實數集與函數第一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二§1

實數第一章實數集與函數第二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二1.我們用符號“”表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的”,符號“”稱為全稱量詞.幾個常用符號第三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.我們用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實數x,都存在實數y,使得x+y=1”可表示為“xR,yR,

使x+y=1”符號“”稱為存在量詞.第四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.我們用符號“”表示“充分條件”比如,若用p,q分別表示兩個命題或陳述句.或“推出”這一意思.則“pq”表示“若p成立,則q也成立”.即p是q成立的充分條件.第五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二4.我們用符號“”表示“當且僅當”比如“p

q”表示“p成立當且僅當q成立”或者說p成立的充要條件是q成立.或“充要條件”這一意思.第六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二1.集合集合集合是指具有某種特定性質的事物的總體.

集合可用大寫的字母A,B,C,D等標識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.

集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標識.

a是集合M的元素記為aM,讀作a屬于M.

a不是集合M的元素記為aM,讀作a不屬于M.一、集合第七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二集合的表示列舉法

把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某種性質P的元素x的全體所組成,則M可表示為

M{x|x具有性質P}.

例如M{(x,y)|x,y為實數,x2y21}.第八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二幾個數集所有自然數構成的集合記為N,稱為自然數集.

所有實數構成的集合記為R,稱為實數集.

所有整數構成的集合記為Z,稱為整數集.

所有有理數構成的集合記為Q,稱為有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為AB(讀作A包含于B).AB若xA,則xB.

顯然,NZ,ZQ,QR.第九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.集合的運算

設A、B是兩個集合,則

AB{x|xA或xB}稱為A與B的并集(簡稱并).

AB{x|xA且xB}稱為A與B的交集(簡稱交).A\B{x|xA且xB}稱為A與B的差集(簡稱差).ACI\A{x|xA}為稱A的余集或補集,其中I為全集.提示:

如果研究某個問題限定在一個大的集合I中進行,所研究的其他集合A都是I的子集.則稱集合I為全集或基本集.第十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二集合運算的法則設A、B、C為任意三個集合,則有

(1)交換律ABBA,

ABBA;(2)結合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)對偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的證明所以(AB)CACBC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xB

x(AB)C第十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二直積(笛卡兒乘積)

設A、B是任意兩個集合,則有序對集合

AB{(x,y)|xA且yB}稱為集合A與集合B的直積.

例如,RR{(x,y)|xR且yR}即為xOy面上全體點的集合,RR常記作R2.

第十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二說明:

對于負實數x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)3.實數集兩個實數的大小關系說明:

.自然規定任何非負實數大于任何負實數.)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負整數若記為相等與則稱若有為整數為非負整數其中給定兩個非負實數LLLLLLL定義1第十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二定義2LLLL,2,1,0101..210210=+===，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位過剩近似的稱為而有理數位不足近似的為實數稱有理數為非負實數設說明:

..101..210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL-=-=-=與分別規定為位不足近似與過剩近似的負實數說明:

.,210210LL333￡￡￡xxx，nxxxx，nxxnn即有增大時不增當過剩近似即有增大時不減當的不足近似實數第十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二命題1..,:..位過剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要條件是則為兩個實數與設nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnn>?$>==+LL第十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二實數的性質

1.實數集R對加,減,乘,除(除數不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數和,差,積,商(除數不為0)仍然是實數.

2.實數集是有序的.即任意兩個實數a,b必滿足下述三個關系之一:a<b,a=b,a>b.第十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.實數集的大小關系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c實數的性質.，則存在正整數n,使得nb>a.

即對任何4.實數具有阿基米德性,a>b>0,第十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二5.實數集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數之間幾有另一個實數,且既有在理數,也有無理數.6.實數集R與數軸上的點具有一一對應關系.即任一實數都對應數軸上唯一的一點,反之,數軸上的每一點也都唯一的代表一個實數.實數的性質第十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二例1證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數證明為實數設.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數則令使得故存在非負整數由于第十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數證明設ee例2..,,..bababababa，￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設為正數且則令有則根據實數的有序性假若結論不成立用反證法eeee證明第二十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.小結

P9:1,2,3,4,5.(1),兩個實數的大小關系;(2),實數的性質;(3),區間和鄰域的概念;(4),確界原理.第二十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二§2

數集.確界原理第一章實數集與函數第二十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二數集{x|a<x<b}稱為開區間,記為(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.

