第五節矩陣的初等變換第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．一、矩陣的初等變換初等行變換與初等列變換統稱為初等變換。2第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．逆變換逆變換逆變換注意：3第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一等價關系的性質：

如果矩陣B可以由矩陣A經過有限次初等變換得到，則稱矩陣A和B為等價的，記作

定義２4第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

例15第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一二、矩陣的標準型1、行階梯形矩陣特點:(1)可畫出一條階梯線，線的下方全是0(2)每個臺階只有一行，臺階數就是非0行的行數(3)階梯線的豎線后面的第一個元素非0。稱為首非零元6第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一7第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一2、行最簡形矩陣特點:(1)可畫出一條階梯線，線的下方全是0(2)每個臺階只有一行，臺階數就是非0行的行數(3)階梯線的豎線后面的第一個元素非0(4)非零行的首非零元為1(5)首非零元所在的列其余元素全為08第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一D稱為原矩陣A的標準形3、標準形矩陣9第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一定理1任意一個矩陣A經過有限次初等變換，可以化為下列標準形矩陣推論1若方陣A可逆，則它的標準形必為單位矩陣10第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一將下面矩陣化為標準形.例2解11第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一12第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一定義３由單位矩陣E經過一次初等變換，得到的矩陣稱為初等矩陣。三、初等矩陣初等矩陣有下列3種:13第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一(1)對E施以第(1)種初等變換得到的矩陣.i行i列j行j列E3(1,2)=如：14第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一(2)對E施以第(2)種初等變換得到的矩陣.如E3(2(k))=15第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一(3)對E施以第(3)種初等變換得到的矩陣.如16第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一(2)對A施以某種初等列變換,相當于用同種的n階初等矩陣右乘A.(1)對A施以某種初等行變換,相當于用同種的m階初等矩陣左乘A.定理

設A為階矩陣，例317第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一定理3可逆矩陣能表成一些初等矩陣的乘積。

四、求逆矩陣的初等變換法：方法：18第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一

解例419第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一20第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一五、用初等變換法求解矩陣方程.同理：方法：21第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一例5解22第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一23第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一24第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一例6解假設矩陣A和B滿足關系式：

其中

求矩陣B。

25第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一26第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期一于是因此27第二十七頁，