./1請解釋下列名字術語：自動控制系統、受控對象、擾動、給定值、參考輸入、反饋。解：自動控制系統：能夠實現自動控制任務的系統,由控制裝置與被控對象組成；受控對象：要求實現自動控制的機器、設備或生產過程擾動：擾動是一種對系統的輸出產生不利影響的信號。如果擾動產生在系統內部稱為內擾；擾動產生在系統外部,則稱為外擾。外擾是系統的輸入量。給定值：受控對象的物理量在控制系統中應保持的期望值參考輸入即為給定值。反饋：將系統的輸出量饋送到參考輸入端,并與參考輸入進行比較的過程。2請說明自動控制系統的基本組成部分。解：作為一個完整的控制系統,應該由如下幾個部分組成：①被控對象：所謂被控對象就是整個控制系統的控制對象；②執行部件：根據所接收到的相關信號,使得被控對象產生相應的動作；常用的執行元件有閥、電動機、液壓馬達等。③給定元件：給定元件的職能就是給出與期望的被控量相對應的系統輸入量〔即參考量；④比較元件：把測量元件檢測到的被控量的實際值與給定元件給出的參考值進行比較,求出它們之間的偏差。常用的比較元件有差動放大器、機械差動裝置和電橋等。⑤測量反饋元件：該元部件的職能就是測量被控制的物理量,如果這個物理量是非電量,一般需要將其轉換成為電量。常用的測量元部件有測速發電機、熱電偶、各種傳感器等；⑥放大元件：將比較元件給出的偏差進行放大,用來推動執行元件去控制被控對象。如電壓偏差信號,可用電子管、晶體管、集成電路、晶閘管等組成的電壓放大器和功率放大級加以放大。⑦校正元件：亦稱補償元件,它是結構或參數便于調整的元件,用串聯或反饋的方式連接在系統中,用以改善系統的性能。常用的校正元件有電阻、電容組成的無源或有源網絡,它們與原系統串聯或與原系統構成一個內反饋系統。3請說出什么是反饋控制系統,開環控制系統和閉環控制系統各有什么優缺點？解：反饋控制系統即閉環控制系統,在一個控制系統,將系統的輸出量通過某測量機構對其進行實時測量,并將該測量值與輸入量進行比較,形成一個反饋通道,從而形成一個封閉的控制系統；開環系統優點：結構簡單,缺點：控制的精度較差；閉環控制系統優點：控制精度高,缺點：結構復雜、設計分析麻煩,制造成本高。4請說明自動控制系統的基本性能要求。解：〔1穩定性：對恒值系統而言,要求當系統受到擾動后,經過一定時間的調整能夠回到原來的期望值。而對隨動系統而言,被控制量始終跟蹤參考量的變化。穩定性通常由系統的結構決定的,與外界因素無關,系統的穩定性是對系統的基本要求,不穩定的系統不能實現預定任務。〔2準確性：控制系統的準確性一般用穩態誤差來表示。即系統在參考輸入信號作用下,系統的輸出達到穩態后的輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做給定穩態誤差。顯然,這種誤差越小,表示系統的輸出跟隨參考輸入的精度越高。〔3快速性：對過渡過程的形式和快慢的要求,一般稱為控制系統的動態性能。系統的快速性主要反映系統對輸入信號的變化而作出相應的快慢程度,如穩定高射炮射角隨動系統,雖然炮身最終能跟蹤目標,但如果目標變動迅速,而炮身行動遲緩,仍然抓不住目標。圖2-1習題2-1質量－彈簧－摩擦系統示意圖2-1設質量-彈簧-摩擦系統如圖2-1所示,途中為黏性摩擦系數,為彈簧系數,系統的輸入量為力,系統的輸出量為質量的位移。試列出系統的輸入輸出微分方程。圖2-1習題2-1質量－彈簧－摩擦系統示意圖解：顯然,系統的摩擦力為,彈簧力為,根據牛頓第二運動定律有移項整理,得系統的微分方程為圖2-2習題2-2機械系統示意圖圖2-2習題2-2機械系統示意圖2-2試列寫圖2-2所示機械系統的運動微分方程。解：由牛頓第二運動定律,不計重力時,得整理得2-3求下列函數的拉氏變換。〔1〔2〔3解：〔1〔2〔32-4求下列函數的拉氏反變換〔1〔2〔3解：〔1〔2〔32-5試分別列寫圖2-3中各無源網絡的微分方程〔設電容上的電壓為,電容上的電壓為,以此類推。圖2-3習題2-5無源網絡示意圖解：〔a設電容上電壓為,由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關系的微分方程為〔b設電容、上電壓為,由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關系的微分方程為〔c設電阻上電壓為,兩電容上電壓為,由基爾霍夫定律可寫出回路方程為〔1〔2〔3〔4〔2代入〔4并整理得〔5〔1、〔2代入〔3并整理得兩端取微分,并將〔5代入,整理得輸入輸出關系的微分方程為2-6求圖2-4中各無源網絡的傳遞函數。圖2-4習題2-6示意圖解：〔a由圖得〔1〔2〔2代入〔1,整理得傳遞函數為〔b由圖得〔1〔2整理得傳遞函數為〔c由圖得〔1〔2〔3〔4整理得傳遞函數為圖2-5習題2-7無源網絡示意圖2-7求圖2-5中無源網絡的傳遞函數。圖2-5習題2-7無源網絡示意圖解：由圖得整理得2-8試簡化圖2-6中所示系統結構圖,并求傳遞函數和。