二次函數之面積問題(教師版)草演他山之石可以攻玉學海無涯揚帆起航草演他山之石可以攻玉學海無涯揚帆起航PAGEPAGE4《二次函數之面積問題》預習指南一、填寫下列有關一次函數之面積問題的內容坐標系中處理面積問題，要尋找并利用_____________的線，通常有以下三種思路：①__________________（規則圖形）；②__________________（分割求和、補形作差）；③__________________（例：同底等高）．坐標系中面積問題的處理方法舉例割補求面積（鉛垂法）：在圖形附近標注出來，這兩個面積公式是如何推導的.②轉化求面積：如圖，滿足S△ABP=S△ABC的點P都在直線l1，l2上．二、借助上面填寫的內容，做下面的小題如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，則△AOB的面積為___________．（鉛垂法）做完題目后思考回答下列問題：用補形作差的方法表達斜放置的△AOB的面積，跟鉛垂法對比工作量之間的差別，哪個更簡單？二次函數之面積問題（講義）一、知識點睛二次函數之面積問題的處理思路①分析目標圖形的點、線、圖形特征；②依據特征、原則對圖形進行割補、轉化；③設計方案，求解、驗證．面積問題的處理思路：公式、割補、轉化．坐標系背景下問題處理原則：________________________，__________________________．二次函數之面積問題的常見模型①割補求面積——鉛垂法：②轉化法——借助平行線轉化：若S△ABP=S△ABQ， 若S△ABP=S△ABQ，當P，Q在AB同側時， 當P，Q在AB異側時，PQ∥AB． AB平分PQ．二、精講精練如圖，拋物線經過A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點．（1）求拋物線的解析式．（2）點M是直線BC上方拋物線上的點（不與B，C重合），過點M作MN∥y軸交線段BC于點N，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示MN的長．（3）在（2）的條件下，連接MB，MC，是否存在點M，使四邊形OBMC的面積最大？若存在，求出點M的坐標及四邊形OBMC的最大面積；若不存在，請說明理由．如圖，拋物線與直線交于A，C兩點，其中C點坐標為(2，t)．（1）若P是直線AC上方拋物線上的一個動點，求△APC面積的最大值．（2）在直線AC下方的拋物線上，是否存在點G，使得？如果存在，求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與直線交于點A和點C(2，-3).（1）若點M在拋物線上，且以點M，A，C以及另一點N為頂點的平行四邊形ACNM的面積為12，求M，N兩點的坐標．（2）在（1）的條件下，若點Q是x軸下方拋物線上的一動點，當△QMN的面積最大時，請求出△QMN的最大面積及此時點Q的坐標．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，對稱軸與拋物線交于點P，與直線BC交于點M，連接PB．（1）拋物線上是否存在異于點P的一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．（2）在第一象限對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RMP與△RMB的面積相等？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．如圖，已知拋物線與x軸交于點A(1，0)和點B，與y軸交于點C(0，-3)．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖，已知點H(0，-1)．①在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使得S△ABH=S△ABD？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．②在拋物線上是否存在點G（點G在y軸的左側），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．三、回顧與思考_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

