第三章材料非線性

有限元分析1非線性彈性問(wèn)題的有限單元法2彈塑性問(wèn)題的有限單元法2000.41哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作1非線性彈性問(wèn)題的有限單元法

前提：材料處于彈性狀態(tài)，但是應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是非線性的。位移和應(yīng)變是微小的。因此象線性問(wèn)題一樣，設(shè)位移和應(yīng)變分別為則全量形式的應(yīng)力為增量形式的應(yīng)力為2000.42哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作同線性問(wèn)題分析一樣，可得單元?jiǎng)偠确匠虨檫M(jìn)行先處理（定位向量）集成，可得與線性問(wèn)題不同，上式是非線性的方程組，因此要用第一章介紹的方法來(lái)求解。1）切線剛度法——牛頓法集成非線性方程用牛頓法求解時(shí)，切線剛度矩陣為(這里認(rèn)為)2000.43哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作經(jīng)整體集成后，可得整體切線剛度矩陣，由此可建立（自修正的）牛頓法迭代公式為式中Rn是應(yīng)力σn引起的結(jié)點(diǎn)力，因此其中σn為第n步位移對(duì)應(yīng)的非線性單元應(yīng)力。講義上列出切線剛度法分析的計(jì)算步驟，這里不再贅述。(P.22)因?yàn)镽-Rn物理含義是不平衡力，所以牛頓法也可理解為按不平衡力修正位移，使不平衡力足夠小。表示集成2000.44哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作

5)由式（3．6）進(jìn)行迭代，直到滿足精度要求。從此可得切線剛度法的計(jì)算步驟為：1）設(shè)=，求線彈性解；2）由求各單元的應(yīng)變、應(yīng)力；3）從計(jì)算單元切線剛度矩陣并集裝；4）計(jì)算并集裝；2000.45哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作2）應(yīng)力轉(zhuǎn)移、初應(yīng)力法——修正牛頓法為避免每次迭代形成切線矩陣并求解，以初始切線矩陣（即線彈性的剛度矩陣）迭代，則這相當(dāng)于按彈性剛度分配不平衡力。迭代的過(guò)程就是不斷調(diào)整個(gè)單元的應(yīng)力，使剛度弱的單元不能承受的應(yīng)力逐漸轉(zhuǎn)移到剛度大的單元或邊界上，因此也稱為“應(yīng)力轉(zhuǎn)移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因?yàn)槌跏记芯€剛度矩陣，故表示集成2000.46哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作式中是第n步非線性位移對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)力。由此從修正牛頓法迭代公式可得因?yàn)榉蔷€性應(yīng)力所以若將視作“初應(yīng)力”，并記則表示集成它是不斷修改初應(yīng)力，使趨于一常量（彈性應(yīng)力和真實(shí)應(yīng)力之差）。因此也稱初應(yīng)力法。2000.47哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作4）由(3．8)求，反復(fù)迭代，直到足夠小。從講義式（3．8）可得初應(yīng)力法的計(jì)算步驟為：1）

由集裝初始切線剛度矩陣；2）由求線彈性的解；3）

由計(jì)算各單元的，并集裝；2000.48哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作又設(shè)第n步單元非線性應(yīng)力對(duì)應(yīng)的彈性應(yīng)變?yōu)閯t非線性的應(yīng)變可表為殘余(初)應(yīng)變式中也可視作“初應(yīng)變”，由上式可得因此單元?jiǎng)偠确匠虨橛行﹩?wèn)題的本構(gòu)關(guān)系是用應(yīng)力表示應(yīng)變,即3）初應(yīng)變法——修正牛頓法2000.49哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作也即初應(yīng)變可作為等效結(jié)點(diǎn)荷載考慮由此，象初應(yīng)力法一樣，可得迭代公式為因?yàn)樗遣粩嘈薷某鯌?yīng)變，使趨于一常量（總應(yīng)變和彈性應(yīng)變之差）。因此也稱初應(yīng)變法。其求解步驟如下頁(yè)所示。表示集成為了更好地掌握上述知識(shí)，講義上舉了一個(gè)簡(jiǎn)單例子，用以說(shuō)明切線剛度法和初應(yīng)力法。2000.410哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作初應(yīng)變法的計(jì)算步驟為：1）由集裝初始切線矩陣；2）由求線彈性的解；3）計(jì)算單元線彈性應(yīng)變和單元初應(yīng)變；4）

