第3題客觀題中的平面向量問(wèn)題一、原題呈現(xiàn)【原題】在中,點(diǎn)D在邊AB上,．記,則A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：因點(diǎn)D在邊AB上,且,所以,即,所以=．故選B．解法二：設(shè),因?yàn)楣簿€(xiàn),所以,排除C,D,結(jié)合圖象及三角形法則,可得,排除A,故選B.【就題論題】本題以向量的線(xiàn)性運(yùn)算為載體進(jìn)行命題，考查知識(shí)單一，仍屬于容易題，在解法二中用到了一個(gè)常用結(jié)論：若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，且點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)，則λ＋μ＝1.該結(jié)論在解題中時(shí)常用到，若能熟練使用，可縮短求解過(guò)程，提高解題速度。二、考題揭秘【命題意圖】本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易.【考情分析】高考全國(guó)卷中每年都會(huì)有一道平面向量客觀題,熱點(diǎn)是平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算及平面向量的數(shù)量積,可以是容易題,也可以是中等難度題,中等難度題常用平面幾何、不等式等知識(shí)交匯考查.【得分秘籍】1.對(duì)平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行，即對(duì)任意的向量a，都有0∥a，這里注意概念中提到的“非零向量”.(2)對(duì)于任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線(xiàn)段來(lái)表示，并且與有向線(xiàn)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).在平面上，兩個(gè)長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線(xiàn)段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定的.(3)相等向量是平行(共線(xiàn))向量，但平行(共線(xiàn))向量不一定是相等向量.2.對(duì)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的三點(diǎn)說(shuō)明(1)兩個(gè)法則的使用條件不同.三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線(xiàn)的向量求和.(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線(xiàn)時(shí)，兩個(gè)法則是一致的.(3)在使用三角形法則時(shí)要注意“首尾相連”，在使用平行四邊形法則時(shí)需要注意兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同.3.向量共線(xiàn)定理向量a(a≠0)與b共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.4.兩個(gè)常用結(jié)論：(1)若P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)，則λ＋μ＝1.5.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線(xiàn)的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．解讀：對(duì)平面向量基本定理的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)作用和意義平面向量基本定理告訴我們，平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線(xiàn)的方向分解成兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的.(2)基底的性質(zhì)：①不共線(xiàn)性平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同.由于零向量與任何向量共線(xiàn)，所以零向量不可以作為基底.②不唯一性對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線(xiàn)性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的6.平面向量的數(shù)量積(1)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量,e是單位向量,θ為a與b(或e)的夾角．則=1\*GB3①e·a＝a·e＝|a|cosθ.=2\*GB3②a⊥b?a·b＝0.=3\*GB3③當(dāng)a與b同向時(shí),a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí),a·b＝－|a||b|.特別地,a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).=4\*GB3④cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).=5\*GB3⑤|a·b|≤|a||b|.(2)平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示=1\*GB3①設(shè)向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),則a·b＝x1x2＋y1y2,由此得到若a＝(x,y),則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).=2\*GB3②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)間的距離AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.=3\*GB3③設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.=4\*GB3④若a,b都是非零向量,θ是a與b的夾角,則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(3)兩個(gè)向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b不共線(xiàn)；兩個(gè)向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0且a,b不共線(xiàn)．(4)平面向量數(shù)量積求解問(wèn)題的策略=1\*GB3①求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|),要注意θ∈[0,π]．=2\*GB3②兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.=3\*GB3③求向量的模：利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法有：a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a);|a±b|＝eq\r(a2±2a·b＋b2);若a＝(x,y),則|a|＝eq\r(x2＋y2).7.