轅

目錄

1.本單元在近三年來全國高考新課標I卷中考查情況統計分析:

2.本單元命題材料的來源及新穎性分析；

3.本單元試題特點；

4.本單元明年全國高考新課標I卷預測（重點、新題型）；

5.本單元的典型試題類型及解題方法、策略分析。

一.本單元在近三年來全國高考新課標I卷中考直情況統計分析

題考分傕老布樂鑰點唐在修山素舞睢度

2020年21幽12哥數的幾何爸義以房利用當教碉教孽油袋、教學迄第、推

究不篝式位成立的向睡。擊雙根或

2021年7題5導教的幾句爸義中

2021年15題5分密色教、色教貴魚以笈利用導教孽這算中

教碉究必敢的展傕

2021年22巡12利用尋敢碉究備莪的單調傕教孽已算、血妮和.象、雨

修城施理

2022年7題5就對徐莪；tJ就袋.教孽油袋、教學運算推

2022年10題5三漢5敢傳欣教孽迄第、擊觀程寥中

2022年12短5備數傕場：腐.備敢會.我哥南教的教學油容、教學運算、雄

奇儡傕、對物傕、周期傕、5教擊雙勾￡,修殖施理

求傕

2022年15巡5身莪的兒句卷義人觀想象

2022年22題12雄

-本專題歷年高考數學全國卷I考查情況分析

2.考查情況統計分析

從選擇題、填空題來分析導數章節的難度提高，從知識點上來說導數的幾

何意義每年必考，導數與不等式、導數與零點、導數與抽象函數等知識出現的

頻率比較高.

從命題背景看，多以基本初等函數的和、差、積、商或復合后構成的函數

為背景，所以為了考查學生的審題能力和應變能力以及數學抽象等數學素養，

高考題經常在函數式上進行創新，

二、本單元在全國高考新課標I卷中的地位和作用

導數是研究函數的圖象和性質的最有利工具，同時它也是初等數

學和高等數學的重要銜接點，所以是高考考查的熱點和重點.從前面的

分析可以看出，導數及其應用的解答題一般為“壓軸題％具有綜合性

強，難度大，區分度高等特點，彰顯了高考的選拔功能.

送偵巡分析：

?第一類：導數的幾何意義

1、（2021年第7題）若過點（外方）可以作曲線有=心的兩條切線，則（）

A.<aB.<bC.0<a<ebD.0<b<ea

本題主要考查導數的幾何意義以及利用導數的單調性研究函數圖像，充分體現了

數學運算和直觀想象兩大學科核心素養，屬于中檔題目。本題母題來自選擇性必

修二的81頁綜合運用第8題

【解析】

法一：在曲線y="上任取一點尸?,，)，對函數"求導得y=e',

所以，曲線”/在點P處的切線方程為歹--=/(%一),即片/x+(l_)

由題意可知，點(a力)在直線V=eG+(lT)/上,可得

b=ae'+(lT)e'=(a+l7)e'，

令/(%)=(a+lT)e'，則/'(f)=(aT)e’.

當/<a時，/(/)>0,此時函數/⑺單調遞增，

當Z>a時，/(/)<0,此時函數/⑺單調遞減，

所以，〃兒"(?，

a

由題意可知，直線y=6與曲線歹=/(。的圖象有兩個交點，貝必〈/("max9

當/<a+l時，/(/)>0,當/>a+l時，/(/)<0,作出函數/?)的圖象如下圖

所示:

法二：

函數歹=e*是增函數，V=e，＞0恒成立，

函數的圖象如圖，＞0,即取得坐標在x軸上方，

如果（“力）在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點（凡匕）在x軸或下方時，只有一條切線.

如果（凡））在曲線上，只有一條切線；

（〃/）在曲線上側，沒有切線；

由圖象可知（。,6）在圖象的下方，并且在x軸上方時，有兩條切線，可知

故選：D.

2、(2022?新高考I卷T15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a

的取值范圍是.