解：〔a⑴求傳遞函數,按下列步驟簡化結構圖：圖2-6習題2-8系統結構圖示意圖令,利用反饋運算簡化如圖2-8a所示圖2-6習題2-8系統結構圖示意圖圖2圖2-8a②串聯等效如圖2-8b所示圖2-8b圖2-8b③根據反饋運算可得傳遞函數⑵求傳遞函數,按下列步驟簡化結構圖：①令,重畫系統結構圖如圖2-8c所示圖2圖2-8c將輸出端的端子前移,并將反饋運算合并如圖2-8d所示圖2-9d圖2-9d③和串聯合并,并將單位比較點前移如圖2-8e所示圖2-8e圖2-8e④串并聯合并如圖2-8f所示圖2圖2-8f⑤根據反饋和串聯運算,得傳遞函數〔b求傳遞函數,按下列步驟簡化結構圖：①將的引出端前移如圖2-8g所示圖2圖2-8g②合并反饋、串聯如圖2-8h所示圖2-8h圖2-8h將的引出端前移如圖2-8i所示圖2-8i圖2-8i合并反饋及串聯如圖2-8j所示圖2-8j圖2-8j⑤根據反饋運算得傳遞函數圖2-7習題2-9系統結構圖示意圖習題2-4無源網絡示意圖2-9試簡化圖2-7中所示系統結構圖,并求傳遞函數。圖2-7習題2-9系統結構圖示意圖習題2-4無源網絡示意圖解：求傳遞函數,按下列步驟簡化結構圖：將的引出端前移如圖2-9a所示圖2圖2-9a合并反饋及串聯如圖2-9b所示圖2-9b圖2-9b合并反饋、串聯如圖2-9c所示圖2圖2-9c④根據反饋運算,得傳遞函數3-1設某高階系統可用下列一階微分方程近似描述：,其中。試證明系統的動態性能指標為,,解：由系統的微分方程可得其傳遞函數,在單位階躍輸入作用下,由于,所以有當時,顯然有解之得由于為從上升到這個過程所需要得時間,所以有其中由上式易解出則,當時,顯然有解之得3-2已知各系統得脈沖響應,試求系統的閉環傳遞函數：〔1；〔2；〔3。解：〔1〔2〔33-3已知二階系統的單位階躍響應為,試求系統的超調量,峰值時間和調節時間。解：＝由上式可知,此二階系統的放大系數是10,但放大系數并不影響系統的動態性能指標。由于標準的二階系統單位階躍響應表達式為所以有解上述方程組,得所以,此系統為欠阻尼二階系統,其動態性能指標如下超調量峰值時間調節時間3-4設單位負反饋系統的開環傳遞函數為,試求系統在單位階躍輸入下的動態性能。解題過程：由題意可得系統得閉環傳遞函數為其中。這是一個比例－微分控制二階系統。比例－微分控制二階系統的單位階躍響應為故顯然有此系統得動態性能指標為峰值時間超調量調節時間3-5已知控制系統的單位階躍響應為,試確定系統的阻尼比和自然頻率。解：系統的單位脈沖響應為系統的閉環傳遞函數為自然頻率阻尼比3-6已知系統特征方程為,試用勞斯穩定判據和赫爾維茨穩定判據確定系統的穩定性。解：先用勞斯穩定判據來判定系統的穩定性,列出勞斯表如下顯然,由于表中第一列元素得符號有兩次改變,所以該系統在右半平面有兩個閉環極點。因此,該系統不穩定。再用赫爾維茨穩定判據來判定系統的穩定性。顯然,特征方程的各項系數均為正,則顯然,此系統不穩定。3-7設單位負反饋系統的開環傳遞函數為,試應用勞斯穩定判據確定義為多大值時,特使系統振蕩,并求出振蕩頻率。解：由題得,特征方程是列勞斯表由題意,令所在行為零得由行得解之得,所以振蕩角頻率為3-8已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為,試確定系統穩定時的值范圍。解：由題可知系統的特征方程為列勞斯表如下由勞斯穩定判據可得解上述方程組可得3-9系統結構如圖3-1所示,,定義誤差,<1>若希望圖a中,系統所有的特征根位于平面上的左側,且阻尼比為0.5,求滿足條件的的取值范圍。求圖a系統的單位斜坡輸入下的穩態誤差。為了使穩態誤差為零,讓斜坡輸入先通過一個比例微分環節,如圖b所示,試求出合適的值。<a><b><a><b>圖3-1習題3-9示意圖解：〔1閉環傳遞函數為即,代入上式得,列出勞斯表,,系統為I型系統∴并沒有改變系統的穩定性。3-10已知單位反饋系統的開環傳遞函數：〔1；〔2試求輸入分別為和時,系統的穩態誤差。解：〔1由上式可知,該系統是型系統,且。型系統在信號作用下的穩態誤差分別為：。根據線性疊加原理有該系統在輸入為時的穩態誤差為,該系統在輸入為時的穩態誤差為〔2由上式可知,該系統是型系統,且。型系統在信號作用下的穩態誤差分別為：。根據線性疊加原理有該系統在輸入為時的穩態誤差為,該系統在輸入為時的穩態誤差為3-11已知閉環傳遞函數的一般形式為誤差定義為。試證,系統在階躍信號輸入下,穩態誤差為零的充分條件為〔2系統在斜坡信號輸入下,穩態誤差為零的充分條件為〔3推導系統在斜坡信號輸入下穩態誤差為零的充分條件〔4求出系統閉環傳遞函數與系統型別之間的關系解：〔1滿足終值定理的條件,即證〔2滿足終值定理的條件,即證<3>對于加速度輸入,穩態誤差為零的必要條件為同理可證〔4系統型別比閉環函數分子最高次冪大1次。3-12已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：〔1；〔2；〔3試求位置誤差系數,速度誤差系數,加速度誤差系數。解：此系統是一個型系統,且。故查表可得,,根據誤差系數的定義式可得根據誤差系數的定義式可得3-13設單位反饋系統的開環傳遞函數輸入信號為其中,,,i,,均為正數,a和b為已知正常數。如果要求閉環系統的穩態誤差<,其中,試求系統各參數滿足的條件。