第八講古希臘數學第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一古希臘數學與哲學的交織古希臘早期的自然科學往往是與哲學交織在一起的，古希臘的自然哲學乃是古代自然科學的一種特殊形態，雖然有許多錯誤的東西，但也有不少合理的知識和包含著合理成分的猜測．恩格斯說：“在希臘哲學的多種多樣的形式中，差不多可以找到以后各種觀點的胚胎、萌芽．因此，如果理論自然科學想要追溯自己今天的一般原理發生和發展的歷史，它就不得不回到希臘人那里去．”

第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一古希臘數學表現出很強的理性精神，追求哲學意義上的真理．在公元前3、4百年的時候，他們的數學思想中就已經涉及到了無限性、連續性等深刻的概念．經過古埃及和巴比倫人長期積累數學知識的萌芽時期以后，古希臘人把數學推進到了一個嶄新的時代．古希臘數學不僅有十分輝煌的研究成果，而且提出了數學的基本觀點，建立數學理論的方法，給以后的數學發展提供了堅實的基礎．

第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一泰勒斯確定了幾條最早的幾何定理

等腰三角形兩底角相等

如果兩個三角形有一邊及這邊上的兩個角對應相等，那么這兩個三角形全等

直角彼此相等

兩條直線相交時，對頂角相等

圓的直徑平分圓周

第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一萬物皆數畢達哥拉斯學派認為世界萬物都是數，最重要的數是1、2、3、4，而10則是理想的數；相應地，自然界由點（一元）、線（二元）、面（三元）和立體（四元）組成。他們認為自然界中的一切都服從于一定的比例數，天體的運動受數學關系的支配，形成天體的和諧。

第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一理論算術（數論的雛形）

完全數、過剩數（盈數）、不足數（虧數）分別表現為其因數之和等于、大于、小于該數本身（規定因數包括1但不包括該數自身）。他們發現的前幾個完全數是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。而220和284則是一對親和數，因為前者的因數和等于284，后者的因數和等于220。

第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一后來，在數學中尋找完全數就成為一項任務來研究.在前八千多正整數中只有4個完全數,6、28、496、8128,第五個完全數在1538年才找到:33550336,50年后發現第六個完全數:8589869056.2005年發現第42個梅審素數，從而有了第42個完全數。第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一幾何成就

使幾何學從經驗上升到理論的關鍵性貢獻應歸功于畢達哥拉斯學派。他們基本上建立了所有的直線形理論，包括三角形全等定理、平行線理論、三角形的內角和定理、相似理論等。

第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一正多邊形和正多面體畢達哥拉斯學派掌握了正多邊形和正多面體的一些性質。他們發現，同名正多邊形覆蓋平面的情況只有三種：正三角形、正方形、正六邊形，而且這些正多邊形個數之比為6：4：3，邊數之比則為3：4：6。

畢達哥拉斯學派的另一項幾何成就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。三維空間中僅有五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一正五邊形與五角星在五種正多面體中，除正十二面體外，每個正多面體的界面都是三角形或正方形，而正十二面體的界面則是正五邊形。正五邊形作圖與著名的“黃金分割”有關。五條對角線中每一條均以特殊的方式被對角線的交點分割。據說畢達哥拉斯學派就是以五角星作為自己學派的標志的。第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一勾股數畢達哥拉斯數：一般形式之一：第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一無理數的發現畢達哥拉斯學派的信條是“萬物皆數”，這里的數實際上是指正的有理數。傳說，畢達哥拉斯學派成員希帕蘇斯（Hippasus，公元前470年左右）發現了“不可公度比”的現象，并在一次航海時公布了他的想法，結果被恐慌的畢達哥拉斯學派的其他成員拋進了大海。項武義教授的一項研究認為，希帕蘇斯首先發現的是正五邊形邊長與對角線長不可公度。第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一第一次數學危機不可公度比的發現使畢達哥拉斯學派對許多定理的證明都不能成立。