二次函數之面積問題（隨堂測試）如圖，二次函數的圖象與一次函數的圖象交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為-1，點B的橫坐標為2．（1）設C是直線OB下方的拋物線上一點，當四邊形OABC的面積最大時，求點C的坐標及四邊形OABC的最大面積．（2）拋物線上是否存在點P，使得△ABP與△ABO的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．二次函數之面積問題（作業）例：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(-2，2)，點B的坐標為(6，6)，拋物線經過A，O，B三點，連接OA，OB，AB，線段AB交y軸于點E．（1）求點E的坐標及拋物線的函數解析式．（2）點F為線段OB上的一個動點（不與點O，B重合），直線EF與拋物線交于M，N兩點（點N在y軸右側），連接ON，BN．①當點F在線段OB上運動時，求△BON面積的最大值，并求出此時點N的坐標；②當S△ENO=S△ENB時，求此時點F和點N的坐標．【思路分析】讀題標注，研究背景圖形已知A，O，B三點坐標，可以求得拋物線解析式；要求點E坐標，點E為直線AB與y軸的交點，求得AB的解析式即可求得點E坐標．梳理條件，整合信息，設計方案求解（2）①問：整合信息，分析特征：由所求入手分析，目標為S△BON的最大值，發現O，B為定點，N為動點且點N的運動范圍受F影響，可判斷點N在直線OB下方的拋物線上運動，即0<xN<6；拋物線解析式已知，可以用一個未知數設出點N的坐標．設計方案：注意到三條線段都是斜放置的線段，需要借助橫平豎直的線段來表達，所以考慮利用鉛垂法來表達S△BON．（2）②問：整合信息，分析特征：由所求入手分析，目標為S△ENO=S△ENB．E，B，O為定點，N為動點且點N的運動范圍受F影響，可判斷點N在直線OB下方的拋物線上運動，即0<xN<6；觀察兩個三角形，發現有公共邊EN，考慮把面積相等的問題轉化為高相等的問題來處理，借助同底等高模型解決問題．設計方案：考慮兩個三角形在同側和異側的兩種情況，注意到N點的運動范圍，則只有在異側的情況，要想讓兩個三角形的高相等，只需讓EN經過OB的中點即可，即F在OB的中點位置，確定EN后，聯立求解點N的坐標．如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(-2，2)，點B的坐標為(6，6)，拋物線經過A，O，B三點，連接OA，OB．（1）求拋物線的函數解析式．（2）若N是直線OB下方的拋物線上一點，當△BON的面積最大時，求點N的坐標及△BON的最大面積．（3）若P是直線OB上方的拋物線上一點，當△BOP的面積與（2）中△BON的最大面積相等時，求點P的坐標．如圖，已知二次函數的圖象經過A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)三點．（1）求二次函數的解析式．（2）過點C的直線與二次函數的圖象交于點E(4，n)，求△CEB的面積．（3）拋物線上是否存在點P，使得？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．如圖，直線與拋物線交于A，B兩點，C是拋物線的頂點．（1）在直線AB上方的拋物線上是否存在點P，使得△ABP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）拋物線上是否存在異于點C的一點Q，使得△ABQ與△ABC的面積相等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．（3）若點M在拋物線上，且以點M，A，B以及另一點N為頂點的平行四邊形ABNM的面積為240，求M，N兩點的坐標．學生做題前請先回答以下問題問題1：坐標系背景下問題的處理原則是什么？

問題2：坐標系中處理面積問題的思路有哪些？問題3：具有什么樣特征的三角形在表達面積時會使用鉛垂法？問題4：鉛垂法的具體做法是什么？問題5：如何利用鉛垂法表達三角形的面積？二次函數之面積問題（鉛垂法）（一）一、單選題(共7道，每道12分)1.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點，，．點P是直線AC下方拋物線上的點（不與A，C重合），連接PA，PC，設點P的橫坐標為m，△PAC的面積為S，則S與m之間的函數關系式為_______，當m=_______時，S有最大值．()

A.，5B.，

C.，5D.，

2.如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為．點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，當△PAC的面積最大時，點P的坐標和△PAC的最大面積分別為()

A.B.C.D.

3.如圖，一次函數與y軸、x軸分別交于點A，B，拋物線過A，B兩點．Q為直線AB下方的拋物線上一點，設點Q的橫坐標為n，△QAB的面積為，則與n之間的函數關系式為()

A.B.

C.D.

4.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點（點B在點C的左側）．點P是第二象限內拋物線上的點，△PAC的面積為S，設點P的橫坐標為m，則S與m之間的函數關系式為()

A.B.

C.D.

5.如圖，已知二次函數的圖象上一點A，其橫坐標為-2，直線過點A并繞著點A旋轉，與拋物線的另一個交點是B，點B的橫坐標m滿足，連接OA，OB，則當△AOB的面積最大時，點B的坐標為()

A.B.

C.D.

6.如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知．點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，則當四邊形CDBF的面積最大時，點E的坐標以及四邊形CDBF的最大面積分別是()

A.B.C.D.

7.如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接BC．若點P為線段BC上的一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，則當△BCM的面積最大時，△BPN的周長為()

A.B.C.D.

學生做題前請先回答以下問題問題1：坐標系背景下問題的處理原則是什么？問題2：坐標系中處理面積問題的思路有哪些？問題3：具有什么樣特征的三角形在表達面積時會使用鉛垂法？問題4：如圖，△ACP是任意斜放置的三角形，過P作鉛垂的線交AC于點M，

設PM=a，AC的水平距離為h．求證：．

問題5：試題3中，要求△ABC的面積用哪一種方式處理比較簡單？你是怎么求的？

問題6：試題4中，四邊形PDCB的面積你是如何考慮的？二次函數之面積問題（鉛垂法）（二）一、單選題(共5道，每道20分)1.如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．M為拋物線上一動點，且在第三象限，若存在點M使得，則此時點M的橫坐標為()

A.B.C.D.

2.如圖，已知直線與拋物線交于A（-4，-2），B（6，3）兩點，拋物線與y軸的交點為C．在拋物線上存在點P使得△PAC的面積是△ABC面積的，此時點P的坐標為()

A.B.

