江西省九江市奉新第一中學高三數學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在區間上隨機取一個，則的值在到之間的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：幾何概型，，答案A2.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為底面ABCD上的動點，PE⊥A1C于E，且PA=PE，則點P的軌跡是（）A．線段 B．圓弧C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分參考答案：A【考點】平面與平面之間的位置關系；軌跡方程．【專題】空間位置關系與距離．【分析】由PE⊥A1C于E，且PA=PE，得到點E是定點，然后根據PA=PE，得到點P位于A，E的中垂面上，從而得到點P的軌跡．【解答】解：連接A1P，由題意知A1A⊥AP，因為PE⊥A1C，且PA=PE，所以△A1AP≌△A1EP，所以A1A=A1E，即E為定點．因為PA=PE，所以點P位于線段AE的中垂面上，又點P在底面上，所以點P的軌跡為兩平面的交線，即點P的軌跡是線段．故選A．【點評】本題主要考查空間直線的位置關系的判斷，以及空間點的軌跡的求法，綜合性較強，難度較大．3.若，且，則

(

)參考答案：B4.平行四邊形中，=（1，0），=（2，2），則等于（

）A．4

B．-4

C．2

D．-2參考答案：A略5.平面向量，共線的充要條件是

（

）A.，方向相同 B.，兩向量中至少有一個為零向量 C., D.存在不全為零的實數，，參考答案：D略6.已知函數，若a、b、c互不相等，且的取值范圍是A.（1，2014） B.（1，2015） C.（2，2015） D.參考答案：C7.已知函數是定義在內的單調函數，且對，給出下面四個命題：①不等式恒成立②函數存在唯一零點，且③方程有兩個根④方程（其中為自然對數的底數）有唯一解，且.其中正確的命題個數為（

）A.個

B.個

C.個

D.個

參考答案：B試題分析：令,則,注意到的任意性可得.由于當時,,因此①是正確的；由于,即函數是單調遞增函數,且,因此函數在上存在唯一的零點,故②是正確的；設,則,即函數是單調遞增函數,且只有一個零點,故答案③是錯誤的；令,因,故是單調遞增函數,且,因此④是錯誤的.故應選B.考點：函數的定義及對應法則及函數的圖象和性質的綜合運用.【易錯點晴】本題是一道以函數滿足的條件為背景,考查的是導函數的與函數的單調性之間的關系的綜合性應用問題.解答本題的關鍵是如何理解這一條件進行等價轉化化歸與利用.求解時依據題設條件先構造函數,則,然后逐一對所提供的四個答案進行分析推證,從而使得問題最終獲解.8.已知偶函數y＝f(x)，x∈R滿足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函數則y＝f(x)－g(x)的零點個數為()A.1 B.3 C.2 D.4參考答案：By＝f(x)－g(x)的零點個數即為f(x)=g(x)的根的個數，即y＝f(x)和y＝g(x)的圖象交點個數，作出兩函數圖象，如圖所示，共有三個交點.故選B.點睛：根據函數零點求參數取值，也是高考經常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離參數后轉化為函數的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數的圖象與參數的交點個數；（3）轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.9.已知，且，則(

)A．

B．

C．－7

D．7參考答案：C10.設集合U={1，2，3，4},A={2，3},B={1},則等于A.{2}

B.{3}

C.

D.{2，3}參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程的曲線即為函數的圖像，對于函數，有如下結論：①在R上單調遞減；②函數不存在零點；③函數的值域是R；④若函數和的圖像關于原點對稱，則函數的圖像就是方程確定的曲線.其中所有正確的命題序號是

.參考答案：【知識點】函數的圖像與性質

B9D根據題意畫出方程的曲線即為函數的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形

從圖形中可以看出，關于函數的有下列說法：

①在R上單調遞減；正確．

②由于即，從而圖形上看，函數的圖象與直線沒有交點，故函數不存在零點；正確．③函數的值域是R；正確．③函數的值域是R；正確.

④根據曲線關于原點對稱的曲線方程的公式，可得若函數和的圖象關于原點對稱，則用分別代替，可得就是表達式，可得，則的圖象對應的方程是，說明④錯誤

其中正確的個數是3．【思路點撥】根據題意畫出方程的曲線即為函數的圖象，如圖所示．軌跡是兩段雙曲線的一部分加上一段的橢圓圓弧組成的圖形．從圖形中可以看出，關于函數的結論的正確性．12.已知A，B∈{﹣3，﹣1，1，2}且A≠B，則直線Ax+By+1=0的斜率小于0的概率為．參考答案：【考點】幾何概型．【分析】求出基本事件的所有情況，利用概率公式可得結論．【解答】解：直線Ax+By+1=0的斜率為﹣，所有情況有﹣1=11種（A=1，B=﹣1與A=﹣1，B=1斜率相等），即﹣3，3，，﹣，1，，，﹣，，2，﹣2，滿足直線Ax+By+1=0的斜率小于0的情況有4種，∴所求概率為，故答案為．13.已知在平面直角坐標系中有一個點列：，……，．若點到點的變化關系為：，則等于

