第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末整合提升要點(diǎn)專項(xiàng)突破知識(shí)體系構(gòu)建知識(shí)體系構(gòu)建要點(diǎn)專項(xiàng)突破利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時(shí)關(guān)鍵是搞清所給的點(diǎn)是不是切點(diǎn)，常見的類型有兩種，一是求“在某點(diǎn)處的切線方程”，則此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，先求導(dǎo)，再求斜率代入直線方程即可得；另一類是求“過某點(diǎn)的切線方程”，這種類型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)·(x－x1)，再由切線過點(diǎn)P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值．即求出了過點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程.要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是___________．典例1(e，1)

典例25x－y＋2＝0

1．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解題過程中，只能在定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．特別要注意寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開，絕對(duì)不能用“∪”連接．要點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值(2)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值的關(guān)系函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，若f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增；若f′(x)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減．反之，若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0.即f′(x)>0(f′(x)<0)是f(x)為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．典例32．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(1)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值應(yīng)注意三點(diǎn)①求單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)先求函數(shù)的定義域，遵循定義域優(yōu)先的原則；②f′(x0)＝0時(shí)，x0不一定是極值點(diǎn)；③求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)分類討論． (2022·山東威海高三檢測)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點(diǎn)P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2時(shí)有極值．(1)求f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值．[分析]

(1)要求f(x)的解析式，需確定a，b，c的值，為此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出過P點(diǎn)的切線方程，結(jié)合f′(－2)＝0求解．(2)通過解不等式f′(x)>0，f′(x)<0求出單調(diào)區(qū)間，從而確定最大值．典例4[解析]

(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝3＋2a＋b，過曲線上P點(diǎn)的切線方程為y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.已知該切線方程為y＝3x＋1，[規(guī)律方法]

求函數(shù)的最值的方法步驟(1)求函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較得出函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值．1．已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以有兩種方法，一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，二是利用導(dǎo)數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)法更為簡捷．在解決問題的過程中要處理好等號(hào)的問題，因?yàn)閒′(x)>0(或

f′(x)<0)僅是一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充分不必要條件，而其充要條件是

f′(x)≥0(或

f′(x)≤0)，且使f′(x)＝0的點(diǎn)是有限的．要點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍2．利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題時(shí)可以有兩個(gè)基本思路：一是將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分離參數(shù)法或利用函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝”時(shí)是否滿足題意；另一思路是先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再令參數(shù)取“＝”，看此時(shí)f(x)是否滿足題意．典例5若要證明不等式f(x)>g(x)，通常可構(gòu)造函數(shù)φ(x)＝f(x)－g(x)，只需證φ(x)>0，由此轉(zhuǎn)化為求φ(x)的最小值問題，可借助于導(dǎo)數(shù)解決；若要證明不等式f(x)>a(a為常數(shù))，通常需證明f(x)為增函數(shù)，且

f(x)min>a.要點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例6即時(shí)鞏固C

C

3．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝ax2－x.若經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)存在一條直線l與曲線y＝f(x)和y＝g(x)都相切，則a＝ (

)A．－1

B．1C．2

D．3B

二、填空題4．函數(shù)y＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值為_____．5．(2022·全國新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是_________________________．(－∞，－4)∪(0，＋∞)

三、解答題6．(2021·全國乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函數(shù)y＝xf(x)的極值點(diǎn)．(1)求a；∵x<0，ln(1－x)>0,∴xln(1－x)<0，即證x＋ln(1－x)>xln(1－x)，化簡得x＋(1－x)ln(1－x)>0；令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)，再令t＝1－x，則t∈(0，1)∪(1，＋∞)