C.D.

3.如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點分別為A（0，1），B（2，0），O（0，0），將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°，得到△COD．設點P是過C，D，B三點的拋物線上的一點，且在第一象限，若四邊形PDCB的面積是△COD面積的4倍，則點P的坐標為()

A.B.

C.D.

4.如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．D為線段BC的中點，P為x軸下方的拋物線上任一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ．設平行四邊形CBPQ的面積為，

△ABD的面積為，若，則點P的坐標為()

A.B.C.D.

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點O，B，點A，P為拋物線上的點，點A的橫坐標為1，點P的橫坐標為m（），過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形，若其中一個三角形的面積與四邊形DBPO的面積之比為2：3，則點P的橫坐標為()

A.B.

C.D.

學生做題前請先回答以下問題問題1：具有什么樣的特征圖形在表達面積時可采用鉛垂法？問題2：鉛垂法的具體的做法？并結合第3題具體說明．問題3：結合下面圖形，說明的推導過程

問題4：平行四邊形存在性（兩定兩動）問題的處理思路是什么？問題5：判斷第4題屬于什么問題，分析過程中哪個部分用到了鉛垂的思想？二次函數之面積問題（鉛垂法）（三）一、單選題(共5道，每道20分)1.如圖，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線與直線BC交于點．在直線BD上方的拋物線上有一動點P，過點P作PH垂直于x軸，交直線BD于點H，當四邊形BOHP是平行四邊形時，動點P的坐標為()

A.B.C.D.

2.如圖，拋物線與x軸交于兩點，過點A作

直線AC⊥x軸，交直線于點C；點A關于直線的對稱點為．點P是拋物線上

一動點，過點P作y軸的平行線，交線段于點M．

（１）若四邊形PACM為平行四邊形，則點P的坐標為()

A.B.

C.D.

3.（上接第2題）（2）連接，則△的面積最大值為()

A.4B.16C.8D.32

4.如圖，拋物線與x軸交于點，交y軸于點．直線過點A且與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點是D．

（1）設點P是拋物線上一動點（不與點A、D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作DE⊥y軸于點E．若以P，M，E，C為頂點的四邊形是以EC為邊的平行四邊形，則點P的坐標為()

A.B.

C.

D.

5.（上接第4題）（2）連接BD.設點P是直線BD上方拋物線上一動點（不與點B，D重合），則四邊形ABPD面積的最大值為()

A.4B.16C.32D.36

學生做題前請先回答以下問題問題1：坐標系背景下問題的處理原則是什么？問題2：坐標系中處理面積問題的思路有哪些？問題3：二次函數背景下求面積的最大值及點的坐標有2種處理方法，分別是什么？問題4：（上接第3題）對比這兩種方法的工作量，哪一種方法更為簡單？二次函數之面積問題（轉化法）（一）一、單選題(共3道，每道33分)1.(用兩種方法分析)如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線交y軸于點A，交x軸于B，C兩點(點B在點C的左側)，已知點A的坐標為．已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，則當△PAC的面積最大時，動點P的坐標為()

A.B.

C.D.

2.(用兩種方法分析)已知直線與拋物線交于A，B兩點，取與線段AB等長的一根橡皮筋，端點分別固定在A，B兩處，用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖P在直線AB上方的拋物線上移動，動點P將與A，B構成無數個三角形，這些三角形中存在一個面積最大的三角形，其最大面積為()

A.B.C.D.

3.(用兩種方法分析)在平面直角坐標系中，已知拋物線經過，，三點．若點P為直線AB下方拋物線上的一動點，點P的橫坐標為m，△APB的面積為S，則當點P的坐標為____時，S取得最大值，S的最大值為_______．()

A.B.

C.D.

學生做題前請先回答以下問題問題1：對于坐標系中的面積問題，什么情況下會使用平行線轉化法？問題2：結合第3題說明平行線轉化法的具體操作是什么？問題3：平行線轉化法的理論依據是什么？問題4：第5題解題思路中是按照轉化法分析的，思考是否還存在其他的分析方法？對比使用兩種方法工作量的差異．二次函數之面積問題（轉化法）（二）一、單選題(共5道，每道20分)1.如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上一點，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．直線經過拋物線上一點且與y軸交于點C．P(x，y)是拋物線上的一點，若，則所有符合條件的點P的坐標為()

A.

B.

C.

D.

2.設拋物線與x軸的交點為M，N（點M在點N的左側），與y軸交于點F，設點M關于y軸的對稱點為點E，連接EF，NF．若點P是拋物線上異于點F的一點，使得△NEP的面積與△NEF的面積相等，則點P的坐標為()

A.

B.

C.

D.

3.如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點