2009=4，從而得出b1+b2017=2，代入等差數列的求和公式即可．【解答】解：設{bn}的公差為d，∵bn=log2an，∴an=2，∴==2=2d．∴{an}是等比數列，∴a1a2017=a9a2009=4，即2?2=2=4，∴b1+b2017=2，∴b1+b2+b3+…+b2017==2017．故選B．5.已知=，則++…+=

（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：D略6.已知是虛數單位，則等于A. B. C. D.參考答案：A，選A.7.設向量，，定義一運算：,已知，．點Q在的圖像上運動，且滿足（其中O為坐標原點），則的最大值及最小正周期分別是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.函數的圖象大致是A.

B. C.

D.參考答案：C由題意，，排除A；，，，排除B；增大時，指數函數的增長速度大于冪函數的增長速度，排除D，故選C．9.設是定義在R上的周期為的函數，當x∈[－2，1)時，，則＝（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】函數的值．B1D

解析：∵f（x）是定義在R上的周期為3的函數，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故選：D【思路點撥】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函數解析式即可．10.已知k＜0，則曲線和有相同的(

)A．頂點 B．焦點 C．離心率 D．長軸長參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【專題】計算題；規律型；函數思想；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】求出兩個橢圓的焦距，判斷選項即可．【解答】解：曲線的焦距為：2；k＜0，的焦距為：2=2．焦點坐標都在x軸上，焦點坐標相同．故選：B．【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若隨機變量，且，則=

．參考答案：．∵隨機變量，∴正態曲線關于對稱，∵，∴．12.已知的展開式的各項系數和為243,則展開式中的二項式系數為_______.參考答案：1013.

設定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+3)=-f(1-x)，若f(3)=2，則f(2013)=

.參考答案：14.=__________參考答案：略15.一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖所示）。為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系，在從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，則在（2500，3500元/月）收入段應抽出

人。

參考答案：4016.已知不共線，，當______時，共線.參考答案：17.在中，，，，則的值等于．參考答案：試題分析：根據題意可知，，由，所以，解得.考點：向量的減法，向量的數量積，向量垂直的條件.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.己知函數(Ⅰ)求f(x)的定義域及最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的單調遞減區間．參考答案：（Ⅰ）由得，，，所以的定義域為．

……2分因為

……4分．

……6分所以的最小正周期為．

……8分（Ⅱ）由，

……10分可得，

……11分所以的單調遞減區間為，．………13分19.設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足.(1)若.(2)求d的取值范圍．參考答案：解：(1)由題意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5.所以a6＝－3－5＝－8，所以，解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因為S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.兩邊同乘以8，得16a＋72a1d＋80d2＋8＝0，化簡得(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8.故d的取值范圍為d≤－2或d≥2.20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）．（1）若橢圓的兩個焦點與一個短軸頂點構成邊長為2的正三角形，求橢圓的標準方程；（2）過右焦點（c，0）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，過點F作l的垂線，交直線x=于P點，若的最小值為，試求橢圓C率心率e的取值范圍．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a，b即可．（2）設直線l的方程，A，B，P坐標，|PF|=．聯立，化為：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．|AB|==．=≥．即可求得橢圓C率心率e的取值范圍【解答】解：（1）由已知可得：2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴橢圓的標準方程為=1．（2）設直線l的方程為：x=my+c，A（x1，y1），B（x2，y2）．P（）|PF|=．聯立，化為：（b2m2+a2）y2+2mcb2y﹣b4=0．∴y1+y2=﹣，y1?y2=，∴|AB|==．∴=≥．令，?b2t2﹣2cbt+c2≥0，上式在t≥1時恒成立，∴橢圓C率心率e的取值范圍為（0，1）21.已知函數,其中，相鄰兩對稱軸間的距離不小于

（1）求的取值范圍；

（2）在

的面積.參考答案：（2）由（Ⅰ）可知的最大值為1，，，，而，，，由余弦定理知，，

聯立解得，。

………………12分22.已知函數在[1，+∞）上為增函數．且θ∈（0，π），（1）求θ的值；（2）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）函數是單調函數，求m的取值范圍．參考答案：【考點】函數與方程的綜合運用；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）先對函數g（x）進行求導，根據g′（x）≥0在x≥1時成立可得≥，根據θ∈（0，π）可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．（2）對函數f（x）﹣g（x）進行求導，使其為單調，需m=0時，恒小于0

成立m不等于0時對于h（x）可變為K（x）=mx2﹣2x+m=0的形式求解進而根據對稱軸求得所以使K（1）≥0則成立的條件求得m的范圍．m＜0時，使K（1）≤0，所以m≤﹣1．綜合可得答案．【解答】解：（1）求導得到g′（x）=﹣+≥0在x≥1時成立∴≥∴1≥∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0∴sinθx≥1∴