解：首先系統必須是穩定的,系統的閉環特征方程為式中,,為系統的開環增益,各參數滿足：,即穩定條件為由于本例是I型系統,其,,故在作用下,其穩態誤差必有于是,即能保證系統穩定,又滿足對系統穩態誤差要求的各參數之間的條件為3-14設單位反饋系統的開環傳遞函數為。試用動態誤差系數法求出當輸入信號分別為時,系統的穩態誤差。解：系統的誤差傳遞函數為所以有對上式進行拉氏反變換可得〔1當時,顯然有將上述三式代入〔1式,可得系統的穩態誤差為3-15假設可用傳送函數描述溫度計的特性,現在用溫度計測量盛在容器內的水溫,需要一分鐘時間才能指出實際水溫的的數值。如果給容器加熱,使水溫依的速度線性變化,問溫度計的穩態誤差有多大?解：由題意,該一階系統得調整時間,但,所以。系統輸入為,可推得因此可得的穩態分量為穩態誤差為所以,穩態誤差為3-16如圖3-2所示的控制系統結構圖,誤差在輸入端定義,擾動輸入.<1>試求時,系統在擾動輸入下的穩態輸出和穩態誤差。<2>若,其結果又如何？<3>在擾動作用點之前的前向通道中引入積分環節,對其結果有何影響？在擾動作用點之后的前向通道中引入積分環節,對其結果又有何影響？圖3-2習題3-16示意圖解：令,,圖3-2習題3-16示意圖則代入得令,得擾動作用下的輸出表達式：此時的誤差表達式為：若在s右半平面上解析,則有在擾動輸入下的穩態輸出為代入的表達式,可得〔1當時,〔2當時,可見,開環增益的減小將導致擾動作用下系統穩態輸出的增大,且穩態誤差的絕對值也增大。〔3若加在擾動之前,則得若加在擾動之后,則可見在擾動作用點之前的前向通路中加入積分環節,可以消除階躍輸入引起的穩態誤差。3-17設隨動系統的微分方程為：其中,為系統輸出量,為系統輸入量,為電動機機電時間常數,為電動機電磁時間常數,為系統開環增益。初始條件全部為零,試討論：、與之間關系對系統穩定性的影響〔2當,,時,可否忽略的影響？在什么影響下的影響可以忽略？解：〔1對系統微分方程在零初始條件下進行拉氏變換,得閉環系統特征方程當均為正值時,且有即時閉環系統穩定。〔2由于,因此只有當閉環系統才穩定,顯然,對于,閉環不穩定。此時若略去,閉環特征方程為上式中各項系數為正,從而得到得出閉環系統穩定的錯誤結論。如果。如果,則略去不會影響閉環穩定性。對于本例,當時,不能忽略對穩定性的影響,否則可以忽略。3-18設計題飛機的自動控制,是一個需要多變量反饋方式的例子。在該系統中,飛機的飛行姿態由三組翼面決定,分別是：升降舵,方向舵和副翼,如附圖3-3<a>所示。飛行員通過操縱這三組翼面,可以使飛機按照既定的路線飛行。這里所要討論的自動駕駛儀是一個自動控制系統,它通過調節副翼表面來控制傾角,只要使副翼表面產生一個的變形,氣壓在這些表面上會產生一個扭矩,使飛機產生側滾。圖3-3〔a飛機副翼模型圖飛機副翼是由液壓操縱桿來控制的,后者的傳遞函數為。圖3-3〔a飛機副翼模型圖測量實際的傾角,并與輸入設定值進行比較,其差值被用來驅動液壓操縱桿,而液壓操縱桿則反過來又會引起副翼表面產生變形。為簡單化起見,這里假定飛機的側滾運動與其他運動無關,其結構圖如圖3-3<b>所示,又假定,且角速率由速率陀螺將其值進行反饋,期望的階躍響應的超調量,調節時間<以的標準>,試選擇合適的和值。圖3-3〔b飛機控制傾角結構圖圖3-3〔b飛機控制傾角結構圖解：由于過阻尼響應緩慢,故通常不希望采用過阻尼系統,在本題中欠阻尼因此,計算可得又因,,由題計算可得,故圖4-1習題4-1系統零極點分布圖4-1已知系統開環零極點分布如圖4-1所示,試繪制相應的根軌跡圖。圖4-1習題4-1系統零極點分布圖解：圖4圖4-1a根軌跡圖〔a根軌跡的漸近線條數為〔b根軌跡的漸近線條數為〔c根軌跡的漸近線條數為,漸近線的傾斜角為,,〔d根軌跡的漸近線條數為〔e根軌跡的漸近線條數為〔f根軌跡的漸近線條數為,漸近線的傾斜角為4-2已知單位反饋控制系統的前向通道傳遞函數為：<1><2><3><4>,畫出各系統的根軌跡圖。解：〔1按下列步驟繪制根軌跡：系統開環有限零點為；開環有限極點為②實軸上的根軌跡區間為③根軌跡的漸近線條數為,漸近線的傾角為,,漸近線與實軸的交點為閉環系統根軌跡如下圖4-2a所示圖4圖4-2a閉環系統根軌跡圖〔2按下列步驟繪制根軌跡：①系統沒有開環有限零點；開環有限極點為②實軸上的根軌跡區間為③根軌跡的漸近線條數為,漸近線的傾角為,,,漸近線與實軸的交點為④分離點方程為解得分離點閉環系統根軌跡如下圖4-2b所示圖4-2b圖4-2b〔3按下列步驟繪制根軌跡：①系統沒有開環有限零點；開環有限極點為實軸上根軌跡區間為根軌跡的漸近線條數為,,④根軌跡的起始角：復數開環有限極點處,⑤分離點方程為解得分離點檢查時,時,皆為閉環系統根軌跡的分離點。⑥確定根軌跡與虛軸的交點：系統閉環特征方程為列寫勞斯表當時,勞斯表出現全零行,輔助方程為解得根軌跡與虛軸交點為。根軌跡如下圖4-2c所示：圖4圖4-2c〔4按下列步驟繪制根軌跡：①系統開環有限零點為；開環有限極點為,,②實軸上根軌跡區間為③根軌跡的漸近線條數為,,④分離點方程為解得分離點根軌跡如下圖4-2d所示：圖4-2d圖4-2d圖4-2習題4-3系統零極點分布圖4-3給定系統如圖4-2所示,,試畫出系統的根軌跡,并分析增益對系統阻尼特性的影響。