開始學點一學點二學點三2.用已知函數模型解決實際問題的基本步驟：第一步，

，；第二步，根據所給模型，列出函數關系式；第三步，

；第四步，再將所得結論轉譯成具體問題的解答.1.我們目前已學習了以下幾種函數：一次函數

，二次函數

，指數函數

，對數函數

，冪函數

.（試在橫線上依次填出其解析式.）y=kx+b（k≠0）y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax(a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1)y=xα(α為常數)審清題意設立變量利用函數關系求解返回3.在處理曲線擬合與預測的問題時，通常需要以下幾個步驟：（1）能夠根據原始數據、表格、繪出散點圖；（2）通過考查散點圖，畫出“最貼近”的曲線，即

;（3）根據所學函數知識，求出擬合曲線的

;（4）利用函數關系，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據.擬合曲線函數解析式返回學點一函數圖象的應用向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數關系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是（

）【分析】由函數圖象可知函數的性質，如單調性等.考查圖象常用特殊點驗證.

B返回【解析】解法一：由圖知注水量V隨著高度的增加，增加的越來越慢，∴瓶子應越來越細.故應選B.解法二：（中點判斷法）取h=，如圖所示三點A，B，C，顯VB>VC=，即水高度達到瓶子一半時，水的體積超過瓶子的一半，顯然應下粗上細.故應選B.【評析】抓住函數圖象的變化趨勢，定性地研究兩個變量之間的關系，是近年來常見應用題的一種題型，其出發點是函數的圖象，處理問題的基本方法就是數形結合.返回一天，亮亮發燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜亮亮才感覺身上不那么發燙了.圖中能基本上反映出亮亮這一天（0時~24時）體溫的變化情況的是（）（設T=f(x)，顯然在t∈［0,6］,［6,12］,［12,18］,［18,24］時，f(t)依次為增、減、增、減函數.故應選C.）C返回某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與服藥后的時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線，其中OA是線段，曲線ABC是函數y=k·at(t≥1,a>0，且k,a是常數)的圖象.（1）寫出服藥后y關于t的函數關系式；返回學點二已知函數模型解實際問題（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2微克時治療疾病有效.假若某病人第一次服藥為早上6：00，為了保持療效，第二次服藥最遲應該在當天幾點鐘？（3）若按（2）中的最遲時間第二次服藥，則服藥后再過3小時，該病人每毫升血液中含藥量為多少微克？（精確到0.1微克）返回【分析】待定系數法求函數解析式是一種求函數解析式的基本題型.（1）當0≤t<1時，y=8t,當t≥1時，把A，B的坐標分別代入y=k·at,得ka=8a=22ka7=1.k=82.因此，y與t的函數關系式為8t,0≤t<1,t≥1.【解析】（2）設第一次服藥后最遲過t小時服第二次藥，依題意得t≥1,=2,解得t=5,因此，第二次服藥最遲應在第一次服藥5小時后，即上午11時服藥.（3）第二次服藥后3小時，每毫升血液中含第一次所服的藥的藥量為y1==微克，含第二次所服的藥的藥量為y2==4微克，y1+y2=+4=4.7微克.答：該病人每毫升血液中含藥約為4.7微克.返回【評析】這類題目主要有兩類：一是已知函數解析式形式，只需求待定系數，較容易；二是根據題目所給條件，能夠列出兩個變量x,y之間的關系式，從而得出函數解析式，這類題目的關鍵是審清題意，弄清常量、變量等諸元素之間的關系，在前幾年的高考題目中，占有較大比例.返回物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規律來描述，設物體的初始溫度是T0，經過一定時間t后的溫度是T，則T-Ta=(T0-Ta)×.其中Ta表示環境溫度，h稱為半衰期，現有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到35℃時，需要多長時間？返回設半衰期為h，由題意知40-24=(88-24)×,即,解之得h=10,故原式可化簡為T-24=(88-24)×,當T=35時，代入上式，得35-24=（88-24）×,即=,兩邊取對數，用計算器求得t≈25.因此，約需要25min可降溫到35℃.返回學點三擬合函數某工廠今年1月、2月、3月生產某種產品的數量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了估計以后每個月的產量，以這三個月的產品數量為依據，用一個函數模擬該產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數可以選用二次函數或函數y=a·bx+c(其中a,b,c為常數).已知4月份該產品的產量為1.37萬件，問：用以上哪個函數作為模擬函數較好，并說明理由.【分析】此題想判斷哪個函數最好，可以先通過前三個月給出的條件，確定兩種模擬函數中參數的值，再由4月份的產量，比較哪個函數值更接近1.37萬.返回【解析】設y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0)，則

