第九章雙因素和多因素方差分析b第一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一本章內容9.1兩因素方差分析中的基本概念9.2固定模型9.3隨機模型9.4混合模型9.5兩個以上因素的方差分析9.6缺失數據的估計9.7變換第二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.1兩因素方差分析中的基本概念9.1.1模型類型交叉分組設計(crossoverdesign)：假設A藥物有a水平，B藥物有b水平，有ab個劑量混合，每組重復n次。共有abn名病人參加實驗。對于兩因素交叉分組設計的實驗要采用兩因素方差分析固定模型：兩因素實驗中，兩個因素都是固定因素時；隨機模型：兩因素實驗中，兩個因素都是隨機因素時；混合模型：兩因素實驗中，一個因素是固定因素，另一個是隨機因素時。第三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.1.2主效應與交互作用主效應(maineffect):因素水平的改變造成因素效應的改變，稱該因素的主效應。A1A2B11824B23844A因素的主效應為(24+44)/2-(18+38)/2=6第四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.1.2主效應與交互作用9.1.2主效應與交互作用交互作用(interaction):某一因素在另一因素不同水平上產生的效應不同，則兩因素間存在交互作用。A1A2B11828B23844交互作用的大小用A1B1+A2B2-A1B2-A2B1來估計A(在B1的水平上)=A2B1-A1B1A(在B2的水平上)=A2B2-A1B2第五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一當A、B間不存在交互作用時，從B1變化到B2不以A水平的變化而改變，所以B1-B1，B2-B2兩線平行(圖9-1a);當存在交互作用時，A的效應依B的水平而不同，所以B1-B1，B2-B2

兩線不平行(圖9-1b)。第六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.1.3兩因素交叉分組實驗設計的一般格式兩因素實驗的典型設計：假定A因素有a水平，B因素有b水平，則每一次重復有ab次實驗，設試驗重復n次，則試驗總次數為abn。數據以表9-1的形式出現。第七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

表9-1中，xi..表示A因素第i水平的所有觀測值的和；x.j.表示B因素第j水平的所有觀測值的和；xij.表示A的第i和B的第j水平的所有觀測值的和；x…表示所有觀測值的和。第九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.2固定模型9.2.1線性統計模型觀測值可以用以下線性統計模型描述：其中是總平均效應；i是A因素第i水平的處理效應；βj是B因素第j水平的處理效應；(αβ)ij

是交互作用效應，

εijk為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，σ2)。

第十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一兩因素交叉分組設計中，固定模型方差分析的零假設為：

第十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.2.2平方和與自由度的分解A因素引起的平方和SSA，B因素引起的平方和SSB，A、B交互作用引起的平方和SSAB及誤差平方和分別是：第十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一相應的自由度為：相應均方為：

第十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.2.3均方期望與統計量F的確定第十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.2.4平方和的簡易計算方法將(9.9)~(9.11)變形得：其中為校正項，用C表示。誤差平方和是通過計算重復間平方和得到的。(9.13)可以改寫為：

第十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一交互作用平方和為：例9.1

第十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.2.5無重復實驗時的兩因素方差分析觀測值的線性模型：

Σαi=Σβj=0;第十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

例9.2第十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

9.2.6交互作用的判斷(Tukey,1949)將殘余項平方和(SST-SSA-SSB)分解為具有1自由度的非累加（交互作用）的成分和具(a-1)(b-1)-1自由度的誤差成分：例9.3第二十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.2.7多重比較固定效應模型中，如果主效應顯著，還應該在每一因素（例如A)的各水平的平均數之間做多重比較，仍然使用Duncan多范圍檢驗；如果交互作用顯著，則將B固定在某一水平，在該特定水平上，比較A因素各水平的平均數。例如，將例9.1中的A因素固定在第二種原料上，比較不同溫度對產量的影響。將產量依次排序：第二十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