[a,b]={x|axb}——閉區間.

[a,b)={x|ax<b}——半開區間,(a,b]={x|a<xb}——半開區間.有限區間上述區間都是有限區間,其中a和b稱為區間的端點,b-a稱為區間的長度.1.區間和鄰域第二十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

(-,b]={x|xb},

(-,+)={x||x|<+}.

[a,+)={x|ax},無限區間

(-,b)={x|x<b},

(a,+)={x|a<x},1.區間和鄰域第二十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二鄰域以點a為中心的任何開區間稱為點a的鄰域,記作U(a).

設>0,則稱

U(a,)=(a-,a+)={x||x-a|<}為點a的鄰域,其中點a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.去心鄰域U(a,)={x|0<|x-a|<}.。第二十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二說明:

2.確界原理定義1若數集S既有上界又有下界,則稱S為有界集.

若數集S不是有界集,則稱S為無界集..,,1][,0.100無上界即則取的下界的實數都是任何一個不大于顯然++>+=>"NMnMnMN，).()()(),()(下界的一個上界稱為數的數集下界為有上界則稱都有使得對一切若存在數中的一個數集是設SLM，SLxMxS，x，LM，RS3￡?{}.有下界而無上界為正整數數集例如nnN=+第二十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二定義2說明:

Sxx1x2x3x4x5xn,)(xa<"iia,,00a>?$xSx使得x0，S的最小上界又是即x;.,)(的上界是即有滿足若數中的一個數集是設SxSxi，RSxxx￡?".supS，S=xx記作的上確界為數集則稱數同理可得下確界的定義.定義3:

;.,)(的下界是即有滿足若數中的一個數集是設SxSxi，RShhh3?".inf,,,)(00S，S，SxSxii=<?$>"hhhbhb記作的下確界為數集則稱數的最大下界又是即使得第二十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二確界原理設S為非空數集,若S有上界,則S必有上確界;若S有下界,則S必有下確界.例3設A,B為非空數集,滿足:證明數集A有上確界,數集B有下確界,且證:故有確界原理知,數集A有上確界,數集B有下確界.是數集A的一個上界,而由上確界的定義知由假設,數集B中任一數都是數集A的上界,

A中任一數都是B的下界,是數集A的最小上界,故有第二十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二設A,B為非空有限數集,.證明:而此式又表明數是數集B的一個下界,故由下確界的定義證得例4證:故得第二十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二綜上,即證得

(ii)可類似證明.所以第三十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.小結

P9:1,2,3,4,5.(1),兩個實數的大小關系;(2),實數的性質;(3),區間和鄰域的概念;(4),確界原理.第三十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

§3函數概念第一章實數集與函數第三十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二說明:

記號f和f(x)的區別:前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則,而后者表示與自變量x對應的函數值.說明:

為了敘述方便,常用記號“f(x),xD”或“yf(x),xD”來表示定義在D上的函數,這時應理解為由它所確定的函數f.說明:

函數的記號是可以任意選取的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“”等,此時函數就記作yg(x)、yF(x)、y(x)等.

但在同一問題中,不同的函數應選用不同的記號.設數集DR,則稱映射f:D

R為定義在D上的函數,通常簡記為

yf(x),xD,其中x稱為自變量,y稱為因變量,D稱為定義域,記作Df,即DfD.1.函數概念定義第三十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二構成函數的要素是定義域Df及對應法則f.

如果兩個函數的定義域相同,對應法則也相同,那么這兩個函數就是相同的,否則就是不同的.函數的兩要素函數的定義域通常按以下兩種情形來確定:

對有實際背景的函數,根據實際背景中變量的實際意義確定.函數的定義域對抽象地用算式表達的函數,其定義域是使得算式有意義的一切實數組成的集合,這種定義域稱為函數的自然定義域.第三十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二表示函數的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數是基于函數圖形的概念,坐標平面上的點集

{P(x,y)|yf(x),xD}稱為函數yf(x),xD的圖形.函數的表示法第三十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二單值函數與多值函數在函數的定義中,對每個xD,對應的函數值y總是唯一的,這樣定義的函數稱為單值函數.

如果給定一個對應法則,按這個法則,對每個xD,總有確定的y值與之對應,但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數.例如,由方程x2y2r2確定的函數是一個多值函數:此多值函數附加條件“y0”后可得到一個單值分支第三十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二此函數稱為絕對值函數,其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=[0,+).