圖4-2習題4-3系統零極點分布圖解：〔1作系統的根軌跡。開環傳遞函數為①開環極點為和,開環零點為和。②所以實軸上的根軌跡區間為和。③分離點方程得分離點檢查時,時,可得到根軌跡如下圖4-3a所示圖4圖4-3a〔2分析增益對阻尼特性的影響。從根軌跡圖可以看出,對于任意,閉環系統都是穩定的,但阻尼狀況不同。增益較小時〔系統過阻尼；增益很大時〔,系統過阻尼；增益中等時〔,系統欠阻尼。圖4-3習題4-4系統結構圖4-4給定控制系統如圖4-3所示,,試用系統的根軌跡圖確定,速度反饋增益為何值時能使閉環系統極點阻尼比等于。圖4-3習題4-4系統結構圖解：〔1求系統的閉環特征方程并劃成標準形式。通過方塊圖變換或代數運算可以求得單位反饋系統的開環傳遞函數因為可變參數不是分子多項式的相乘因子,所以先求系統的閉環特征方程改寫為即,上述閉環特征方程也相當于開環傳遞函數為的系統的閉環特征方程。〔2根據作出根軌跡圖。有兩個極點,一個零點,所以負實軸是根軌跡,而且其上有分離點。將閉環特征方程改寫為由可以求得,其中在根軌跡上,對應增益為,故是實軸上的分離點。根軌跡如圖4-4a所示。圖4圖4-4a〔3求反饋增益。首先要確定閉環極點。設途中虛線代表,則閉環極點為根軌跡和該虛線的交點,由可得。設列出該點對應的輻角條件經整理得兩邊同取正切,整理得解得,。所以該閉環極點為。再由得速度反饋增益為。4-5已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：。要求系統的閉環極點有一對共軛復數極點,其阻尼比為。試確定開環增益,并近似分析系統的時域性能。解：根據繪制常規根軌跡的基本法則,作系統的概略根軌跡如圖4-5a所示。圖4圖4-5a欲確定,需先確定共軛復極點。設復極點為根據阻尼比的要求,應保證在圖上作的阻尼線,并得到初始試探點的橫坐標,由此求得縱坐標。在處檢查相角條件不滿足相角條件；修正,則,點處的相角為；再取,則,點處的相角為。因此共軛復極點。由模值條件求得運用綜合除法求得另一閉環極點為。共軛復極點的實部與實極點的實部之比為,因此可視共軛復極點為系統的主導極點,系統的閉環傳遞函數可近似表示為并可近似地用典型二階系統估算系統的時域性能4-6已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：試畫出系統的根軌跡圖,并分析系統的穩定時K的取值范圍。解：由題得開環極點：和開環零點：分離、會合點：從平面的零點、極點分布可知在區間內可能有分離、會合點。記由,可得經整理后得到用試探法或程序算得區間內的一個根為,它就是實軸上的分離點。根軌跡自復數極點的出射角：根軌跡趨向復數零點的入射角：根軌跡與虛軸的交點：閉環特征方程為令,可得由第二式得,代入第一式,得解得根據以上數據畫根軌跡圖,如圖4-6a所示。圖4圖4-6a根軌跡圖再分析系統得穩定情況：根軌跡與虛軸第一個交點的頻率為,利用幅值條件可以計算出對應的增益同樣可以算得與和對應的增益參看根軌跡圖可知：系統穩定時的取值范圍為：或4-7已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：的變化范圍是,試畫出系統的根軌跡圖。解：按下列步驟繪制根軌跡：①系統沒有開環有限零點；開環有限極點為②實軸上的根軌跡區間為③根軌跡的漸近線條數為,漸近線的傾角為,,漸近線與實軸的交點為④分離點方程為解得分離點閉環系統根軌跡如下圖4-7a所示圖4圖4-7a4-8已知反饋控制系統的開環傳遞函數為：試畫出和同時變化的根軌跡簇。解：〔1列寫閉環特征方程。閉環特征方程為〔2畫,從到的根軌跡。時閉環特征方程為。這相當于一個開環傳遞函數為的系統。它的根軌跡是與虛軸重合的直線。見圖4-8a中由圓圈構成的根軌跡。〔3畫為常數,從到的根軌跡。給定,則閉環特征方程為它相當于一個開環傳遞函數為的系統,該系統的開環極點為,開環零點為。圖4-8a中不帶圓圈的根軌跡是時的根軌跡。圖4圖4-8a4-9已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：的變化范圍是,試畫出系統的閉環根軌跡。解：系統閉環特征方程為即有等效開環傳遞函數為,變化范圍為按照繪制常規根軌跡的基本法則確定根軌跡的各項參數：〔1等效系統無開環有限零點；開環有限極點為：〔2實軸上的根軌跡區間為〔3根軌跡有3條漸近線,且〔4根軌跡的分離點：由分離點方程解得〔5根軌跡與虛軸的交點：根據閉環特征方程列寫勞斯表如下：當時,勞斯表的行元素全為零,輔助方程為解得繪制系統參數根軌跡如圖4-9a所示圖4圖4-9a4-10已知反饋控制系統中,其開環傳遞函數為：繪制時的閉環根軌跡概略圖；繪制時的閉環根軌跡概略圖；比較開環零點變化對根軌跡形狀的影響。解：〔1開環傳遞函數按下列步驟繪制根軌跡：①系統開環有限零點為；開環有限極點為,,②實軸上的根軌跡區間為③根軌跡的漸近線條數為,漸近線的傾角為,,漸近線與實軸的交點為閉環系統根軌跡如下圖4-10a所示圖4圖4-10a根軌跡圖〔2開環傳遞函數按下列步驟繪制根軌跡：①系統開環有限零點為,；開環有限極點為,,,②實軸上的根軌跡區間為和③根軌跡的漸近線條數為,漸近線的傾角為,,漸近線與實軸的交點為閉環系統根軌跡如下圖4-10b所示圖4-10b根軌跡圖圖4-10b根軌跡圖4-11給定控制系統的開環傳遞函數為：試作出以為參變量的根軌跡,并利用根軌跡分取何值時閉環系統穩定。