浙江省溫州市第四高中2021-2022學年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果實數滿足，那么的最大值是A．

B．

C．

D．參考答案：C2.已知橢圓（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，若AF⊥BF，設∠ABF=α，且α∈[，]，則該橢圓離心率e的取值范圍為（）A．[，﹣1] B．[，1)C．[，]D．[，]參考答案：A【考點】橢圓的簡單性質．【分析】首先利用已知條件設出橢圓的左焦點，進一步根據垂直的條件得到長方形，所以：AB=NF，再根據橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a，由離心率公式e==由的范圍，進一步求出結論．【解答】解：已知橢圓（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，設左焦點為：N則：連接AF，AN，AF，BF所以：四邊形AFNB為長方形．根據橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，則：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：則：即：橢圓離心率e的取值范圍為[]故選：A3.函數在內有極小值，則實數的取值范圍為

（

）

參考答案：D12.已知直線和直線，拋物線上一動點P到直線和直線的距離之和的最小值是A.2

B.3

C.

D.參考答案：A5.是數列的第幾項

（

）A．20項

B．19項

C．18項

D．17項

參考答案：B略6.已知函數y＝的導函數y＝的圖象如下圖所示，則（

）A．函數有1個極大值點，1個極小值點B．函數有2個極大值點，2個極小值點C．函數有3個極大值點，1個極小值點D．函數有1個極大值點，3個極小值點參考答案：A略7.下列求導計算正確的是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據函數求導法則得到相應的結果.【詳解】A選項應為，C選項應為，D選項應為.故選：B．【點睛】這個題目考查了函數的求導運算，牢記公式，準確計算是解題的關鍵，屬于基礎題.8.已知隨機變量服從正態分布，，則等于（

）A．

B．

C．

D，參考答案：A9.若函數是偶函數，定義域為R,且時，，則滿足的實數m的取值范圍是（

）A.[0，1) B.(-1，1) C.[0，2) D.(-2，2)參考答案：B【分析】根據題意，分析得函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，計算得f（1）＝1，則原不等式可以轉化為||＜1，解可得m的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據題意，當x≥0時，f（x）＝，則函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）＝log22＝1，則?||＜1，即﹣1＜m＜1，故選：B【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，關鍵是分析函數f（x）的單調性及特殊值．10.在等差數列中，已知，那么等于-------------（

）A.4

B.5

C.6

D.7參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.四面體ABCD中，有如下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD，則AD⊥BC；②若E、F、G分別是BC、AB、CD的中點，則∠FEG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大小；③若點O是四面體ABCD外接球的球心，則O在面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四個面是全等的三角形，則ABCD為正四面體，其中正確的是： .（填上所有正確命題的序號）參考答案：①③12.已知f（x）=tanx，則等于． 參考答案：【考點】正切函數的圖象． 【專題】轉化思想；綜合法；三角函數的求值． 【分析】根據f（x）=tanx，求得f（）的值． 【解答】解：由f（x）=tanx，可得=tan=tan=， 故答案為：． 【點評】本題主要考查求正切函數的值，屬于基礎題． 13.命題“.”的否定是______________．參考答案：略14.下列4個命題：①“若a、G、b成等比數列，則G2=ab”的逆命題；②“如果x2+x﹣6≥0，則x＞2”的否命題；③在△ABC中，“若A＞B”則“sinA＞sinB”的逆否命題；④當0≤α≤π時，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0對?x∈R恒成立，則α的取值范圍是0≤α≤．其中真命題的序號是．參考答案：②③【考點】2K：命題的真假判斷與應用．【分析】由a=G=b=0，則a、G、b不成等比數列，即可判斷①；寫出命題的否命題，由二次不等式的解法，即可判斷②；運用三角形的邊角關系和正弦定理，即可判斷③；由二次不等式恒成立可得判別式不大于0，解不等式，結合二倍角公式和余弦函數的圖象，即可判斷④．【解答】解：①“若a、G、b成等比數列，則G2=ab”的逆命題為“若G2=ab，則a、G、b成等比數列”，不正確，比如a=G=b=0，則a、G、b不成等比數列，故①錯；②“如果x2+x﹣6≥0，則x＞2”的否命題為“②“如果x2+x﹣6＜0，則x≤2”的否命題”，由x2+x﹣6＜0，可得﹣3＜x＜2，推得x≤2，故②對；③在△ABC中，“若A＞B”?“a＞b”?“2RsinA＞2RsinB”?“sinA＞sinB”（R為外接圓的半徑）則其逆否命題正確，故③對；④當0≤α≤π時，若8x2﹣（8sinα）x+cos2α≥0對?x∈R恒成立，即有△=64sin2α﹣32cos2α≤0，即有1﹣2cos2α≤0，即為cos2α≥，可得0≤2α≤或≤2α≤2π，解得0≤α≤或≤α≤π，故④錯．故答案為：②③．15.《九章算術》“竹九節”問題：現有一根節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面節的容積共升，下面節的容積共升，則第節的容積為