【分析】此題考查導數的幾何意義，充分體現了數學運算核心素養，屬于中檔題。

【解析】Vy=(x+a)ex,y'=(x+1+a)ex,

設切點為(/,汽)，則K=(%+a)e“，切線斜率上=(x°+1+a)e*。，

切線方程為：+a)e*=(/+l+a)e、。(x-%o),

???切線過原點，???-(%()+a)e殉=(/+l+a)e*。(—/),

整理得：x1+ax0-a=0,

???切線有兩條，:.A=a?+4a>0,解得a<-4或。>0,

?工。的取值范圍是(-力,-4)U(0,+8),

故答案為：4)U(0,+ao)

3.(2022?新高考I卷T12)已知函數"X)及其導函數/'(X)的定義域均為R,記

<3、

g(x)=f\x),若/--2x,g(2+x)均為偶函數,則()

(n

A./(o)=0B.g---oc./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【分析】本題主要考查函數的對稱性，以及原函數與導函數圖像的關系。充分體

現了邏輯推理和只管想象的數學素養。本題屬于難題，來源于選擇性必修一103

頁第3題。

【解析】因為/g(2+x)均為偶函數,

所以g(2+x)=g(2-x),

k27即41■-

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),貝U/(-1)=/(4),故C正確;

3

函數f(x),g(x)的圖象分別關于直線x=-,x=2對稱,

又g(x)=/'(x),且函數/(x)可導,

r3、、，、

所以g—=o,g(3-x)=-g(x),

t2)

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x)，

ciAr3、

所以g--=g-=0，g(-1)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤;

IZ)k27

若函數”x)滿足題設條件，則函數/(X)+C為常數)也滿足題設條件，所以

無法確定/?(、)的函數值，故A錯誤.

故選：BC.

變式：已知函數/(x)及其導函數/'(%)的定義域均為R,記g。)=/'(/),若

/(3-幻,8以-幻均為奇函數，貝！J

4/⑶=0.8g(3)=0C/(3=心。￡(5)=—g(8)

第二莢：利用導教竭究加故的單調傳

4.(2020年12題)信息燧是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能

的取值為1,2,...,n,且P(X=i)=p?>0(i=1,2,...,n),￡p『=l,定義X的

1=1

信息嫡”(X)=-￡pJog2p『?()

1=1

A.若”1,則H(X)=0

B.若"=2,則H(X)隨著0的增大而增大

C.若p,」(z=l,2,n),則H(X)隨著〃的增大而增大

n

D.若〃=2加，隨機變量丫所有可能的取值為1,2,加，且

P(y=))=Pj+R2m+irU=l，2，…，加)，則H(X)WHG)

【分析】本題主要考查對數運算和利用導數判斷函數的單調性，充分體現了數學

抽象、數學運算的數學核心素養，屬于中檔題。

【解析】：/.若〃=1,貝!16=1,故77(x)=-pilog2P1=-1xlog21=0,故/正確;

B.若〃=2,貝！]Pi+P2=1，

lo

〃(切=一(Pllog2Pl+Pllog?P2)=-\P\g2Pl+(1-Pl)log2(l-Pl)]

l

設〃p)=-IP°g2p+。-p)iog2。-P)]，。<p<1，

貝Uf'(P)=~1log2p+J-------log2(\-p)+(1-p)?-——]=-log2，

ln2?p(1-p)lnl1-P

令1(p)<o，解得L<P<1,此時函數/(p)單調遞減，

令1(p)>o，解得0<P<；，此時函數/(P)單調遞增，故8錯誤；

c.若P,=L(i=1,2,…，〃)，貝!J"(x)=-〃?L/og2L=，0g2〃，

nnn

由對數函數的單調性可知，H(x)隨著〃的增大而增大，故C正確；

D.依題意知，P(y=l)=Pi+P2m，P"=2)=02+02*1，

尸(？=3)=。3+P2*2，…，尸(Y=m)=Rm+Pm+1，

+10

"(F)=-[(Pl+P2m)l°g2(Pl+P2m)+5r2m-1)g2(P2+PzmQ

+…+(Pm+Pm+l)10g2(Pm+Pm+1)]，

lolo

又"(X)=-(P1log2Pl+02log2P2+…+Pmg2Pm+…+P2mg2Pim)?