解：〔1求系統的閉環特征方程并化成標準的形式。因為可變參數不是分子多項式的相乘因子,所以先求系統的閉環特征方程可改寫為則開環傳遞函數為〔2根據作系統的根軌跡。中的增益為負值,所以要作系統的補根軌跡。開環極點為和,開環零點為。按照補根軌跡的作圖規則,實軸上的根軌跡區間為和。在區間有會合點,在有分離點。為求分離、會合點,將閉環特征方程改寫為由,得,解得,分別對應的增益為和,所以是分離、會合點。可以證明,不在實軸上的根軌跡是一個圓,圓心在,半徑為。以為參變量的根軌跡如圖4-11a所示,圖4-11a圖中箭頭表示從到的方向,也即從到的方向。圖4-11a〔3求使閉環系統穩定的取值范圍。首先求根軌跡與虛軸的交點。由閉環特征方程可知,時系統處于臨界穩定狀態,這相當于,所以使閉環系統穩定的范圍為。4-12實系參數多項式函數為：欲使的根均為實數,試確定參數的范圍。解：對作等效變換得等效開環函數為當時,需繪制常規根軌跡：系統開環有限零點為；開環有限極點為,,實軸上的根軌跡區間為和根軌跡有2條漸近線,且；由分離點方程在實軸區間內用試探法求得。繪制根軌跡圖,如圖4-12a所示。當時,需繪制零度根軌跡。實軸上,零度根軌跡區間為<-∞,-3],[-2,-1]和[0,+∞]。作零度根軌跡圖,如圖4-12b所示。當多項式有根時,根據模值條件得根據常規根軌跡圖,知當時,多項式的根皆為實數；根據零度根軌跡圖,知當時,多項式的根亦全為實數。因此所求參數的范圍為。圖4-12a常規根軌跡圖4-12b零度根軌跡4-13設系統開環傳遞函數為：大致畫出系統的根軌跡圖；用文字說明當時,如何求系統單位階躍響應的超調量,峰值時間及調節時間。解：〔1繪根軌跡圖漸近線：分離點：由,得相應的根軌跡增益根軌跡與虛軸交點：閉環特征方程列勞斯表當時,勞斯表出現全零行,由輔助方程得根軌跡與虛軸交點處為根軌跡圖如下圖4-13a所示：圖4圖4-13a〔2求動態性能指標當時,系統,閉環有兩個實主導極點和,且,因此求得調節時間如下：當時,閉環系統有一對共軛復極點,則由于因此4-14設單位負反饋系統的開環傳遞函數為：試畫出系統根軌跡圖,并求出系統具有最小阻尼比時的閉環極點和對應的增益。解：系統在實軸上的根軌跡區域為和在這兩段區域內,均存在分離點。為了求出分離點,令求出因而復數根軌跡是以為圓心,為半徑的一個圓,如圖4-14a所示圖4圖4-14a在圖上,過原點作圓得切線,得最小阻尼比線。由根軌跡圖知,對于等腰直角三角形,必有,故最小阻尼比響應的閉環極點由根軌跡模值條件,可求出相應的增益為4-15已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為：試按照步驟作出時的根軌跡圖。解：開環極點：根軌跡在實軸上的區間根軌跡的漸近線分離點：即整理得為了求取分離點方程的根,將上式表示為令等效開環傳遞函數為其中。若令從變到,其根軌跡如圖4-15a所示。圖中,漸近線圖4圖4-15a；分離點。在圖上,試探,檢驗模值條件故符合要求,故為分離點方程的一個根。利用綜合除法,有求得分離點分離角為根軌跡的起始角根軌跡與虛軸的交點：閉環特征方程為列勞斯表顯然,當時,根軌跡和虛軸相交,由輔助方程求得交點處根據以上步驟,繪制系統根軌跡圖4-15b圖4-15b根軌跡圖圖4-15b根軌跡圖4-16設某單位負反饋系統的開環傳遞函數為：繪制從時系統的根軌跡圖；求系統階躍響應中含有時的值范圍,其中；求系統有一個閉環極點為時的閉環傳遞函數。解：繪制根軌跡圖閉環特征方程為寫成根軌跡方程形式為：令等效開環傳遞函數為實軸上根軌跡：分離點：由求得與虛軸交點：列勞斯表顯然,當時系統處于臨界穩定,由輔助方程并代入,解出交點處分離點處根軌跡增益：由模值條件得：繪出系統根軌跡如圖4-16a所示圖4圖4-16a〔2求值范圍當系統階躍響應含有分量時,系統處于欠阻尼狀態,系統有一對具有負實部的共軛極點,值范圍為〔3求閉環傳遞函數當系統具有閉環極點時,由模值條件,其對應的值為于是閉環傳遞函數為5-1設系統閉環穩定,閉環傳遞函數為,試根據頻率特性的定義證明,輸入為余弦函數時,系統的穩態輸出為解：由題目可得對等式兩邊同時進行拉氏變換可得由于系統閉環穩定,所以不存在正實部的極點。假設可表示為如下表達式由以上分析可得,系統的閉環傳遞函數為對上述閉環傳遞函數作如下分解對上式等式兩邊進行拉氏反變換可得由系統穩態輸出的定義可得利用留數法確定待定的系數所以可得5-2若系統階躍響應為：試確定系統頻率特性解：單位階躍輸入信號的拉氏變換為系統單位階躍響應的拉氏變換為系統的閉環傳遞函數為將代入傳遞函數可得5-3設系統結構圖如圖5-1所示,試確定輸入信號圖5-1習題5-3控制系統結構圖圖5-1習題5-3控制系統結構圖作用下,系統的穩態誤差。