例：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底邊之比。

ABCDE第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一新比例論100多年后，歐多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例論”，才用回避的方法暫時消除了“第一次危機”。新比例定義：設A、B、C、D是任意四個量，其中A和B同類（即均為線段、角或面積），C和D同類，若對任意兩個（正）整數m和n，mA與nB的大小關系，取決于mC與nD的大小，則稱A：B=C：D。

第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一柏拉圖學園柏拉圖（Plato，公元前427-347年）是當時最著名的希臘哲學家之一，雖然他不是數學家，但熱心于數學科學，在柏拉圖學園的門口掛著牌子：“不懂幾何者免進”。值得注意的是，公元前四世紀的重要數學工作幾乎都是柏拉圖的朋友和學生做的。與柏拉圖學園有聯系的歐多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是這一時期最大的數學家，他在幾何學上的研究成果，后來有些收入了歐幾里得的《幾何原本》。

第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一亞里士多德亞里士多德（Aristotle，公元前384-322年）是柏拉圖的學生和同事，相處達20年之久，公元前335年成立了自己的學派，以后曾是馬其頓王亞列山大的老師。他是古典希臘時期最偉大的思想家，他的一些思想在數學史上影響很大。第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一形式邏輯的建立亞里士多德不象柏拉圖那樣只崇尚思辨，而是重視觀察、分析和實驗性的活動（如解剖）。亞里士多德是古希臘學者中最博學的人，是古代百科全書式的自然科學家，也是對近代自然科學影響最大的古代學者。他的著作甚多，在自然科學方面主要有《物理學》、《論產生和消滅》、《天論》、《氣象學》、《動物的歷史》、《論動物的結構》等。

第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一形式邏輯的建立亞里士多德創立了以三段論為中心的形式邏輯系統。他認為科學需要歸納，由特殊的事例過渡到一般命題，更需要用邏輯的推理由前提演繹出它的推論。亞里士多德的邏輯學著作后來被匯編為《工具論》，對阿基米德、歐幾里得等人的研究有重要影響。古典希臘時期的希臘人已經掌握了大量初等幾何性質，加上亞里士多德建立了形式邏輯，這些都為形成一門獨立的初等幾何的理論科學作好了充分的準備。第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一亞歷山大時期的數學從公元前330年左右到公元前30年左右，希臘數學的中心從雅典轉移到了埃及的亞歷山大城。亞歷山大帝國一分為三后，托勒密帝國統治希臘埃及，其首都亞歷山大城成為希臘文化的中心。

托勒密一世曾經是亞里士多德的學生，他在執政后修建了繆斯藝術宮，這實際上是一個大博物館，收藏的圖書和手稿據說有50—70萬卷。當時的許多著名學者都被請到亞歷山大里亞，用國家經費供養著。

第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一這一時期思辯猜測已不盛行，觀察、計算及定量分析的方法開始流行。天文學家阿利斯塔克（公元前310—230），通過對日、月、地的體積和相對距離的觀測和計算作出了日心說的猜測。他通過測量角度推算出太陽直徑比地球大六、七倍，并斷定小天體（地球等）應圍繞大天體（太陽）旋轉。盡管他的計算很不精確，但思維方式是重要的。著名天文地理學家、數學家埃拉托色尼（約公元前284—192）根據太陽在兩個地方投影角之差，計算出地球的周長是24662英里（現在算出的通過地球南北極的周長為24819英里），他繪制了世界地圖，并標明了經緯線以及寒帶、熱帶和溫帶。

第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一歐幾里得與《幾何原本》歐幾里得（約公元前330—260），應托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學派的奠基人。歐幾里得系統地整理了以往的幾何學成就，寫出了13卷《原本》，歐幾里得的工作不僅為幾何學的研究和教學提供了藍本，而且對整個自然科學的發展有深遠的影響。愛因斯坦說：“西方科學的發展是以兩個偉大的成就為基礎的，那就是：希臘哲學家發明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學中），以及通過系統的實驗發現有可能找到因果關系（在文藝復興時期）。”

