2022屆上海市嘉定區第二中學高三下學期模擬數學試題一、單選題1．已知復數（為虛數單位），則“為純虛數”是“”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【分析】求為純虛數的等價條件，結合充要條件判斷得解.【詳解】當時，，所以為純虛數；若為純虛數，，所以，所以或，所以“為純虛數”是“”的必要非充分條件.故選：B.2．若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據基本不等式計算求解.【詳解】因為、，所以，即，所以，即，當僅當，即時，等號成立.故選：A.3．在中，，．若，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量的線性運算，將轉化為，結合數量積的運算，即可求得答案.【詳解】由題意可得,即,即，即，解得，故選：B4．在正方體中，、分別是線段、上的動點，且直線與所成的角為，則下列直線中與所成的角必為的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】在上取一點T，使，則直線與所成的角即直線與所成的角，建立空間直角坐標系，根據與所成的角為，找出點T位置，利用空間向量計算線線角分別驗證答案即可.【詳解】在上取一點T，使，則直線與所成的角即直線與所成的角，設直線與所成的角為，則，，以D為原點建立如圖空間坐標系，則，所以，，所以，化簡得，所以，對于A：，所以與所成的角的余弦值即與所成的角的余弦值，即，與所成的角的正切值為，故A錯誤；同理，對于B：與所成的角的正切值為，故B錯誤；對于C：與所成的角的正切值為，故C正確；對于D：與所成的角為，故D錯誤；故選：C.二、填空題5．已知集合，，則______．【答案】【分析】利用交集定義直接求解．【詳解】解：集合，，．故答案為：．6．不等式的解集是________.【答案】【分析】將分式不等式化為整式不等式，利用二次不等式的求解方法，即可求得結果.【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查了分式不等式的解法，一元二次不等式的解法，考查了轉化的思想.屬于基礎題.7．若等差數列滿足，則_______．【答案】【分析】由是等差數列可得，從而即可求出的值．【詳解】解：是等差數列，，．故答案為：8．8．已知函數，它的反函數為，則_______．【答案】【分析】令，求函數的自變量即為對應反函數的函數值.【詳解】因為，所以令，解得，根據互為反函數之間的關系，可得.故答案為：.9．在展開式中，的系數為________（結果用數值表示）．【答案】【分析】根據二項式定理求出展開式中含的項，由此即可求解．【詳解】解：展開式中含的項為，所以的系數為60，故答案為：60．10．若實數、滿足，則的最大值為_______．【答案】【分析】先畫出不等式組表示的可行域，然后由，得，作出直線，向上平移過點時，目標函數取得最大值，求出點的坐標，代入目標函數可求得結果【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示由，得，作出直線，向上平移過點時，目標函數取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：611．《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”．已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的體積為________．【答案】【分析】由三視圖確定三棱柱的底面面積和高，即可求得答案.【詳解】由“塹堵”的三視圖可知，直三棱柱的底面直角三角形斜邊為2，其上的高為1，三棱柱高為2，原幾何體如圖示：則底面積為，故三棱柱的體積為：，故答案為：212．若數列是首項為，公比為的無窮等比數列，且各項的和為，則的值為________【答案】【分析】由題意可得：，化為：，解得并驗證即可得出．【詳解】由題意可得：，化為：，解得或，時，公比為0，舍去．．故答案為：1．【點睛】本題考查無窮等比數列的求和公式，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．13．從、、、、、、、、、這個數中任取個不同的數，則這個不同的數的中位數為的概率為________（結果用最簡分數表示）．【答案】【分析】算出10個數中任取5個的可能數量，再算出所選個不同的數的中位數為的可能種數，根據古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】由題意知，從、、、、、、、、、這個數中任取個不同的數，有種可能，所選個不同的數的中位數為，則比6小的數有2個，共有種可能，比6大的數有2個，有種可能，故所選個不同的數的中位數為的情況共有種可能，故這個不同的數的中位數為的概率為,故答案為：14．已知函數是定義域為的奇函數，且當時，．若函數在上的最小值為，則實數的值為________．【答案】【分析】根據已知條件及奇函數的定義求出當時函數的解析式，再利用函數的單調性對進行分類討論，確定單調性即可求解.【詳解】由題意可知，因為，所以，所以，因為函數是定義域為的奇函數，所以.因為函數在上的最小值為當時，由函數的性質知，函數在上單調遞增；當時，取得最小值為，因為函數在上的最小值為，所以，解得（舍），當時，由函數的性質知，函數在上單調遞增；當時，取得最小值為，因為函數在上的最小值為，所以，解得，當時，由對勾函數的性質知，函數在上單調遞增；在上單調遞減；當時，取得最小值為，因為函數在上的最小值為，所以，解得（舍），綜上，實數的值為.故答案為：.15．已知橢圓