解：如圖5-1所示,系統的誤差傳遞函數為其幅頻特性和相頻特性分別為當時5-4已知系統開環傳遞函數；試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解：由題可知,系統的頻率特性如下由于系統,所以開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧當時,當時,又由于,所以有當時,開環幅相曲線始終處于第三象限,如圖5-4a所示；當時,開環幅相曲線始終處于第二象限,如圖5-4b所示。圖5-4a開環幅相曲線圖5-4b開環幅相曲線5-5已知系統開環傳遞函數試分別繪制時系統的概略開環幅相曲線。解：由題目可知,系統的頻率特性如下當時,開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若,則若,則由以上分析可知,系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。當時,開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若,則若,則由以上分析可知,系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。當時,開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若,則若,則由以上分析可知,系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。當時,開環幅相曲線要用虛線補畫的半徑為無窮大的圓弧。若,則若,則由以上分析可知,系統概略開環幅相曲線如圖5-5a所示。圖5圖5-5a系統開環幅相曲線5-6已知系統開環傳遞函數試分別計算和時,開環頻率特性的幅值和相位。解：系統的開環頻率特性表達式如下當時此時當時此時5-7繪制下列傳遞函數的對數幅頻漸進特性曲線=1\*alphabetica．圖2圖2-7a對數幅頻漸進特性曲線=2\*alphabeticb．圖2-7b對數幅頻漸進特性曲線圖2-7b對數幅頻漸進特性曲線對數幅頻漸進特性曲線=3\*alphabeticc．圖2圖2-7c對數幅頻漸進特性曲線對數幅頻漸進特性曲線=4\*alphabeticd．圖2-7d對數幅頻漸進特性曲線圖2-7d對數幅頻漸進特性曲線5-8已知系統開環傳遞函數試繪制的對數頻率特性曲線,并算出截止頻率。解：由題可得則因此對數頻率特性曲線如圖5-8a所示圖5圖5-8a對數頻率特性曲線又,可得,即計算可得5-9已知系統開環傳遞函數為：=1\*alphabetica．計算截止頻率。=2\*alphabeticb．確定對數幅頻漸進特性曲線的低頻漸進線的斜率。=3\*alphabeticc．繪制對數幅頻特性曲線。解：計算可得當時,斜率為；當時,斜率為；當時,斜率為；當時,斜率為；繪制對數幅頻特性曲線,如圖5-9a所示。圖5-9a對數幅頻特性曲線5-10利用奈氏判據分別判斷題5-4,5-5系統的閉環穩定性。解：對于題5-4的系統,分和的兩種情況來討論系統的閉環穩定性。當時,系統的開環幅相曲線如圖5-4a所示,由圖可知,系統的開環幅相曲線不包圍,根據奈奎斯特判據可得又由系統得開環傳遞函數可知即,閉環系統在右半平面無極點,時閉環系統穩定。當時,系統的開環幅相曲線如圖5-4b所示,由圖可知,又由系統得開環傳遞函數可知即,閉環系統在右半平面有2個極點,時閉環系統不穩定。<2>對于題5-5的系統,其開環幅相曲線如圖所示,由圖5-5a可知當時,,又由系統得開環傳遞函數可知即,閉環系統在右半平面無極點,時閉環系統穩定。當時,,又由系統得開環傳遞函數可知即,閉環系統在右半平面有2個極點,時閉環系統不穩定。5-11用勞斯判斷據驗證題5-10的結果。解：〔1對于題5-4的系統,由題得閉環系統特征方程為列勞斯表則當時,,即第一列各值為正,即閉環系統穩定；當時,,即第一列各值不全為正,即閉環系統不穩定。〔2對于題5-5的系統,由題得閉環系統特征方程為,即當時,列勞斯表第一列各值為正,即閉環系統穩定；當時,列勞斯表第一列各值不全為正,即閉環系統不穩定；當時,情況與相同,即閉環系統不穩定。5-12已知三個系統的開環傳遞函數為,,, 又知它們的奈奎斯特曲線如圖5-2<a><b><c>所示。找出各個傳遞函數分別對應的奈奎斯特曲線,并判斷單位反饋下閉環系統的穩定性圖5-2習題5-12控制系統乃奎斯特曲線圖解：三個傳遞函數對應的奈奎斯特曲線分別為圖5-2習題5-12控制系統乃奎斯特曲線圖對式,,則,故系統穩定；對式,,則,故系統穩定；對式,,則,故系統穩定；5-13已知系統開環傳遞函數；試根據奈氏判據,確定其閉環穩定條件：=1\*alphabetica．時,值的范圍；=2\*alphabeticb．時,值的范圍；=3\*alphabeticc．,值的范圍。解：由系統的開環傳遞函數可知,系統的開環曲線圖如圖5-13a所示圖5圖5-13a系統開環曲線由于,故想要閉環系統穩定,必有,即幅相曲線不包圍點。系統的頻率特性表達式如下、時,對于開環幅相曲線與實軸的交點有由上式可得,則交點的實軸坐標為由上式可得、時,對于開環幅相曲線與實軸的交點有由上式可得,則交點的實軸坐標為由上式可得、對于開環幅相曲線與實軸的交點有由上式可得,則交點的實軸坐標為由上式可得5-14某系統的開環傳遞函數為要求畫出以下4種情況下的奈奎斯特曲線,并判斷閉環系統的穩定性：=1\*alphabetica．