如果考慮交互作用的話，就要比較全部ab次處理，才能得出哪些差異是顯著的。這樣比較的結果不僅包括主效應，而且包括交互作用。第二十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.3隨機模型9.3.1線性統計模型隨機模型的線性統計模型如下:

第二十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.3.2均方期望與統計量F的確定

方差分析與固定模型的分析一樣，分別計算出SST，SSA，SSB，SSe。各均方的數學期望分別為：

從均方的數學期望可以看出，的檢驗統計量是：第二十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第二十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

隨機分析模型的方差分析表：例9.4第二十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.4混合模型9.4.1線性統計模型

混合模型中，每一觀測值xijk的線性統計模型為：其中αi是固定效應，βj是隨機效應，交互作用(αβ)ij為隨機效應。Σαi=0，βj是服從N(0，)的隨機變量。交互作用效應是平均數為0，方差為正態隨機變量。因為固定因素的全部交互作用效應之和為0，所以在固定因素的某個水平上，交互作用的成分不是獨立的。第二十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.4.2均方期望與統計量F的確定第二十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一固定因素效應的估計為：例9.5第二十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一在隨機模型和混合模型中，不設置重復，同樣會有固定模型中的問題，即因素間的交互作用與實驗誤差無法區分，全部歸于誤差項。特別是在混和模型中，隨機因素的個水平之間存在的差異，往往檢查不出來，結果降低了實驗的可靠性。因而，在條件允許的情況下，不論哪種模型，最好都設置重復。第三十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.5兩個以上因素的方差分析9.5.1平方和與自由度分解的一般規律將兩種方式分組的方差分析，擴展到一般情況。例如，在一個實驗中，A因素有a水平，B因素有b水平，C因素有c水平，假設每一處理都有n次重復(n≥2)，那么總觀測次數為abcn，線性統計模型為：第三十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第三十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一自由度的分解：

dfA=a-1dfB=b-1dfC=c-1dfAB=(a-1)(b-1)dfAC=(a-1)(c-1)dfBC=(b-1)(c-1)dfABC=(a-1)(b-1)(c-1)dfe=abc(n-1)第三十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.5.2均方期望的表格化推演表格法推演均方期望有以下規定：1.線性統計模型中誤差εijk的下標寫為ε(ij)k，括號內的下標為死下標(deadsubscript);括號外的下表為活下標(livesubscript)。αi,βi，(αβ)ij中的下標都為活下標；2.固定模型中各因素的效應分別用該模型分量的平方和除以自由度表示；3.隨機模型中各因素的效應分別用以希臘字母為下標的方差表示；4.混合模型中，交互作用的兩個因素只要有一個是隨機的，則交互作用是隨機的，其方差分量記為σ2αβ；5.不論哪種模型，誤差的方差一律極為σ2.第三十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一以固定模型為例，說明推演步驟：第三十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第三十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.5.3統計量F的確定一般規律：為了得到檢驗某個因素或某個交互作用的統計量，在計算F時分子均方的組成比分母均方的組成僅多出欲檢驗的分量(固定因素)或方差分量(隨機因素)，除此之外的其他成分應完全相同。以三因素交叉分組實驗的方差分析為例，說明檢驗統計量的確定。線性統計模型為：第三十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一設A、C為固定因素，B為隨機因素，構成混合模型，各均方期望由下表給出第三十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一交互作用的檢驗統計量分別為：三個主效應的檢驗統計量分別為：第三十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.6缺失數據的估計實驗過程中，由于意外原因，使全部數據中的一個或兩個缺失，又沒有重做實驗的可能性，可以采用補救。補救原則：補上缺失的數據以后，所得到的誤差平方和最小。第四十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.6.1缺失一個數據設表9-13中x23是缺失的第四十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