第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一公理化方法公理化方法：從一些基本的概念和公理出發，利用純邏輯推理的方法，把一門學科建立成演繹系統的方法。后來的許多著作都仿照這種格式寫成，如牛頓的《自然哲學的數學原理》等。第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一《幾何原本》的影響《幾何原本》對后來數學思想有重要影響。其一：公理化思想；其二：幾何直觀與嚴格邏輯推理的結合使歐幾里得幾何長期被認為是最正宗的數學知識，笛卡兒在發明了解析幾何后仍堅持對每一個幾何作圖給出綜合證明，牛頓在第一次公開他的微積分發明時也要對這一算法作出幾何解釋；其三：導致非歐幾何的誕生。

第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一阿基米德的數學成就阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大跟歐幾里得的學生學習過，離開亞歷山大后仍與那里的師友保持聯系，他的許多成果都是通過與亞歷山大學者的通信而保存下來的。因此，阿基米德通常被看成是亞歷山大學派的成員。阿基米德的著作很多，內容涉及數學、力學及天文學等。

第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一“窮竭法”與“平衡法”窮竭法是安蒂豐首先使用，并被古希臘數學家普遍用來證明面積和體積的方法。窮竭法可以用來嚴格證明已經猜想出來的命題，但不能用來發現新的結果。阿基米德發明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結合是嚴格證明與創造技巧相結合的典范。

第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一球的體積阿基米德用“平衡法”推導了球體積公式。刻在阿基米德墓碑上的幾何圖形代表了他所證明的一條數學定理：以球的直徑為底和高的圓柱，其體積是球體積的3/2，其表面積是球面積的3/2。第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進行比較，而后一組的總和比較容易計算。因此，“平衡法”實際上體現了近代積分法的基本思想，是阿基米德數學研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格的證明。

第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一用平衡法求球的體積球切片體積錐切片體積柱切片體積左力矩=右力矩=左力矩=4×右力矩P球錐的切片xN第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一用平衡法求球的體積將球、圓錐、圓柱均完全分割成厚度為△x的薄片，并將所有球與圓錐的薄片都掛到P點，圓柱薄片都留在原處。左力矩和=（球體積+錐體積）×2R

右力矩和=柱體積×R（球體積+錐體積）×2R=4×柱體積×R球體積=2×柱體積－錐體積第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一與歐幾里得相比，阿基米德可以說是一位應用數學家。在《論浮體》中論述了浮力原理、在《論平面圖形的平衡或其重心》中論述了杠桿原理。曾設計了一組復雜的滑車裝置，使敘拉古國王親手移動了一只巨大的三桅貨船，他說：“給我一個支點，我可以移動地球”。在保衛敘拉古的戰斗中發明了許多軍械如石炮、火鏡等。后被羅馬士兵殺害，死時75歲。傳說曾下令不要殺死阿基米德的羅馬主將馬塞呂斯事后特意為阿基米德建墓。

第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線論》阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生學習，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數學成就是在前人工作的基礎上創立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。

第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一《圓錐曲線論》全書共8卷，含487個命題。在阿波羅尼奧斯之前，希臘人用三種不同圓錐面導出圓錐曲線，阿波羅尼奧斯則第一次從一個對頂圓錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的名稱：虧曲線、齊曲線、盈曲線（李善蘭翻譯時取意譯名橢圓、拋物線、雙曲線）。《圓錐曲線論》可以說是希臘演繹幾何的最高成就。幾何學的新發展要到17世紀笛卡兒等人的解析方法出現后才得以來臨。

第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一阿波羅尼奧斯用統一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質的廣泛討論，內容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數等。《圓錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關于圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述，則包含了射影幾何學的萌芽思想。

第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期一羅馬時期的數學成就海倫（Heron，前1世紀—公元1世紀）推導出求三角形面積的海倫公式。托勒密（Ptolemy約100—170）的地球中心學說。托勒密利用大量的觀察資料，進行浩繁的計算，寫出八卷本的《大綜合論》，詳細論述了太陽系和宇宙以地球為中心的學說。在托勒密的地心說中，行星是繞著一種數學上的點（本輪中心）運動的，而這些點又位于均輪上圍繞地球運轉。托勒密的地心說雖然不反映宇宙