；=2\*alphabeticb．；=3\*alphabeticc．；=4\*alphabeticd．。解：當時,,其開環幅相曲線如圖5-14a所示,,則,故在平面右半平面有2個閉環極點,閉環系統不穩定；b．當時,若,則若,則其開環幅相曲線如圖5-14b所示,,則,故系統不穩定；c．當時,若,則若,則其開環幅相曲線如圖5-14c所示,,則,故系統不穩定；d．當時,由可得,故可得其開環幅相曲線如圖5-14d所示,,圖5-14a開環幅相曲線圖5-14b開環幅相曲線圖5-14a開環幅相曲線圖5-14b開環幅相曲線圖5-14c開環幅相曲線圖5-14d開環幅相曲線5-15已知反饋控制系統的開環傳遞函數為,如果閉環系統不穩定,閉環傳遞函數會有幾個極點在復數平面的右半平面？解：當時,當時,由于系統不穩定,故可得其開環幅相曲線如圖5-15a所示由圖可得,則,故閉環傳遞函數有2個極點在復數平面的右半平面。圖5圖5-15a開環幅相曲線5-16設控制系統的結構圖如圖5-3所示。=1\*alphabetica．求出開環傳遞函數；=2\*alphabeticb．畫出對數相頻特性曲線；=3\*alphabeticc．求出臨界開環比例和截止頻率；=4\*alphabeticd．用奈氏判據判斷該系統是否穩定,如果穩定再分別求出當輸入信號和的情況下系統的靜態誤差。圖5-3習題5-16控制系統結構圖圖5-3習題5-16控制系統結構圖解：〔a系統開環傳遞函數為〔b,,圖5圖5-16a〔c,,系統開環頻率特性為與實軸的交點故幅相曲線為圖5-16b圖5-16b當時,系統臨界穩定,得當時,,系統穩定圖5-16c當時,,系統不穩定當時,,當時,5-17已知某最小相位系統的開環對數幅頻特性如圖5-4所示。=1\*alphabetica．寫出其開環傳遞函數；=2\*alphabeticb．畫出其相頻特性草圖,并從圖上求出和標明相角裕度和幅值裕度；=3\*alphabeticc．求出該系統達到臨界穩定時的開環比例系數值；圖5-4習題5-17控制系統結構圖=4\*alphabeticd．在復數平面上畫出其奈奎斯特曲線,并標明點的位置。圖5-4習題5-17控制系統結構圖解：〔1確定系統積分或微分環節的個數。因對數幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為,由圖,低頻漸近斜率為,故,系統含有2個積分環節。〔2確定系統傳遞函數結構形式。由于對數幅頻漸近特性曲線為分段折線,其各轉折點對應的頻率為所含一階或二階環節的交接頻率,每個交接頻率處斜率的變化取決于環節的種類。處,斜率變化,對應微分環節；處,斜率變化,對應慣性環節；處,斜率變化,對應慣性環節。因此,所測系統具有下述傳遞函數其中待定。〔3低頻漸近線方程為由給定點,得故所測系統傳遞函數為5-18設單位反饋控制系統的開環傳遞函數試確定相角裕度為時的參數值。解：系統的頻率特性表達式為設系統的截止頻率為,則由相角裕度的定義可得即又由于由上式得所以5-19若高階系統的時域指標為,,試根據經驗公式確定系統的截止頻率和相角裕度的范圍。解：根據經驗公式,根據題意有,可求得5-20典型二階系統的開環傳遞函數若已知,試確定相角裕度的范圍；若給定,試確定系統帶寬的范圍。解：由于且,可解得而根據題意又有,且故計算可得：5-21設二階系統如圖5-5<a>所示。若分別加入測速反饋校正,〔圖5-5<b>和比例-微分校正,〔圖5-5<c>,并設,,試確定各種情況下相角裕度的范圍,并加以比較。圖5-5習題5-21控制系統結構圖圖5-5習題5-21控制系統結構圖解：<a>由題意可知系統開環頻率特性,,設為截止頻率,當時,則有和把代入上式,得：,<b>由題意可知系統開環傳遞函數為其開環頻率特性為設為截止頻率,當時,則有和把,設,代入上式,得：,<c>由題意可知系統開環傳遞函數為,其中其開環頻率特性為,設為截止頻率,當時,則有和把,設,代入上式,得：,圖5-6習題5-22控制系統結構圖5-22已知單位反饋系統的開環幅相特性曲線如圖5-6所示。當時,系統幅值裕度,穿越頻率,試求輸入為,幅值裕度為下述值時,系統的穩態誤差。圖5-6習題5-22控制系統結構圖=1\*alphabetica．=2\*alphabeticb．解：設系統開環傳遞函數為：開環系統幅頻特性為：系統的開環頻率特性為：解得當有,得則系統開環傳遞函數可寫成系統與實軸的交點為當時,,當時,,5-23設單位反饋系統如圖5-7所示。其中,；時,截止頻率,若要求不變,問與如何變化才能使系統相角裕度提高至？解：開環系統幅頻特性為：相頻特性為：當時,,把代入得：若要求相角提高,即要求提高,設調整后的系統相頻特性為：調整后的值為：,值不做調整。圖5-7習題5-23單位反饋系統結構圖圖5-7習題5-23單位反饋系統結構圖5-24已知單位反饋控制系統的開環傳遞函數為試繪制系統的對數頻率特性曲線,并據此確定：=1\*alphabetica．