命題、定理、證明XXXXX-第五章相交線與平行線教學目標了解命題的概念以及命題的構成(如果……那么……的形式)．知道如何判斷一個命題的真假．理解什么是定理和證明．知道什么是真命題和假命題．教學重點教學難點對命題結構的認識．

理解證明要步步有據．表述推理過程．比較兩組語句的區別A組1．對頂角相等；2．兩直線平行，同位角相等；3．玫瑰花是動物；4．若a2＝b2，則a＝b．B組1．畫一個角等于已知角；2．a、b兩條直線平行嗎？3．點P在直線AB外；4．若a2＝4，求a的值．對事情作了是或不是的判斷對事情作了描述或表達疑問命題的概念（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；

像這樣判斷一件事情的語句，叫做命題（proposition）.（4）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式．（3）對頂角相等；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；例題判斷下列語句是否是命題：1．相等的角是對頂角；(

)2．畫一條線段等于已知線段；(

)3．兩直線平行，內錯角相等；(

)4．如果兩角之和是90°，那么這兩角互余(

)5．點P在直線AB外；(

)6．玫瑰花是動物；(

)7．若a3＝8，求a的值；(

)8．若a2＝b2，則a＝±b．(

)是是是是是否否否1、只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是命題．易錯點剖析2、如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題．如：畫線段AB=CD．練習判斷下列語句是不是命題？（1）兩點之間，直線最短；（

）（2）請畫出兩條互相平行的直線；（

）（3）過直線外一點作已知直線的垂線；（

）（4）如果兩個角的和是90o，那么這兩個角互補．（

）命題的結構觀察下列命題，思考命題是由幾部分構成的？（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；

（5）兩點之間，線段最短．（4）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式．（3）如果兩個角的和是90o，那么這兩個角互余；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；命題由提設和結論兩部分組成.命題的結構題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．許多數學命題常可以寫成

“如果……，那么……”的形式．“如果”后面連接的部分是題設，“那么”后面連接的部分就是結論．例題下列語句是命題嗎？如果是，請將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.

（5）對頂角相等．（4）同旁內角互補；（3）互為相反數的兩個數相加得0；（2）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式；（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內角互補；如果等式兩邊都加同一個數，那么結果仍是等式；如果兩個數互為相反數，那么這兩個數相加得0；如果兩個角是同旁內角，那么這兩個角互補；如果兩個角互為對頂角，那么這兩個角相等．改寫的注意事項注意：添加“如果”、“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語句要通順，使命題的題設和結論更明朗，易于分辨，改寫過程中，要適當增加詞語，切不可生搬硬套。練習指出下列命題的題設和結論：

（1）如果AB⊥CD，垂足為O，那么∠AOC=90°；

（2）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；

（3）兩直線平行，同位角相等.指出下列命題的題設和結論.

練習1．如果兩條平行線被第三條直線所截，那么同旁內角互補．2．如果a＞b，b＞c，那么a=c．3．如果等式兩邊加同一個數，那么結果仍是等式．指出下列各命題的題設和結論，并改寫成“如果……那么……”的形式．練習1、對頂角相等；

6、正數與負數的和為0．5、等角的補角相等；4、平行于同一直線的兩直線平行；3、兩平行線被第三直線所截，同位角相等；2、內錯角相等；練習把下列命題寫成“如果…，那么…”的形式：(1)直角都相等．(2)同垂直于一條直線的兩條直線平行．(3)同角的余角相等．思考下列命題中，哪些命題是正確的，哪些命題是錯誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；

（5）對頂角相等．（4）同旁內角互補；（3）互為相反數的兩個數相加得0；（2）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式；命題的真假真命題：如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題．假命題：如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題．練習判斷下列命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；

（5）兩點確定一條直線．（4）經過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；（3）如果|a|=|b|，那么a=b；（2）如果兩個角互補，那么它們是鄰補角；真命題真命題真命題假命題假命題下列句子哪些是命題？是命題的，指出是真命題還是假命題？

練習1、豬有四只腳；（

）

10、x＞2.（

）9、過點P畫線段MN的垂線；（

）8、同垂直于一直線的兩直線平行；（

）7、對頂角相等；（

）6、同位角相等，兩直線平行；（

）5、你的作業做完了嗎？（

）4、四邊形是正方形；（

）3、畫一條直線；（

）2、內錯角相等；（

）是是是是是是否否否否真命題真命題真命題假命題假命題假命題練習把下列命題寫成“如果…，那么…”的形式，并指出命題的題設和結論：1、兩直線平行，同旁內角互補．2、等角的補角相等．3、同位角相等．4、相等的角是對頂角．以上命題是真命題還是假命題？公理和定理1.