H(Y)-"(X)=p.log1—拉——+p2log1--------------+...+Pz/ogz―勺—

Pl+PimPl+Plm-XPl+Pim

又------<1,---------------<1,...,———<1,

Pl+Pin.Pl+P2m-1P\+P2M

H(Y)-H(X)<0,>H(Y),故。錯誤.故選：AC

5.(2022年第7題)設a=0.1e°i,b=-,c=-ln0.9,則()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【分析】：本題主要考查指數不等式、對數不等式和利用導數判斷函數的單調性,

充分體現了數學抽象、數學運算的數學核心素養。屬于難題。來源于課本必修一

133頁例3.

【解析】：三個實數分別以指數式、分數、對數式形式出現，其中［為分數形式

9

最為簡單。在注意到敏感數字0.1,故將三個數用0.1來表示得：

b=-=—!—=-0'1-,C=-In0.9=-ln(l-0.1).

910-11-0.1

法一：構造函數/(%)=xe*,g(x)=」一,〃(x)=-ln(l-x)兩兩作差，通過函數的單

1—X

調性，來比較三個數的大小。

法二：由不等式1之工+1(%<0)得a=0.1e°」=卑<旦一=1=方，即a<b.

e-011-0.19

接下來比較a與c的大小。構造函數

m(x)=/(x)-//(x)=xex+ln(1-x),xe(0,0.1),

由不等式e1>x+1(0<x<0.1),得

m(x)=xe，+ln(l—x)>x(x+1)+ln(x+1)

，,、0,1x(l-2x)八

m(x)>2x+1----------=------------------->0,

1-x1-x

m(x)在(0,0.1)上單調遞增，所以m(0.1)>m(0)

即a-c>0,得a>c.

綜上，b>a>c.

變式：設a=2比1.01,b=ln\.Q2,c=VL04-1,貝!f()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【解析】:va=2/M1,01=/wl.0201,b=lnl.02,:.a>bf

令f(x)-2/〃Q+x)-(Jl+4x-1),0<x<1,

令Jl+4x=t,貝［|1<f<指x=--—,

*+3

g(Z)=2ln(---)一/+1=2ln(t2+3)-t+1-21n4,

4

??.gv)=&-1=*工3=_a：}”>0,.g(/)在(i,⑹上單調遞增，

g(t)>g(1)=2加4-1+2加4=0，/(x)>0,:.a>cf

同理令h(x)=Zw(l+2x)-(Jl+4x-1),

再令Jl+4x=t,貝！11cze不x=--—,

尸+1、

/.(p(t)=Zw(----)-/+1=Zw(/2+1)-/+1-ln2,

夕'(Z)=￡-1=二(㈢:<0,(pQ)在(1,5上單調遞減，

/+1t+1

/.(p(t}<(p(1)=ln2-1+1-ln2=0,h(x)<0,:.c>b,a>c>b.故選：B.

第三至：利用當教的究備教的展色

6.(2021年第15題).函數/(x)=|2x-1|-2/加的最小值為—

【分析】本題主要考查分段函數的定義，函數的最值以及利用導數研

究函數的最值，充分體現了數學運算素養。此題屬于中檔題。

【解析】：函數f(x)=\2x-l\-2lnx的定義域為(0,+功.

當0cx時，f(x)2x-11-2lnx--2x+1-2lnx,

此時函數/(x)在(0,自上為減函數，

所以/(x)kg)=—2X；+1—2加;=2勿2；

當x>；時，/(x)=|2A:-11-2lnx=2x-1—2lnx,

貝！I八x)=2—2=生出，

XX

當xwg,1)時，r(X)<0,/(x)單調遞減，

當xe(L+oo)時，f'(x)>0,/(x)單調遞增，

.?.當x=l時/(刈取得最小值為/(1)=2x1-1-2歷11.

2ln2=歷4>Ine=1,

函數f(x)=\2x-]\-2lnx的最小值為1.

故答案為：1.