向量與平面幾何的綜合問(wèn)題,往往要數(shù)形結(jié)合,借助平面幾何的知識(shí)解題．(2)根據(jù)數(shù)量積求模或參數(shù)的值(范圍)問(wèn)題的一般方法：①基底法,②坐標(biāo)法．8.向量與函數(shù)、三角函數(shù)的綜合題,多通過(guò)考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算、向量共線(xiàn)的充要條件、平面向量的基本定理及數(shù)量積等來(lái)直接考查函數(shù)的基本概念,函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),三角變換等內(nèi)容．此類(lèi)題目中,向量往往是條件的載體,題目考查的重點(diǎn)仍是函數(shù)、三角函數(shù),熟練掌握向量的概念和基本運(yùn)算是解決問(wèn)題的前提．若題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,運(yùn)用向量共線(xiàn)或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解．若給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的模或者其他向量的表達(dá)形式,解題思路是經(jīng)過(guò)向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等．9.向量在解析幾何中的“兩個(gè)”作用：(1)載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題．(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a,b為非零向量),a∥b?a＝λb(b≠0),可解決垂直、平行問(wèn)題,特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較優(yōu)越的方法．【易錯(cuò)警示】1.混淆向量平行與直線(xiàn)平行，注意∥，點(diǎn)可能共線(xiàn)2.忽略零向量與任意向量都平行，如誤認(rèn)為，忽略的情況，又如在平面向量基本定理中忽略。3.a⊥b?x1x2＋y1y2＝0與a∥b?x1y2-x2y1＝0混淆4.誤認(rèn)為兩個(gè)向量a,b的夾角為銳角?a·b>0；兩個(gè)向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0．5.與平面幾何有關(guān)的向量問(wèn)題,向量的夾角求錯(cuò),如△ABC中誤認(rèn)為夾角為.三、三年新高考同類(lèi)題展示1.（2022新高考全國(guó)2卷）已知向量,若,則A. B. C.5 D.62．（2021新高考全國(guó)1卷）已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,,,則A．B．C．D．3.（2021新高考全國(guó)2卷）已知向量,,,_______．4.（2020新高考山東卷）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),則的取值范用是（）A. B.C. D.四、以例及類(lèi)（以下所選試題均來(lái)自新高考1卷地區(qū)2022年1月以后模擬試卷）1．（2023屆湖北省九師聯(lián)盟高三上學(xué)期8月考試）已知平面向量，滿(mǎn)足，，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．2．（2023屆江蘇省南京市高三上學(xué)期7月學(xué)情調(diào)研）在中，記，則（）A． B． C． D．3．（2023屆湖南省部分校高三上學(xué)期入學(xué)檢測(cè)）已知邊長(zhǎng)為2的等邊為其中心，對(duì)①；②；③；④這四個(gè)等式，正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023屆江蘇省南京市六校聯(lián)合體高三上學(xué)期8月聯(lián)合調(diào)研）若非零向量，滿(mǎn)足，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．5．（2023屆廣東省廣州市真光中學(xué)高三上學(xué)期8月開(kāi)學(xué)考試）如圖，在中，，，則（）A． B． C． D．26．（2022屆福建省漳州市高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知是邊長(zhǎng)為正三角形，為線(xiàn)段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為（）A． B．C． D．7．（2022屆河北省衡水市部分學(xué)校高三下學(xué)期3月聯(lián)考）已知單位向量與向量垂直，若向量滿(mǎn)足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．（2022屆山東省德州市高三三模）已知平面向量，，且非零向量滿(mǎn)足，則的最大值是（）A．1 B． C． D．29．（2022屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)等十六校高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）??是等腰直角三角形（）內(nèi)的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．10．（多選）（2022屆湖北省部分學(xué)校高三下學(xué)期5月適應(yīng)性考試）已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則的值為B．若則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則11．（多選）（2022屆福建省三明市第一中學(xué)高三5月質(zhì)量檢測(cè)）已知向量，，其中，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若與的夾角為鈍角，則 D．若，向量在方向上的投影為12．（多選）（2022屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期4月二模）關(guān)于平面向量，下列說(shuō)去不正確的是（）A．若，則 B．C．若，則 D．13．（多選）（2022屆江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期5月模擬）已知點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若在圓上存在，兩點(diǎn)，使得（其中為常數(shù)，且），則稱(chēng)點(diǎn)為圓的“倍分點(diǎn)”.則（）A．點(diǎn)不是圓的“3倍分點(diǎn)”B．在直線(xiàn)上，圓的“倍分點(diǎn)”的軌跡長(zhǎng)度為C．在圓上，恰有1個(gè)點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”D．若：點(diǎn)是圓的“1倍分點(diǎn)”，：點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”，則是的充分不必要條件14．（2023屆廣東省廣州市高三上學(xué)期8月階段測(cè)試）已知向量，滿(mǎn)足，，則___________.15．（2022屆山東省濟(jì)南市歷城第二中學(xué)高三下學(xué)期沖刺卷）設(shè)向量，，若，則_________