．參考答案：14.在區間中隨機地取出兩個數，則兩數之和小于的概率是______________。參考答案：

解析：15.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a、b、c∈（0，1）），已知他投籃一次得分的數學期望為2（不計其它得分情況），則ab的最大值為．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【分析】利用數學期望的概念，建立等式，再利用基本不等式，即可求得ab的最大值．【解答】解：由題意，投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c（a、b、c∈（0，1）），∴3a+2b=2，∴2≥2，∴ab≤（當且僅當a=，b=時取等號）∴ab的最大值為．故答案為：．16.若函數有且只有2個不同零點，則實數k的取值范圍是_____.參考答案：試題分析：當時，；故1是函數的零點；故當時，有且只有1個零點，而故沒有零點；若則，故沒有零點時，

17.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，設則

的最小值為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4-4:坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸為正半軸為極軸建立極坐標系，圓C和直線l的極坐標方程分別為ρ=2cosθ，ρcos（θ+α）=2（其中tanα=2，α∈（0，））．（Ⅰ）求圓C和直線l的直角坐標方程；（Ⅱ）設圓C和直線l相交于點A和點B，求以AB為直徑的圓D的參數方程．參考答案：（Ⅰ）x﹣2y﹣2=0;（Ⅱ）【知識點】簡單曲線的極坐標方程N3解析：（Ⅰ）圓C的極坐標方程分別為ρ=2cosθ，轉化成直角坐標方程為：（x﹣1）2+y2=1，由于：tanα=2，α∈（0，）．則：，極坐標方程ρcos（θ+α）=2轉化成直角坐標方程為：x﹣2y﹣2=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：解得：A（2，0），B（，），則：，設點M（x，y）是圓D上的任意一點，則：．所以：+．整理得：5x2+5y2﹣12x+4y=0．轉化成標準形式為：轉化成參數方程為：（θ為參數）．【思路點撥】（Ⅰ）直接把極坐標方程轉換成直角坐標該方程．（Ⅱ）首先建立方程組求出交點的坐標，進一步利用直徑所對的圓周角為90°，進一步轉化成向量垂直，再利用向量垂直的充要條件求出方程，再轉化成參數方程．19.在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的方程為ρ=6sinθ．（1）寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（2）設點P（3,4），直線l與圓C相交于A，B兩點，求的值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直線l的參數方程消去參數t可得，它的直角坐標方程；把圓C的極坐標方程依據互化公式轉化為直角坐標方程．（Ⅱ）把直線l的參數方程（t為參數），代入圓C的直角坐標方程，得，結合根與系數的關系進行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直線l的參數方程為（t為參數），得直線l的普通方程為x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圓C的直角坐標方程為x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直線l的參數方程（t為參數），代入圓C的直角坐標方程，得，設t1，t2是上述方程的兩實數根，所以t1+t2=2，t1t2=1，∴t1＞0，t2＞0，所以+

=20.已知離心率為的橢圓的右焦點F是圓（x﹣1）2+y2=1的圓心，過橢圓上的動點P作圓的兩條切線分別交y軸于M、N兩點．（1）求橢圓的方程；（2）求線段MN長的最大值，并求此時點P的坐標．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【專題】計算題；綜合題．【分析】（I）根據圓方程可求得圓心坐標，即橢圓的右焦點，根據橢圓的離心率進而求得a，最后根據a，b和c的關系求得b，則橢圓方程可得．（II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把橢圓方程與圓方程聯立求得交點的橫坐標，進而可推斷x0的范圍，把直線PM的方程化簡，根據點到直線的距離公式表示出圓心到直線PM和PN的距離．求得x0和y0的關系式，進而求得m+n和mn的表達式，進而求得|MN|．把點P代入橢圓方程根據弦長公式求得MN|．記，根據函數的導函數判斷函數的單調性，進而確定函數f（x）的值域，進而求得當時，|MN|取得最大值，進而求得y0，則P點坐標可得．【解答】解：（I）∵圓（x﹣1）2+y2=1的圓心是（1，0），∴橢圓的右焦點F（1，0），∵橢圓的離心率是，∴∴a2=2，b2=1，∴橢圓的方程是．

（II）設P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），由得，∴．直線PM的方程：，化簡得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0．又圓心（1，0）到直線PM的距離為1，∴，∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2，化簡得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．∴，，∴=．∵P（x0，y0）是橢圓上的點，∴，∴，記，則，時，f'（x）＜0；時，f'（x）＜0，∴f（x）在上單調遞減，在內也是單調遞減，∴，當時，|MN|取得最大值，此時點P位置是橢圓的左頂點．【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查考生分析問題、解決問題的能力．21.已知數列{an}滿足.（1）設，求數列{bn}的通項公式；（2）求數列{an}的前n項和Sn；（3）記，求數列{cn}的前n項和Tn.參考