第二章圓錐曲線§4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系4.1直線與圓錐曲線的交點(diǎn)課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1．直線與圓錐曲線的交點(diǎn)．(掌握)2．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．(掌握)1．類比兩直線、直線與圓的交點(diǎn)、理解兩曲線的交點(diǎn)，即以兩曲線方程組成的方程組成的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)．2．曲線的位置關(guān)系有多種，在初學(xué)階段應(yīng)當(dāng)打好基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)研究的方法．本節(jié)主要講最基本的、最有代表性的關(guān)系——直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．3．類比直線與圓的位置關(guān)系及其判定，把握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，特別是直線與拋物線、雙曲線的位置關(guān)系.必備知識(shí)·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測(cè)·固雙基必備知識(shí)·探新知將直線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，計(jì)算判別式Δ.當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，直線與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，直線與橢圓相離．知識(shí)點(diǎn)1直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的位置關(guān)系將直線方程與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元方程．(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于零時(shí)，①若一元方程有唯一實(shí)數(shù)解，則直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)，直線與雙曲線相交，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行；②若一元方程無(wú)實(shí)數(shù)解，則直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，直線與雙曲線相離，此時(shí)直線即為雙曲線的一條漸近線．知識(shí)點(diǎn)2直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的位置關(guān)系(2)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于零時(shí)，計(jì)算判別式Δ，則Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與雙曲線相交；Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)，直線與雙曲線相切；Δ<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，直線與雙曲線相離．將直線方程與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元方程．(1)當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)等于零時(shí)，一元方程為一元一次方程，且有唯一實(shí)數(shù)解，此時(shí)直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，直線與拋物線相交，即直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合．知識(shí)點(diǎn)3直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的位置關(guān)系(2)當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零時(shí)，一元方程為一元二次方程，計(jì)算判別式Δ，則Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物線相交；Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，直線與拋物線相切；Δ<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn)，直線與拋物線相離．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究

已知探照燈燈罩的軸截面是拋物線y2＝x，如圖，平行于x軸的光線照射到拋物線上的點(diǎn)P(1，－1)，反射光線過(guò)拋物線焦點(diǎn)F后又照射到拋物線上的點(diǎn)Q，試確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．[分析]

求出直線PF的方程，與拋物線方程聯(lián)立即得．題型一求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)典例1[規(guī)律方法]

求直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得方程組，解方程組即得交點(diǎn)的坐標(biāo)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】?

拋物線3y2＝x的焦點(diǎn)為F，A在拋物線上，A點(diǎn)處的切線與AF的夾角為30°，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)____.

已知直線l：kx－y＋2－k＝0，雙曲線C：x2－4y2＝4，當(dāng)k為何值時(shí)，(1)l與C無(wú)公共點(diǎn)；(2)l與C有唯一公共點(diǎn)；(3)l與C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．題型二直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷典例2[規(guī)律方法]

判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(或x)得一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)當(dāng)a≠0時(shí)，若Δ>0，則直線l與曲線C相交；若Δ＝0，則直線l與曲線C相切；若Δ<0，則直線l與曲線C相離．(2)當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線l與曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)，若C為雙曲線，則l平行于雙曲線的漸近線；若C為拋物線，則l平行于拋物線的對(duì)稱軸．(3)當(dāng)直線與雙曲線或拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線或拋物線可能相切，也可能相交．易錯(cuò)警示誤認(rèn)為直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)只有直線與拋物線相切的情況而至誤

過(guò)定點(diǎn)P(－1，1)，且與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程為_(kāi)__________________________________________________.典例3[辨析]

錯(cuò)解中忽略了與拋物線對(duì)稱軸平行的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況，故產(chǎn)生漏解．課堂檢測(cè)·固雙基A

2．過(guò)點(diǎn)(0，1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有

(

)A．1條 B．2條C．3條 D．4條[解析]

∵點(diǎn)(0，1)在拋物線y2＝4x外部，∴過(guò)點(diǎn)(0，1)與拋物線y2＝4x相切的