升．參考答案：16.已知數列{an}滿足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），則a1=．參考答案：2【考點】數列遞推式．【分析】利用遞推公式，結合遞推思想求解．【解答】解：∵數列{an}滿足：a3=5，an+1=2an﹣1（n∈N*），∴a2=×（5+1）=3．a1==2．故答案為：2．【點評】本題考查數列的第3項的求法，是基礎題，解題時要注意遞推思想的合理運用．17.已知一圓柱內接于球O，且圓柱的底面直徑與母線長均為2，則球O的表面積為_________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知矩形ABCD，，，點P為矩形內一點，且，設.（1）當時，求證：；（2）求的最大值.參考答案：（1）見解析（2）2【分析】（1）以為坐標原點建立平面直角坐標系，求出各點的坐標，即得，得證；（2）由三角函數的定義可設，，再利用三角函數的圖像和性質求解.【詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，，，.當時，，則，，∴.∴.（2）由三角函數的定義可設，則，，，從而，所以，因為，故當時，取得最大值2.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示和運算，考查向量垂直的坐標表示，考查平面向量的數量積運算和三角恒等變換，考查三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19.（本小題滿分14分）設為數列的前項和，對任意的，都有為常數，且.（1）求證：數列是等比數列；（2）設數列的公比，數列滿足，，求數列的通項公式；（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和.參考答案：（1）證明：當時，，解得．……1分當時，．即

……2分∵為常數，且，

∴．

…………3分∴數列是首項為1，公比為的等比數列．

…………4分

（2）解：由（1）得，，．

∵，∴，即．………7分∴是首項為，公差為1的等差數列．

………8分∴，即（）．

……………9分（3）解：由（2）知，則．

…………10分所以，即，

①

則②②－①得，

．

………14分20.（本題滿分14分）已知△ABC，A(－1，0)，B(3，0)，C(2，1)，對它先作關于x軸的反射變換，再將所得圖形繞原點逆時針旋轉90°．（1）分別求兩次變換所對應的矩陣M1，M2；（2）求點C在兩次連續的變換作用下所得到的點的坐標．參考答案：解（1）M1＝，M2＝；（2）因為M＝M2M1＝＝，所以M＝＝．故點C在兩次連續的變換作用下所得到的點的坐標是(1，2)．略21.已知數列的前項和為，

（1）設，求；（2），求數列的前n項和參考答案：略22.設．（1）求的單調區間；（2）求函數在[1,3]上的最值．參考答案：(1)函數的單調增區間是，單調遞減區間是.(2)-6,.試題分析：(1)根據定積分的運算法則可得，求出，令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；(2)根據單調性求出極值，比較極值與區間端點函數值的大小即可得到函數在上的最值.試題解析：依題意得F(x)=(t2+2t-8