第四米：利用尋教弱究三唬徐敢的傳屈

7.(2022年第10題)已知函數/(x)=d—x+1,則()

A./㈤有兩個極值點B,/㈤有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線、=/(%)的切線

【分析】本次主要考查導數的幾何意義、函數零點，函

數極值點的定義以及三次函數的對稱性。充分體現了數

學運算素養，屬于中檔題。

【解析】由題，/'（x）=3x2-1,令/，（x）>0得x>乎或x<-乎，

令廣（x）<0得-邁<x<邁，

33

所以/（X）在（_卓，乎）上單調遞減，在（_00,_乎），（乎，+8）上單調遞增，

所以x=士五是極值點，故A正確；

3

因/（一§=1+0,/（乎）=I_0,/（-2）=-5<0,

所以，函數/0）在-8,一興）上有一個零點，

當x2李時，/@）2/［乎）>0,即函數/（x）在（乎，+8上無零點，

綜一上所述，函數了⑺有一個零點，故B錯誤；

令方（x）=l_x,該函數的定義域為R,A（-X）=（-X）3-（-x）=-x1+x=-/i（x）,

則A（x）是奇函數，（0,0）是〃（x）的對稱中心，

將人（x）的圖象向一匕移動一個單位得到“工）的圖象，

所以點（0,1）是曲線y=/（X）的對稱中心，故C正確；

令尸（x）=3x2_1=2,可得》=±1,又/Q）=/（-i）=i,

當切點為（1/）時，切線方程為V=2x-1,當切點為（-1,1）時，切線方程為P=2x+3

故D錯誤.

故選：AC

2020年高考數學一卷21題

(12分)已知函數/(1)=a/-I-Inx+In<7

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)N1,求a的取值范圍.

2021年新高考1卷：《

22.已知函數/(x)=Wl一碗)；

(1)討論/(“)的單調性；白!

2<-+-<e

(2)設明方為兩個不相等的正數，且bbia-alnb=a-b,證明：ab.<；

(2022年22題)已知函數/(x)=D--和g(x)=?-lux有相同的最小值.8

⑴求a；Q

(2)證明：存在直線了=如其與兩條曲線P=/(K)和y=g(x)共有三個不同的交

點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.小

縱觀新高考1卷導數解答題近三年的考查，2020年出現在第21題，考查

切線、不等式慎成立求參數范圍；2021年作為最后一題22題，考查函數的單

調性，極值點偏移等；2022年作為最后一題壓軸出現，考查函數的單調性，最

值，零點，圖像交點個數等,通觀三年的導數解答考查，考查內容都是平時所授

內容，但是里面蘊藏著構造、轉化、數學結合、分類討論等思想，難度較大，

體現了數學運算、邏輯推理、數學抽象、數學建模、數據分析等核心素養.e

2020年高考數學一卷21題

(12分)己知函數/(x)=a-Inx+In。

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)21,求a的取值范圍.

方法一：利用兩個課本中的不等式解答高考試題，通過例題，學習的重點是利用這兩個不等式進

行放縮，去解決證明求參問題。利用解答這類不等式的經驗和技巧，下面的解答思路水到渠成！

解：因為a>0,,33x,所以a,'"-Inx+lna之axTnx+lna,所以若f(x)21,則有ax之Inx-lna+1,設

J_=乂〃=1

y=lnxTna+l的過原點的切線的切點為(丫，y),則有《vy解得|丫0=1所以要使f(x)

?/vuJQ人0人0?vu

=1

乂=比居一出〃+1[yQ

21成立的a的取值范圍是[1,+s).

方法二：利用公切線確定參數范圍。掌握了該種題型的解答策略，本題可以使用公切線法確定參

數范圍！

解：f(x)21Oae'-i-lNln耳二]照,令m(x)=ae'T+]Ra，n(x)=]nx+l,根據兩函數的凹凸性,當兩個函數

--[i

有公切點時，設切點為(X。，％)，則有，Xo解得《]。二=所以要使f(x)21成立的a

屋x『+lni=lnxo+1C

的取值范圍是[1,+00).

方法三：反函數問題，對課本中比較邊角的知識點反函數性質的應用列舉了比較深刻的三個例題，

如果使用該題型模式解答本題，就更漂亮了：

解：f(x)2]Oae'_i21nx-lna+l,因為y=ag'"與丫=]券-1。@+1互為反函數,故此二函數圖像關于y=x

對稱；要使a。'"21nxTna+l,只需a/Tex,因為a>0,所以aei^xoei2工，確定過(°，°)的

y=—為i切線時的a=l,所以a21

a

方法四：在《高考數學核心題型與解題技巧》一書中，有題型總結：利用同構秒殺高考試題魅力

無限，闡述了同構的解題思路，有函數題，有導數題，有解析幾何題，是比較系統的一個專題，利

用同構思想獲得該題的秒解：

解：將f(x)21按照左右結構相同、變量移至一邊的原則進行變形：

由/(工)=。e'l一Inx+hia21移項得：api+lna21nx+1即「“"'T+lnaNhix+1

兩邊同時加x-1,得*-1+x+lnaT21nx+x,即(x+lna-1)Zlnx+J1'.

