2024屆東北三省四市教研聯(lián)合體數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（）A． B．1 C． D．2．一個盒子里有4個分別標(biāo)有號碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種3．在三棱錐中，，且分別是棱，的中點，下面四個結(jié)論：①；②平面；③三棱錐的體積的最大值為；④與一定不垂直.其中所有正確命題的序號是（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④4．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．5．已知a，b∈R，，則（）A．b＝3a B．b＝6a C．b＝9a D．b＝12a6．等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A．-2 B．2 C．4 D．77．當(dāng)時，函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．8．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+19．總體由編號01，,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．0110．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（）A．3 B．2 C． D．112．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)與函數(shù)，在公共點處有共同的切線，則實數(shù)的值為______．14．如圖,在梯形中，∥，分別是的中點，若，則的值為___________.15．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，若，，則________.16．已知圓柱的上下底面的中心分別為，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體，隨機調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知拋物線，直線與交于，兩點，且.（1）求的值；（2）如圖，過原點的直線與拋物線交于點，與直線交于點，過點作軸的垂線交拋物線于點，證明：直線過定點.19．（12分）已知橢圓的右焦點為，直線被稱作為橢圓的一條準(zhǔn)線，點在橢圓上(異于橢圓左、右頂點)，過點作直線與橢圓相切，且與直線相交于點.（1）求證：.（2）若點在軸的上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線的斜率.附：多項式因式分解公式：20．（12分）已知直線與橢圓恰有一個公共點，與圓相交于兩點.（I）求與的關(guān)系式；（II）點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.若當(dāng)時，的面積取到最大值，求橢圓的離心率.21．（12分）2019年底，北京2022年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內(nèi)報名人數(shù)便突破60萬，其中青年學(xué)生約有50萬人.現(xiàn)從這50萬青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進(jìn)行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學(xué)生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數(shù)為X，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機分成若干組(每組人數(shù)不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)22．（10分）某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；②為了鼓勵市民關(guān)注環(huán)保，針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】該幾何體為三棱錐，其直觀圖如圖所示，體積．故選.2、C【解題分析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【題目詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號最大值是4的取法有種,故選:C【題目點撥】本題考查古典概型,考查補集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

①通過證明平面，證得；②通過證明，證得平面；③求得三棱錐體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得與一定不垂直.【題目詳解】設(shè)的中點為，連接，則，，又，所以平面，所以，故①正確；因為，所以平面，故②正確；當(dāng)平面與平面垂直時，最大，最大值為，故③錯誤；若與垂直，又因為，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因為，所以顯然與不可能垂直，故④正確.故選：D【題目點撥】本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.4、B【解題分析】

計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【題目點撥】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.5、C【解題分析】

兩復(fù)數(shù)相等，實部與虛部對應(yīng)相等.【題目詳解】由，得，即a，b＝1．∴b＝9a．故選：C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得，再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【題目詳解】在等差數(shù)列的前項和為，則則故選：B【題目點撥】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】由，解得，即或，函數(shù)有兩個零點，，不正確，設(shè)，則，由，解得或，由，解得：，即是函數(shù)的一個極大值點，不成立，排除，故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.8、B【解題分析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【題目詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學(xué)生的計算能力，是中檔題.9、D【解題分析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為：08,02,14,07,01，所以第5個個體是01，選D.考點：此題主要考查抽樣方法的概念、抽樣方法中隨機數(shù)表法，考查學(xué)習(xí)能力和運用能力.10、A【解題分析】

試題分析：由題意可得：.共軛復(fù)數(shù)為，故選A.考點：1.復(fù)數(shù)的除法運算;2.以及復(fù)平面上的點與復(fù)數(shù)的關(guān)系11、A【解題分析】

根據(jù)題意，求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【題目詳解】解：由于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得：，即切線斜率，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ陨先我庖稽c處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.12、C【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式，判斷出正確選項.【題目詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要條件.故選：C【題目點撥】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

函數(shù)的定義域為，求出導(dǎo)函數(shù)，利用曲線與曲線公共點為由于在公共點處有共同的切線，解得，，聯(lián)立解得的值．【題目詳解】解：函數(shù)的定義域為，，，設(shè)曲線與曲線公共點為，由于在公共點處有共同的切線，∴，解得，．由，可得．聯(lián)立，解得．故答案為：．【題目點撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．14、【解題分析】

建系，設(shè)設(shè)，由可得，進(jìn)一步得到的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得到答案.【題目詳解】以A為坐標(biāo)原點，AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，由，得，即，又，所以，故,,所以.故答案為：2【題目點撥】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道中檔題.15、127【解題分析】

已知條件化簡可化為,等式兩邊同時除以，則有，通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【題目詳解】由..故答案為:.【題目點撥】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.16、【解題分析】

由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.【題目詳解】解：因為軸截面是正方形，且面積是36，所以圓柱的底面直徑和高都是6故答案為：【題目點撥】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）填表見解析；有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān)（2）詳見解析【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān).（2）利用二項分布的知識計算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1）平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為，，所以有的把握認(rèn)為，平均車速超過與性別有關(guān).（2）服從，即，.所以的分布列如下0123的期望【題目點撥】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查二項分布分布列和數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.18、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）聯(lián)立直線和拋物線，消去可得，求出，，再代入弦長公式計算即可.（2）由（1）可得，設(shè)，計算直線的方程為，代入求出，即可求出，再代入拋物線方程，求出，最后計算直線的斜率，求出直線的方程，化簡可得到恒過的定點.【題目詳解】（1）由，消去可得，設(shè)，，則，.，解得或(舍去)，.（2）證明：由（1）可得，設(shè)，所以直線的方程為，當(dāng)時，，則，代入拋物線方程，可得，，所以直線的斜率，直線的方程為，整理可得，故直線過定點.【題目點撥】本題第一問考查直線與拋物線相交的弦長問題，需熟記弦長公式.第二問考查直線方程和直線恒過定點問題，需有較強的計算能力，屬于難題.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）由得令可得，進(jìn)而得到，同理，利用數(shù)量積坐標(biāo)計算即可；（2），分，兩種情況討論即可.【題目詳解】（1）證明：點的坐標(biāo)為.聯(lián)立方程，消去后整理為有，可得，，.可得點的坐標(biāo)為.當(dāng)時，可求得點的坐標(biāo)為，，.有,故有.（2）若點在軸上方，因為，所以有，由（1）知①因為時.由（1）知，由函數(shù)單調(diào)遞增，可得此時.②當(dāng)時，由（1）知令由，故當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增：當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，又由，故函數(shù)的最小值，函數(shù)取最小值時，可求得.由①②知，若點在軸上方，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，直線的斜率為.【題目點撥】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及到分類討論求函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道難題.20、（Ⅰ）（II）【解題分析】

（I）聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)判別式等于0，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）因點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，可得的面積是的面積的兩倍，再由當(dāng)時，的面積取到最大值，可得，進(jìn)而可得原點到直線的距離，再由點到直線的距離公式，以及（I）的結(jié)果，即可求解.【題目詳解】（I）由，得，則化簡整理，得；（Ⅱ）因點與點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故的面積是的面積的兩倍.所以當(dāng)時，的面積取到最大值，此時，從而原點到直線的距離，又，故.再由（I），得，則.又，故，即，從而，即.【題目點撥】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及橢圓的簡單性質(zhì)，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解，屬于中檔試題.21、(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分