例6

例5

函數y=2.

這是一個常值函數,其定義域為D=(-,

+),其值域為Rf

={2}.函數舉例第三十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二此函數稱為符號函數,其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

={-1,0,1}.

例8

函數y=[x].

例7

注:

設x為任上實數,不超過x的最大整數稱為x的整數部分,記作[x].此函數稱為取整函數,其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=Z.第三十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

例9

此函數的定義域為D=[0,1](0,+)=[0,+).

f(3)=1+3=4.分段函數在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數.第三十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.反函數設函數f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數f的反函數.按習慣,yf(x),xD的反函數記成yf

1(x),xf(D).例如,函數yx3,xR是單射,所以它的反函數存在,其反函數為函數yx3,xR的反函數是提問:下列結論是否正確？第四十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.反函數反函數設函數f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數f的反函數.按習慣,yf(x),xD的反函數記成yf

1(x),xf(D).若f是定義在D上的單調函數,則f:Df(D)是單射,于是f的反函數f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的單調函數.第四十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二相對于反函數yf

1(x)來說,原來的函數yf(x)稱為直接函數.

函數yf(x)和yf

1(x)的圖形關于直線yx是對稱的.反函數設函數f:Df(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)D,稱此映射f

1為函數f的反函數.按習慣,yf(x),xD的反函數記成yf

1(x),xf(D).第四十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.復合函數設函數yf(u)的定義域為D1,函數ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數稱為由函數ug(x)和函數yf(u)構成的復合函數,它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數g與函數f構成的復合函數通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說明:g與f構成的復合函數f

o

g的條件是:是函數g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內,即g(D)Df.否則,不能構成復合函數.例如>>>第四十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二4.函數的運算設函數f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,DD1D2,則可以定義這兩個函數的下列運算:

和(差)f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;

積f

g:(f

g)(x)f(x)g(x),xD;第四十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

例10

設函數f(x)的定義域為(l,l),證明必存在(l,l)上的偶函數g(x)及奇函數h(x),使得f(x)g(x)h(x).提示:如果f(x)g(x)h(x),則f(x)g(x)h(x),于是

證

則f(x)g(x)h(x),且第四十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

冪函數:yx

(R是常數);

指數函數:ya

x(a0且a1);

對數函數:yloga

x(a0且a1),

特別當ae時,記為ylnx;

三角函數:ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函數:yarcsinx,yarccosx,

yarctanx,yarccotx.>>>基本初等函數第四十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(一)冪函數的圖形

第四十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第四十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二同一坐標系中冪函數的圖象第四十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(二)指數函數的圖形

第五十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二同一坐標系中指數函數的圖象第五十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(三)對數函數的圖形

第五十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二同一坐標系中對數函數的圖象第五十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二正弦函數的圖象(四)三角函數的圖形

第五十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二余弦函數的圖象

第五十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第五十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第五十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(五)反三角函數的圖象第五十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第五十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第六十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二第六十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二設函數yf(u)的定義域為D1,函數ug(x)在D上有定義且g(D)D1,則由

yf[g(x)],xD確定的函數稱為由函數ug(x)和函數yf(u)構成的復合函數,它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數g與函數f構成的復合函數通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)f[g(x)].說明:g與f構成的復合函數f

o

g的條件是:是函數g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內,即g(D)Df.否則,不能構成復合函數.例如>>>復合函數第六十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.都是初等函數.例如,函數初等函數第六十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二雙曲函數應用上常遇到的雙曲函數是:雙曲正弦:雙曲余弦:雙曲正切:雙曲函數與反雙曲函數第六十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二雙曲函數與反雙曲函數雙曲函數的性質比較sin(xy)=sinxcosycosxsiny.

sh(xy)=shxchychxshy,

ch2x-sh2x=1,

ch(xy)=chxchyshxshy,

sh2x=2shxchx,

ch2x=ch2x+sh2x.比較cos(xy)=cosxcosysinxsiny.第六十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二雙曲函數與反雙曲函數反雙曲函數雙曲函數

y=shx,y=chx,y=thx的反函數依次記為反雙曲正弦:y=arshx,反雙曲余弦:y=archx,反雙曲正切:y=arthx.可以證明第六十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二6.小結

P9:1,2,4,5,7,8.(1),基本初等函數的概念;(2),基本初等函數的圖象及性質;(3),復合函數的概念及性質;(4),雙曲函數的概念;(5),初等函數的概念.第六十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