V>MVVVVV\</VVZVV<^AA/

設g(x)=x+￡,則e(x)=l+e、>0,所以g(x)單調遞增，所以lna+x-121nx，即xTnx+lnaT20

設h(x)=^m域+lna-l,則力(x)=l-1,所以h(x)在(0,1)單調遞減，在(1,+oo)單調遞增，

所以"(X)=h(l)=lnaT20,所以a21

\'min

本題來源于教材導數的幾何意義、利用導數研究函數的最值、函數的大小比較問題。考察了學

生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算的核心素養，對學生數學能力的考查很高，需要學

生對函數、導數部分的內容融會貫通。

該四種解法都體現了方法上的優勢，導數解答題的解決，思路不同，方法難易迥異，解答此題,

我們務必揣測出題者的意圖，找準意圖，選對方法，問題迎刃而解。

2021年新高考1卷：小

22.已知函數0

(1)討論/(“)的單調性；《

2C<—1?—1ve

(2)設，，6為兩個不相等的正數，且bbia-agb=a-b,證明：ab

命題立意：本小題以不等式證明為載體.考查利用導數研究函數的極值、最值、

不等式等基礎知識和函數同構與極值點偏移。雖然題型較老，但老中見新，給人以

新的啟迪。本題考查邏輯推理能力、直觀想象能力、運算求解能力、創新能力等，

考察函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想、分類與整合思想等；考查

邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養，體現綜合性與創新性，

【思路分析】(1)首先求得導函數的解析式，然后結合導函數的符號即可確定函數的單調性；G

(2)利用引〃4-。/〃6二。-6同構關系，將--通過將換元，將原問題轉化為極值點偏移的問題,

構造對稱差函數分別證明左右兩側的不等式即可.《

【解析】⑴欣)的定義域為(0,+8).

由/(x)=x(\—Ina;)得,/'(c)=—In%.

函數/(.V)來自于2019年人教A

當i=1時，/'3)=0；當16(0,1)時/'(%)>0;

版選擇性必修二第81頁第4題

當(1,+8)時，/3)V0.

故/(G在區間(0,1］內為增函數,在區間［1,+8)內為減函數.

(2)證法1

由b\na—aln6=a—b

得~~(1—=](l-In】)，

7

Q\ab'b，

即/?)=/")?

由QWb,得工W4--

ab

由⑴不妨設--6(0,1),€(l,4-oo),

則，吟)>。，從而小佶)>。，得十W(l'e)?

令g3)=f(2-x)-f(x),

則g'3)=一/'(2-x)-f(x)

=ln(2—x)+Inx=ln(2x-x~)=ln[l—(x—I)2].

當出W(0,1)時，g'(x)<0,g(x)在區間(0,1)內為減函數,

g3)>g(i)=。，

構造齊次差函數,典型

從而f(2—x)>f(x),的極值點偏移問題~

所以『(2-!)>/?)=/?)，

由(1)得2—

即2<小+看

令九3)=x+f(x),

則h!(x)=1+/'(c)=1—Inx,

當1￡(l,e)時Jir(x)>O,/t(x)在區間(l,e)內為增函數,

h(x)<Zi(e)=e,

從而x+/(i)<e,

-+A-)

所以1+/(1)Ve*通過構造熟悉函數h(x)飛tf(x),得到中間量bb,利用

-,/(-),/(-)大小比較和等量代換得出結論，

aab

1,、

又由—W(0,1),

可得!〈融―吟)=/?)=/("

…所以！++<4)+?e.

圻Iz'29—4-—O

證法2：&

再證m4-n<e.

因為m(l—Inm)=n(l—Inn)>7n,

所以n(l—Inn)-+-n<e=>m-l-n<e.