由集裝;5）由（3．8）求;迭代直到很小。2000.411哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作為了更好地理解，這一例子各種方法的示意圖如下所示。2000.412哈爾濱建筑大學(xué)王煥定教授制作20沾00嘆.413哈爾拌濱建熊筑大隊(duì)學(xué)著王拿煥定詞教授霜制作20攪00乒.414哈爾姻濱建昆筑大蠶學(xué)堤王燭煥定嘗教授悠制作20園00斷.415哈爾窮濱建營(yíng)筑大步學(xué)晝王治煥定裙教授壯制作20激00筐.416哈爾稻濱建丑筑大耕學(xué)滅王塔煥定訪教授迎制作2恥彈塑軋性問(wèn)稱題的刃有限彈單元譯法材料毒應(yīng)力鋒應(yīng)變除非線惰性、各巖土嫂工程鞠的開(kāi)賭挖和散施工醉過(guò)程痕等對(duì)南結(jié)果襲有重鞠大影露響的舌問(wèn)題壯，都亭必須蹦用增邊量法閃來(lái)求蕉解。在增爺量荷徑載ΔRm作用疑下，扁位移餡、應(yīng)親力、諸應(yīng)變揚(yáng)和內(nèi)葡變量貼等的環(huán)增量搏分別岔為下一跳步迭被代時(shí)誼的荷敞載水逮平為設(shè)m迭代似步的啟結(jié)果拔已知嗽，位批移、備應(yīng)力余、應(yīng)伯變和母內(nèi)變暫量等倚分別疼記作20伴00吉.417哈爾秧濱建同筑大勢(shì)學(xué)鵲王隨煥定備教授巨制作由于型所討質(zhì)論的主是小救變形褲問(wèn)題嗓，因性此或?qū)椌咚苄宰鎲?wèn)題簽，本哈構(gòu)關(guān)悄系為也即單元增量應(yīng)變?yōu)椤Ｏ髲椥詥?wèn)題一樣，第m+1步單元?jiǎng)偠确匠虨閺椥糟^矩陣塑性碼矩陣彈塑歲性矩石陣精確特解時(shí)20船00同.418哈爾獸濱建寫(xiě)筑大兄學(xué)棕王捉煥定民教授接制作因此搞應(yīng)力吧增量奴為由于利在ΔRm作用拿前后蓮，單芬元高渾斯積威分點(diǎn)租的應(yīng)新力狀航態(tài)可浪能是籮彈性貨，也價(jià)可能被是塑急性。床因此兔首先自得解艷決狀獅態(tài)判綢別問(wèn)挖題。基于經(jīng)此，忙由單反元集疊成可徐得整千體非盡線性妥方程旦為在第桐二章革已討拐論了遭應(yīng)變碧空間株的加堂、卸揪載的西規(guī)則氧，它曉們是20數(shù)00申.419哈爾面濱建助筑大設(shè)學(xué)列王宗煥定臭教授援制作為進(jìn)砌一步寶討論妻狀態(tài)圈判別申，設(shè)騾在荷排載Rm作用義下應(yīng)搭力和納內(nèi)變引量對(duì)傻應(yīng)一夠彈性停狀態(tài)本，也靜即其幾張何解矩釋為媽：彈性蘋(píng)應(yīng)力勒增量指向紫屈服詞面內(nèi)躲側(cè)或認(rèn)相切霞時(shí)，袍反應(yīng)刃是彈炭性的描。否莊則是始塑性晌加載彼，反轎應(yīng)是肅彈塑蓮性的累。增加支荷載ΔRm后，甩轉(zhuǎn)入妄塑性團(tuán)狀態(tài)壘，即彈性夏應(yīng)力彈性鎖應(yīng)力20珠00濱.420哈爾噸濱建河筑大投學(xué)斥王獵煥定莫教授嬌制作也可滋由下更式線珍性內(nèi)堪插確父定因此慣可用范下式韻確定而中性慨變載關(guān)點(diǎn)處寒彈、避塑性甜部分挽的比郵例因揀子r基于頓此，桐加荷級(jí)載ΔRm后，全應(yīng)力賠增量肝為彈性驅(qū)應(yīng)力轉(zhuǎn)圖20董00腐.421哈爾友濱建拒筑大債學(xué)朋王老煥定鏈教授多制作當(dāng)ΔRm足夠監(jiān)小時(shí)順(Δεm足夠北小)協(xié)，上站式可氏寫(xiě)為跳轉(zhuǎn)式中Dp是按計(jì)算的塑性矩陣。當(dāng)r=1銜時(shí)，邁反應(yīng)責(zé)是純加彈性夸的，掏可以抖是彈餃性到告彈性協(xié)、塑僑性卸較載到云彈性雖或中屆性變植載。當(dāng)r=0浙時(shí)，老應(yīng)力季應(yīng)變層是塑顛性的茅，是陵彈性滑到塑笑性的舌加載毛。0她<r<1焦時(shí)，判應(yīng)力愚應(yīng)變稈是彈鄙塑性拉的。轉(zhuǎn)圖講義夏上給呼出了結(jié)由應(yīng)限變求寒應(yīng)力接的計(jì)虹算步蹈驟，隱可供赴編程迅時(shí)參繁考。總(P稼.3腫1)彈性超應(yīng)力20牽00者.422哈爾距濱建鞭筑大畝學(xué)詢王燭煥定癥教授悲制作彈性彈性塑性fmfm+1彈性轉(zhuǎn)18有狀?yuàn)A態(tài)改謎變無(wú)狀錢(qián)態(tài)改溉變彈性塑性由中滋性狀散態(tài)改鳥(niǎo)變到考塑性20憂00收.423哈爾配濱建賣(mài)筑大端學(xué)插王船煥定頑教授比制作解決瀉了由算應(yīng)變這求應(yīng)擦力的液計(jì)算趁，下吊面再襪解決橡彈塑骨性問(wèn)抹題非鐵線性賤方程路組求胞解問(wèn)鳳題。將其爭(zhēng)代入磚單元泳剛度拔方程恒，可脆得首先，以下的彈塑性矩陣代替增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中的，也即有“線性關(guān)系”進(jìn)行整體集成，可得（認(rèn)為）集成20寫(xiě)00毯.424哈爾的濱建遮筑大盲學(xué)緊王應(yīng)煥定訪教授膜制作由此容，