(1)符號函數1-1xyo幾個特殊函數舉例第六十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(2)取整函數y=[x][x]表示不超過的最大整數

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo階梯曲線第六十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二有理數點無理數點?1xyo(3)狄利克雷函數第七十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二(4)取最值函數yxoyxo第七十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.第七十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二

§4具有某些特性的函數第一章實數集與函數第七十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二1.單調函數

單調遞增函數和單調遞減函數統稱為單調函數.xyof(x)單調遞增xyof(x)單調遞減設f(x)在(a,b)有定義.若x1,x2(a,b).x1<x2,有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)),

則稱f(x)在(a,b)上單調遞增(單調遞減).區間(a,b)稱為f(x)的單調區間.第七十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二如,y=x2,圖y=x20xy在(,0]上單調遞減,而在[0,+)上單調遞增.第七十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二2.奇偶函數.

(1)若xD(f).有f(–x)=f(x).則稱f(x)為偶函數.其圖形關于y軸對稱.(2)若xD(f).有f(–x)=–f(x).則稱f(x)為奇函數.其圖形關于原點對稱.設f(x)的定義域為D(f).滿足xD(f).有–xD(f).第七十六頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二易見,常函數y=c是偶函數.狄利克萊函數D(x)也是偶函數.因為若x為有理數,則–x也是有理數,從而若x為無理數,則–x也是無理數,從而綜合起來,總有D(x)=D(–x).因此,D(x)是一個偶函數.D(x)=D(–x)=1D(x)=D(–x)=0第七十七頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二3.周期函數.

設f(x)的定義域為D(f).若存在常數T0,使xD(f).有xTD(f).且f(xT)=f(x).則稱f(x)為周期函數.T為f(x)的周期.由于周期函數的函數值是呈周期變化.因此,周期函數的圖形也是呈周期性變化.會周而復始的重復出現.如y=sinx,y=cosx.第七十八頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二易見,若T為f(x)的周期,則nT均為f(x)的周期,n=1,2,…,通常稱最小正周期為f(x)的周期.畫周期函數圖形可以先在一周期內畫好,然后向數軸兩端平移.第七十九頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二如y=sinx,2n都是sinx的周期,其中n=1,2,…,它的最小正周期為2.是周期函數,它的周期為n,n=1,2,…最小正周期為.第八十頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二有些周期函數沒有最小正周期.如常數函數y=f(x)=c(常數),是一個周期函數.任何一個大于0的常數T都是它的一個周期.這是因為f(x)=c=f(x+T)在這無窮多個大于0的周期T中,找不到一個最小的正周期T.第八十一頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二又如,狄利克萊函數D(x)也是周期函數.任何一個大于0的有理數T都是D(x)的周期.因為(i)若x為有理數,則x+T也是有理數.從而D(x)=1=D(x+T)(ii)若x為無理數,則x+T也是無理數.從而D(x)=0=D(x+T)所以,總有D(x)=D(x+T).即T是D(x)的周期.但是在這無窮多個大于0的有理數T中,找不到一個最小的T.第八十二頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二4.有界函數定義4.

幾何意義：由于|f(x)|MMf(x)M.因此,f(x)在(a,b)內有界.就表示了f(x)的圖形夾在兩平行直線y=M之間.xyoabMM設f(x)在(a,b)有定義,若存在常數M>0,使x(a,b),有|f(x)|M.則稱f(x)在(a,b)內有界.否則,稱f(x)在(a,b)內無界.第八十三頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二若M1,使x(a,b),有f(x)M1,則稱f(x)在(a,b)內有上界.M1稱為它的一個上界,看圖.若M2,使x(a,b),有M2

f(x),則稱f(x)在(a,b)內有下界.M2稱為它的一個下界,看圖.xyoabM2xyoabM1第八十四頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二f(x)在(a,b)有界

f(x)在(a,b)既有上界,又有下界.易見,若f(x)在(a,b)有上界M1,則它在(a,b)有無窮多個上界.若f(x)在(a,b)有下界M2,則它在(a,b)有無窮多個下界.比如M2–1,M2–2,…都是它的下界.比如M1+1,M1+2,…都是它的上界.第八十五頁，共九十五頁，編輯于2023年，星期二可以證明,在這無窮多個上界中必有一個最小的上界M,稱為f(x)在(a,b)的上確界.記作在這無窮多個下界中必有一個最大的