先放縮，利用/(，〃)=/(〃)對求證

令h(x)=x(l—lux)+xxE(l,e).

y進行變形，構造新函數得證〃

所以所(①)=1—Inx>0,故h(x)在區間(l,e)內單調遞增.

所以h(x)</t(e)=e,故h(n)<e,即m+nVe.

綜合可知2V5+/Ve.

證法3

證明工+1>2,同證法2.

ab

以下證明;E]+x-2<e.

不妨設x2=txi，則2=&>1,記g(s)=+s),s€(0,4-co),

Xi

s

由21(1—1113；!)=工2(1—Ing),

z、-ln(l4-s)

tint則g'?)二手，

得1)(1—liiX1)=txi[l-ln(ta；i)],liix=

1t-1,

記h(s)=不*-ln(l+s),

要證4-x2<e,

則加⑸二島廠擊vs

只需證(1+t)rci<e,

兩邊取對數得hi(l+t)+lnx)<1,所以，h(s)在區間(0,+oo)內單調遞減.

即ln(l+t)+l-智h(s)<h(0)=0,則g'(s)<0,

t—1

即證嗎旦<巖.所以g(s)在區間(0,+8)內單調遞減.

tt-1

，由(1,+8)得，-1W(0,+8),

統一變量*所以g(t)Vg(t-1),即ln(\+A)<嚴p.

tc—1

證法4(利用切線不等崗)

—./(x)作點(0?0)處的切線方程為

/i(x)=r-x.

令夕(E)=/{?)-A(x)=2x-xlai-r.xe(0,e),

則0=1-hu>0.

所以M”)作(O.C上隼謝遞增.

所以奴x)<Se>=m

所以*￡《o#時JU)<A(x).

不妨設“x,)=/!%)=，?

則f=Ax?)=，-3

所以，+..：<,

Xf=.?X1)=X|(I-I呷)?.T1?(0J),

所以,=S(I-InX])>xr

即xt+Xj<r>x,<e.

【歸納總結】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，利用導數研究極值點偏移問題，等價轉化的

學思想，同構的數學思想等知識，屬于中等題.《

(2022年22題)已知函數/(x)=e'-?v和g(x)="-Ex有相同的最小值.d

⑴求JJ

(2)證明：存在直線P=b,其與兩條曲線."=/(')和1=8(工)共有三個不同的交

點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.~IMH

本題第一問考查利用導數研究函數的單調性，求函數最值，通過構造函數,

研究函數的單調性，從而得到參數值.d

對于比較難的題目可以采用拆分的方式進行分步得分，分別求解函數

f(x)=ex-ax,g(*)=ax-lnx的最小值，而函數/(x)與函數g(x)就是來自于

2019年人教A版選擇性必修二第95頁例7?

給定函數/(x)=(x+l)e'.Q

(1)判斷函數〃工)的單調性，并求出函數/(x)的極值；8

(2)畫出函數的大致圖像；e

(3)求出方程f(x)=a(aeR)的解的個數.H

通過該題需要聯想到導數中常見的八大函數的單調性，八大函數分別為:

x

f(x)=x±ey;/(x)=x±lnx;f(x)=xex;/(x)=xliix;f(x)=^;/(x)=-^-;/(x)=—;

eliixx

人工）=也.如果在教學中明確要求學生掌握這八個函數及其變式的單調性等知

X

識，該題的第一問會比較輕松的得到解答

利用已有知識，可以大體判斷出第一問。的值

下面對于第一間拆解成三問求解,使得問題比較輕松地解答.分別求解函數/(.V)

與函數g(x)的最小值，然后再求兩個函數的最小值相等時，求得參數值.G

【拆解1】求函數/(X)二6的最小值.

【解析】/(x)=e'-方的定義域為K,而解析)=3-4,1

若4W0,則/。)>0,所以函數f(x)單增,此時/&)無最小值,1

當〃〉0時，當xvln〃時，/(.V)<0,故小)在(-8,山。)上為減函數,

當x>ln。時，/(x)>0,故f(x)在(ln?+8)上為增函數，j

故/(x)皿=/(山

【拆解2】求函數g(x)二公-lux的最小值

【解析】g(x)二仆-lnx的定義域為(0,+8),而g(x)=〃-'二竺匚.