數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫做公理或基本事實．2．有些命題可以從公理或其他真命題出發，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理．公理和定理都可作為判斷其他命題真假的依據．公理舉例1．直線公理：2．線段公理：3．平行公理：4．平行線判定公理：5．平行線性質公理：經過兩點有且只有一條直線．兩點的所有連線中，線段最短．經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．同位角相等，兩直線平行．兩直線平行，同位角相等．1．補角的性質：定理舉例同角或等角的補角相等．2．余角的性質：同角或等角的余角相等．3．對頂角的性質：對頂角相等．4．垂線的性質：①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短．5．平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．6．平行線的判定定理：定理舉例內錯角相等，兩直線平行．同旁內角互補，兩直線平行．7．平行線的性質定理：兩直線平行，內錯角相等．兩直線平行，同旁內角互補．證明除公理外，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這個推理的過程叫做證明

.題設（條件）推理方法以已知、定義、公理、定理為依據結論（條件）這個過程，就是證明思考下面，我們以證明命題“在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，來說明什么是證明．（1）你能將命題1所敘述的內容用圖形語言來表達嗎？（2）這個命題的題設和結論分別是什么呢？思考下面，我們以證明命題“在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條”為例，來說明什么是證明．題設：結論：在同一平面內，一條直線垂直于兩條平行線中的一條；這條直線也垂直于兩條平行線中的另一條．定理在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條．思考（4）你能結合圖形用幾何語言表述命題的題設和結論嗎？已知：b∥c，a⊥b．求證：a⊥c．證明：∵a⊥b（已知），∴∠1=90o（垂直的定義）．又∵b∥c（已知），∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）.∴∠2=90o（等量代換）．∴a⊥c（垂直的定義）．證明中的每一步推理都要有理有據，不能“想當然”．證明的注意事項這些根據，可以是已知條件，也可以是學過的定義、基本事實（公理）、定理等．證明一個命題是假命題，只要舉一個反例就行．如何證明一個命題是假命題例如，證明命題“相等的角是對頂角”是假命題．可以舉出如下反例：如圖，OC是∠AOB的平分線，∠1=∠2，但它們不是對頂角．練習1.

在下面的括號內，填上推理的根據.

如圖，∠A+∠B=180°，求證∠C+∠D=180°.

證明：∵∠A+∠B=180°，

∴AD∥BC（__________________________）.

∴∠C+∠D=180°（________________________）.練習2.命題“同位角相等”是真命題嗎？如果是，說出理由：如果不是，請舉出反例.練習填空:

已知：如圖1，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：EG∥FH．證明：∵∠1=∠2（已知）∠AEF=∠1（

）；∴∠AEF=∠2（

）．∴AB∥CD（

）．∴∠BEF=∠CFE（

）．∵∠3=∠4（已知）；∴∠BEF-∠4=∠CFE-∠3．即∠GEF=∠HFE（

）．∴EG∥FH（

）．對頂角相等等量代換同位角相等，兩直線平行兩直線平行，內錯角相等等式性質內錯角相等，兩直線平行總結這節課我們學會了什么？命題形式真假性如果…，那么…題設結論真命題假命題公理定理復習鞏固1.如圖，一條公路兩次轉彎后，和原來的方向相同.如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？為什么？復習鞏固2.如圖，在四邊形ABCD中，如果AD∥BC，∠A=60°，求∠B的度數，不用度量的方法，能否求得∠D的度數？復習鞏固3.如圖，平行線AB，CD被直線AE所截.

（1）從∠1=110°可以知道∠2是多少度？為什么？

（2）從∠1=110°可以知道∠3是多少度？為什么？

（3）從∠1=110°可以知道∠4是多少度？為什么？復習鞏固4.如圖，a∥b，c，d是截線，∠1=80°，∠5=70°.∠2，∠3，∠4各是多少度？為什么？

復習鞏固5.如圖，一條公路的兩側鋪設了兩條平行管道，如果公路一側鋪設的管道與縱向聯通管道的角度為120°，那么，為了使管道對接，另一側應以什么角度鋪設縱向聯通管道？為什么？復習鞏固6.在下面的括號內，填上推理的根據.

如圖，AB和CD相交于點O，∠A=∠B.求證∠C=∠D.

證明：∵∠A=∠B，

∴AC∥BD（____________________________________）.

∴∠C=∠D（____________________________________）.綜合運用7.選擇題.

（1）如圖（1），由AB∥CD，可以得到（

）.（B）∠2=∠3（A）∠1=∠2（C）∠1=∠4（D）∠3=∠4（2）如圖（2），如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（

）.

（A）180°

（B）270°

（C）360°

（D）540°綜合運用8.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，∠1=45°，∠2=122°，求圖中其他角的度數.綜合運用9.如圖，用式子表示下列句子：

（1）因為∠1和∠2相等，根據“內錯角相等，兩直線平行”，所以AB和EF平行；

（2）因為DE和BC平行，根據“兩直線平行，同位角相等”，所以∠1=∠B，∠3=∠C.綜合運用10.如圖，這是一個國際象棋棋盤的示意圖，它共有8行8列，仿照它做出一張國際象棋的棋盤紙.類似地，你還能做出一張中國象棋的棋盤紙嗎？綜合運用11.操場中的相交線與平行線.

（1）舉出操場中一些相交線、垂線、平行線的例子；

（2）如果要你畫出一個籃球場地，你怎樣做才能保證相