為了使SSe達到最小，令，則可以計算出x=2159.6.2缺失兩個數據

設表9-14中缺失x23和x42，分別稱為x和y。

第四十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一方程的解，即為x和y的值從而，x=213.55,y=366.05第四十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.6.3缺失數據資料的方差分析缺失數據的估計，可以使計算得以完成，但并不能提供更多的信息。因此，實驗工作一定要認真操作，數據要仔細記錄。由于缺失數據是估計值，當缺失一個數據時，總自由度和誤差自由度都相應減1，但A、B兩因素各自的自由度不變。同樣，缺失兩個數據時，總自由度和誤差自由度都相應減2。如果缺失數據不是很多，對處理平均數之間的檢驗影響不大，在缺失數據估計出來之后，按照一般方法進行方差分析，只要將總自由度和誤差自由度減去缺失數據個數即可。第四十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.7變換方差分析應該滿足三個條件：可加性、正態性和方差齊性。數據變換的目的主要是滿足方差齊性的要求，同時正態性和可加性都可以得到較好的滿足。9.7.1平方根變換此法適用于各組均方與其平均數之間有某種比例關系的資料，尤其適用于總體呈泊松分布的資料。轉換的方法是求出原數據的平方根。第四十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

若原觀測值中有為0的數或多數觀測值小于10，則把原數據變換成。對于穩定均方，使方差符合同質性的作用更加明顯。變換也有利于滿足效應可加性和正態性的要求。

9.7.2反正弦變換(arcsinetransformation)

反正弦轉換也稱角度轉換。此法適用于服從二項分布的資料。轉換的方法是求出每個原數據平方根的(用百分數或小數表示)的反正弦，轉換后的數值是角度值。第四十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一9.7.3對數變換(logarithmictransformation)

如果各組數據的標準差與其平均數的平方大體成比例，或者效應為相乘性或非相加性，則將原數據變換為對數(lgx)后，可以使方差變成比較一致而且使效應由相乘性變成相加性。如果原數據包括有0，可以采用lg(x+1)變換的方法。第四十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一謝謝第四十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一例9.1為了從3中不同原料和3中不同發酵溫度中，選出最適宜的條件，設計了一個兩因素試驗，并得到表9-3(P125)。在這個實驗中，溫度和原料均為固定因素。每一處理有4次重復。將表中的每一位數字減去30，列成表9-4.1。第四十九頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一利用xij.列，列成表9-4.2。由表9-4.1可以計算出第五十頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

由表9-4.2可以計算出第五十一頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一

列成方差分析表原料和溫度在α=0.01水平上拒絕H0，交互作用在α=0.05水平上拒絕H0。因此，酒精的產量，不僅與原料及發酵溫度有關，而且與兩者的交互作用有關。第五十二頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一圖9-2為原料與溫度的交互作用，可以明顯看出3條折線的非平行關系。在30oC時，原料2的產量高于原料3，而當35oC時原料2的產量反而低于原料3。因此，在選擇因素的最優水平時，一定要考慮交互作用的影響。

第五十三頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一由于存在交互作用，在固定模型中，每一處理都應設置重復。重復之間的平方和為誤差平方和。有了誤差平方和，才能把交互作用從總平方和中分解出來。如果不設重復，所得到的殘余項平方和，包括由誤差及交互作用兩部分所引起的平方和，σ2和η2αβ混雜在一起無法分開。因此在因素間存在交互作用時，不設重復是無意義的。▲第五十四頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一F1，8，0.05=5.32，F<F0.05。因此，沒有充分根據說明數據見存在交互作用。

▲第五十五頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一例9.2題目及相關數據見P127

解密度和施肥量都是固定因素。根據經驗，密度與施肥量之間不存在交互作用。將表9-6中每個xij減去700，列成表9-7。第五十六頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一第五十七頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一結論是，密度間的產量差異在α=0.05水平上顯著；施肥量之間的差異在α=0.01的水平上顯著。再經過多重比較，便可以從選定的水平中選出最佳密度和最佳施肥量。▲第五十八頁，共六十六頁，編輯于2023年，星期一例9.3判斷例9.2中密度與施肥量是否存在交互作用。解根據表9-7中的數據，得代入9.23式，得

第五十九頁，共六十六頁，編