XX

若h0,則g(x)＜0,所以函數g(x)單減，此時g(x)無最小值,?

1(

當〃〉0時，當0＜工＜一時，g'(x)＜0,故g(x)在0,-上為減函數，＜-

a\a)

1(1)

當X>—時，g'(x)>0,故g(x)在一,+8上為增函數，Q

aJ

1y

故故X)nin

=g3-

【拆解3]已知函數/(x)二，-仁和g(x)二行-lux有相同的最小值，求盤

分析：已知兩個函數的最小值相等，轉化為一個關于參數。的方程，然后構造

函數，通過其單調性，得到〃的值____________

【解析】由拆解1、2知，當〃>0時，函數/⑶與g(x)才有最小值-I警

若/(x)=e'-公和g?)二公TnK有相同的最小值，e

1「-l

故1一111一二。一aln〃，整理得到-a--二lna,其中a>0,G

a1+。

a—]t/\21-—ci"-1€

設g(。)=:ITna,a>0,則g(。)二;■)--^一匚二^---

1+4(1+a)°a(l+a)

故g(a)為(0，+°°)上的減函數，而g⑴=0,G三

故g(a)=0的唯一解為。=1,故L*=Ina的解為a=1?

1+a

綜上，<?=1.<-*

對于第二問跟例7的第(3)問相似，雖然拿滿分難，但是拿到合適的分數還是

比較輕松的，根據第(1)可得當時，直線P=b與兩條曲線y=/(x)和

才可能有三個不同的交點，從而也就解決了存在性問題，然后再去證明

三個不同的交點滿足等差數列.。

此時再拆分成四回金別去求解，使得題目順利拿到分數,?

注意對參數的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩

類根之間的關系,*

【拆解4］已知函數/&)=，—工，證明：若b>l,直線y二辦與曲線.y=/(”)有

兩個不同的交點.e

【解析】由(1)可得升I=e'-X的最下值為1.二

當力(1時，直線y=b與曲線y=/(x)最多有一個不同的交點，：二

當Z>>1時，考慮e'-x二，的解的個數而s(—?=J>0,S(b)=eb-2b,0

設S(x)=e'_.丫—辦，S'(.r)=e—1,G設〃(?二犬一2辦，其中6>1,則〃'傳)=e'—2>0,《

當x<0時，S'(x)<0,當x〉0時，S，(x)>0,3故〃9)在(L+S)上為增函數，故〃0)>"l)=e—2>()，

故S(x)在(-s,0)上為減函數，在(0,+8)上為增函數，故S僅)>0,故S(x)=ex-xd有兩個不同的零點,G

即e'-x=5的解的個數為2.&

所以S(x)1ml=S(0)=l-Z>v0,y

【拆解5］已知函數g(x)=x-lux,證明：若方>1,直線."二，與曲y=g(x)共

有兩個不同的交點.1

【解析】由(1)可得鼠x)=xTnx的最小值為==

當方41時，直線y=辦與曲線y=g(x)最多有兩個不同的交點~

當方>1時，考慮x—In%二人的解的個數

設T(x)=x-lnx-6，F(x)=-~,小

X

當0cx<1時，r(x)<o,當x>i時，r(x)>o,d

故7(幼在(0,1)上為減函數,在(L+8)上為增函數，H

所以7(%)皿=T⑴T—辦〈°，“

而T(e-。=e”>0,r(eb)=eb-2b>0,d

T(x)=x—In.Z)有兩個不同的零點即x-ln/Z)的解的個數為2”

【拆解6］已知函數/(x)="—x和g(x)='-hi%,證明：若〃>1,直線V二方

其與兩條曲線y=fM和y=g(.v)共有三個不同的交點.1

【解析】由前面分析可知，若存在直線y=D與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個

不同的交點，則，>1.1

設萬(x)=e'+lux-2x,其中x>0,故方'(x)=e'+9-2,~

X

設s(x)=e'-x-l,x>0,則s'(x)=e'-1>0,~

故s(x)在(0,+oo)上為增函數,故s(x)>s(O)=O即/>x+l,音

所以〃(x)>x+L-l32-1>0,所以。(x)在(0,+8)上為增函數，1

X

iflj砥1)—G-2>0,=e?7—3—y<e—