f(1)=p+q+r=1f(2)=4p+2q+r=1.2f(3)=9p+3q+r=1.3,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3,

再設y2=g(x)=abx+c(a≠0,b>0,b≠1)，則

g(1)=ab+c=1g(2)=ab2+c=1.2g(3)=ab3+c=1.3.解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35.經比較可知用y=-0.8×(0.5)x+1.4作為模擬函數較好.返回【評析】問題中給出函數關系式,且關系式中帶有需確定的參數,這些參數需要根據問題的內容或性質來確定,然后再通過運用函數使問題本身獲解.返回18世紀70年代,德國科學家提丟斯發現金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均（天文單位）如下表：他研究行星排列規律后預測在火星與木星之間應該有一顆大的行星，后來果然發現了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產物，請你推測谷神星的位置，在土星外面是什么星？它與太陽的距離大約是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)

4（）5(木星)6(土星)7（）距離0.71.01.65.210.0返回由數值對應表作散點圖如圖.由圖采用指數型函數作模型,設f(x)=a·bx+c.代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)得

ab+c=0.7①ab2+c=1.0②ab3+c=1.6③,(③-②)÷(②-①)得b=2,代入①②,2a+c=0.7a=4a+c=1.0,c=解得得返回∴f(x)=·2x+.∵f(5)==5.2,f(6)=10,∴符合對應表值,∴f(4)=2.8,f(7)=19.6,所以谷神星大約在離太陽2.8天文單位處.在土星外面是天王星,它與太陽的距離大約是19.6天文單位.返回1.怎樣理解“數學建模”和實際問題的關系？一般來說，對問題進行修改和簡化，形成一種比較精確和簡潔的表述，這時可稱之為“實際模型”，它和“實際原形”不同，因為它被簡化了，不是實際問題所有方面都得到了體現.而是在得到一個“實際模型”之后，再用數學符號和表達式來代替實際問題中的變量和關系，得到的結果是一個“數學模型”.在“數學建模”中要把握好下列幾個問題：（1）理解問題：閱讀理解，讀懂文字敘述，認真審題，理解實際背景.弄清楚問題的實際背景和意義，設法用數學語言來描述問題.（2）數學建模：把握新信息，勇于探索，善于聯想，靈活化歸，根據題意建立變量或參數間的數學關系，實現實際問題數學化，引進數學符號，構建數學模型，常用的數學模型有方程、不等式、函數.2.怎樣才能搞好“數學建模”？返回（3）求解模型：以所學的數學性質為工具對建立的數學模型進行求解.（4）檢驗模型：將所求的結果代回模型中檢驗，對模擬的結果與實際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.（5）評價與應用：如果模型與實際情形比較吻合，要對計算的結果作出解釋并給出其實際意義，最后對所建立的模型給出運用范圍.如果模型與實際問題有較大出入，則要對模型改進，并重復上述步驟.3.“數學建模”中要注意什么問題？（1）有的應用題文字敘述冗長，或者選擇的知識背景較為陌生，處理時，要注意認真、耐心地閱讀和理解題意.（2）解決函數應用題時要注意用變化的觀點分析和探求具體問題中的數量關系，尋找已知量與未知量之間的內在聯系，然后將這些內在聯系與數學知識聯想，建立函數關系式或列出方程，利用函數性質或方程觀點來求解，則可使應用題化生為熟，盡快得到解決.返回1.如果實際問題中的規律很難用一個統一的關系式表示，可考慮用分段函數來表示它.另外，在實際問題的計算中應注意統一單位.2.分類討論建立函數模型在實際問題中較為