(為參數，，)的焦點分別、，點為橢圓的上頂點，直線與橢圓的另一個交點為．若，則橢圓的普通方程為_______________．【答案】【分析】根據題意，由橢圓的焦點坐標可得，即可得，結合橢圓的性質可得、的長，分析可得的坐標，進而可得，兩式聯立解可得、的值，即可得答案．【詳解】解：根據題意，橢圓為參數，，，其普通方程為，若其焦點分別、，則，則有，①點為橢圓的上頂點，則的坐標為，又由，而，則，，又由，且、、三點共線，則的坐標為，又由，則有，②聯立①②，解可得：，；故橢圓的方程為；故答案為：．16．已知函數，其中，，恒成立，且在區間上恰有個零點，則的取值范圍是______________．【答案】【分析】確定函數的，由此可得，再利用在區間上恰有個零點得到，求得答案.【詳解】由已知得：恒成立，則，，由得，由于在區間上恰有3個零點，故，則，，則,只有當時，不等式組有解，此時，故，故答案為：三、解答題17．如圖，圓錐的底面半徑，高，點是底面直徑所對弧的中點，點是母線的中點．求：(1)該圓錐的表面積；(2)直線與平面所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出圓錐母線長，求得圓錐側面積，即可求得答案；（2）作輔助線，找到直線與平面所成角，解直角三角形可得答案.【詳解】(1)由已知，得OA=2，PO=6，則,

所以圓錐的側面積為，

于是圓錐的表面積為,即所求圓錐的表面積為．(2)連接OD,由題意得平面，因為平面，所以．又因為點是底面直徑所對弧的中點，所以．而、平面，，所以平面,即是在平面上的射影，所以是直線與平面所成角．在中，，，則，由于為銳角，所以,因此直線與平面所成角的大小為．18．設常數，函數．(1)若函數是偶函數，求實數的值；(2)若對任意，，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據函數的偶函數的定義即可求解；（2）利用分離參數法解決函數恒成立問題，再利用換元法及二次函數在區間上的最值問題的處理辦法即可求解.【詳解】(1)函數的定義域為．因為函數是偶函數，所以．即

，即，即．因為，所以，解得．所以實數的值為．(2)因為，即，因為，可得．令，因為，所以的取值范圍是，于是對任意都成立．令函數，對稱軸為，開口向上，由二次函數的性質知，在區間上是增函數，所以當時，函數取得的最小值為，則得，解得．所以實數的取值范圍是．19．某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱與地面垂直，燈桿與燈柱所在的平面與道路走向垂直，路燈采用錐形燈罩，射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示．已知，，路寬米．設（）．(1)當時，求的面積；(2)求燈桿與燈柱長度之和（米）關于的函數解析式，并求當為何值時，取得最小值．【答案】(1)平方米(2)（），且當時，取得最小值【分析】（1）利用三角形的內角和定理及正弦定理，結合三角形的面積公式即可求解；（2）根據已知條件的出角之間的關系，利用正弦定理求出,，及兩角差的正弦公式及二倍角公式，結合輔助角公式及正弦函數的性質即可求解.【詳解】(1)因為，，所以．由題意得，所以，因此是等邊三角形，所以．在中，由正弦定理得，即，解得，所以的面積等于（平方米）．所以的面積等于平方米．(2)因為，，所以．又因為燈柱與地面垂直，即，所以．因為，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．又在中，由正弦定理得，即，解得，，則得，所以，化簡得（）．因為，則得，所以當，即時，（米）．所以關于的函數解析式為（），且當時，取得最小值．20．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，它的右頂點與拋物線的焦點重合，經過點且不垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若點是線段的中點，求點的坐標；(3)設、是直線上關于軸對稱的兩點，求證：直線與的交點必在直線上．【答案】(1)(2)點的坐標為或(3)證明見解析【分析】（1）由題意得，解得，即可求解；（2）設，，因為是線段的中點，所以，代入雙曲線方程即可求解；（3）由題意可設直線的方程為，與雙曲線方程聯立后整理即可得證．【詳解】(1)由題意得，解得，所以雙曲線的標準方程為；(2)設，，因為是線段的中點，所以，則得，解得，，所以所求點的坐標為或；(3)證明：由題意可設直線的方程為，聯立方程組，消去，并整理得，設，，，，由一元二次方程根與系數的關系，得，又設，，，則得直線的方程為，直線的方程為，兩個方程相減得①，因為，把它代入①得，所以，因此直線與的交點在直線上．21．若項數為（且）的有窮數列滿足：，則稱數列具有“性質”．(1)判斷下列數列是否具有“性質”，并說明理由；①；②．(2)設，2，，，若數列具有“性質”，且各項互不相同．求證：“數列為等差數列”的充要條件是“數列為常數列”；(3)已知數列具有“性質”．若存在數列，使得數列是連續個正整數1，2，，的一個排列，且，求的所有可能的值．【答案】(1)①不是數列，理由見解細；②是數列，理由見解析；(2)證明見解析；(3)或【分析】（1）按照題目給出的定義：數列具有“性質”直接判斷；（2）根據充要條件的概念直接證明；（3）根據條件可知，，逐漸增大，且最小值為1，分情況可求之．【詳解】(1)解：①，即該數列不具有“性質”；②，即該數列具有“性質”；(2)證明：充分性，若數列是常數列，則，即，或又數列且各項互不相同，，數列為等差數列；必要性，若數列為等差數列，則，即，數列為常數列；(3)數列是連續個正整數1，