求時的相角裕度；=2\*alphabeticb．求時的幅值裕度；<1>解：開環系統幅頻特性為：令,當時,得開環系統相頻特性為：,當時,有<2>解：開環系統的頻率特性為：令其虛部為零,即得5-25若單位反饋系統的開環傳遞函數試確定使系統穩定的值。解：系統的頻率特性表達式為由上式可得,系統的幅頻特性和相頻特性分別為系統臨界穩定時開環幅相曲線穿過點,此時由上式可得,顯然,當時,由奈奎斯特穩定判據可得系統閉環穩定。故的取值范圍為5-26設單位反饋系統的開環傳遞函數試確定閉環系統穩定時,延遲時間的范圍。解：系統的頻率特性表達式為由上式可得,系統的幅頻特性和相頻特性分別為系統臨界穩定時開環幅相曲線穿過點,此時由幅頻特性可得解之可得〔舍去又即顯然,當時,由奈奎斯特穩定判據可得系統閉環穩定。故的取值范圍為6-1設單位反饋系統開環傳遞函數為：試設計一無源校正網絡,使已校正系統的相角裕度不小于,截止頻率不低于。解：作待校正系統對數幅頻特性,如圖6-1a所示,得,故應選擇超前網絡。圖6-1a系統特性取,量得,由,求得取無源超前網絡將放大增益提高4倍,作校正后系統,見圖6-1a,得滿足設計要求得如下指標：6-2設單位反饋系統的開環傳遞函數：試設計一串聯超前校正裝置,使系統滿足如下指標：相角裕度；在單位斜坡輸入作用下的穩態誤差；<3>截止頻率。解：首先確定開環增益得,取則開環傳遞函數為由,得未校正前的截止頻率對應得相角裕度不符合要求,進行串級超前校正。取計算由,得,所以所以設計得超前網絡傳遞函數為最終校正系統的開環傳遞函數為驗算滿足性能指標要求,設計合理。6-3已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：試設計串聯校正裝置,使校正后系統的相位裕度,幅值裕度,靜態速度誤差系數。解：給定系統的穩定裕量時宜采用頻率響應校正設計方法。確定期望的開環增益。因為,所以取。分析增益校正后的系統。圖6-2中的虛線為的對數幅頻特性和相頻特性。圖6-3a中的對數幅頻特性采用的是漸近線,漸近線的拐點處的分貝數用數字表示,相頻特性為示意圖。從圖6-3a虛線所示的對數幅頻特性可以測算出增益穿越頻率圖6-3a系統校正前后的伯德圖相位裕量。校正的任務是增加相位裕量。由圖可以看出,采用超前校正,可以提高相位裕量。因為增益已經確定,所以超前校正裝置采用的形式。在時,,因此校正裝置不會影響低頻增益,故而不會改變已獲得的靜態誤差系數。圖6-3a系統校正前后的伯德圖由可得,并進而取。超前校正裝置的最大相角頻率為,而且在該頻率的增益為。要使增益穿越頻率等于,曲線必須在處穿過軸,即所以由圖6-2可以算出。進而取可得故校正裝置的傳遞函數為6-4設系統開環傳遞函數為：試用比例—微分裝置進行校正,使系統,,并確定校正參數。解：首先確定開環增益,取所以未校正開環傳遞函數為計算校正前截止頻率為計算相角裕度為相角裕度低于性能指標,可用比例微分裝置進行校正。設比例微分校正裝置傳遞函數為需要補償德超前角為取,又因為可得比例微分裝置的時間常數所以比例微分校正裝置的傳遞函數為校正后系統的開環傳遞函數為驗算符合要求。6-5設單位反饋系統的開環傳遞函數為：試設計串聯校正裝置,使系統的,。解：取,繪待校正系統,如6-5a圖,由圖6-5a查得采用超前網絡,其最大超前相角應為由于較大,應采用兩級超前校正,每級超前網絡傳遞函數為依據,算得,取,故校正后系統開環傳遞函數為當時,因為是和得幾何中點,因此可得從而求得,代入,有,于是圖6圖6-5a系統的對數頻率特性經放大補償后,驗算：故將增大,取,算得滿足設計要求。因此,放大器增益需提高6倍。6-6設單位反饋系統開環傳遞函數為：試設計一串聯滯后校正網絡,使已校正系統的相角裕度為,幅值裕度不低于,開環增益保持不變,截止頻率不低于"1"。解：畫校正前系統開環對數頻率特性曲線,由圖6-6a得表明待校正系統不穩定,由于大于要求得,故可采用串聯滯后校正。圖6圖6-6a系統的對數頻率特性曲線由畫曲線根據題目意思,估計,而,因此由曲線查得,滿足的要求。當時,,故令,求得。于是串聯滯后網絡傳遞函數為校正后系統開環傳遞函數為驗算：,滿足要求。6-7對于題6-4試用比例—積分裝置進行串聯校正。解：加PI控制器后,系統成為Ⅱ型,有,必滿足穩態性要求。因此可取任何滿足要求得任意值。因待校正系統。今要求,再考慮校正元件產生的滯后相位,可以選擇,使。設取,由題可得,所以未校正開環傳遞函數為選PI校正裝置傳遞函數根據,取,則校正后系統的傳遞函數為校正后的相角裕度滿足設計要求。6-8已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：試設計串聯校正裝置使系統具有相位裕度,幅值裕度,靜態速度誤差系數。解：由題意可得畫的伯德圖,從圖6-8a中可以看出,只要將對數幅頻漸近線德中段下降,即可滿足相位裕量要求。所以,采用滯后校正,傳遞函數取為令,它對應的相角為對應于該期望相位裕量的頻率為解得,即為新的增益穿越頻率圖6圖6-8a系統校正前后的伯德圖令,得因此,,即,解得。滯后校正裝置的傳遞函數為：校正后系統的開環傳遞函數為驗算,符合要求。6-9設單位反饋系統開環傳遞函數為：要求設計—串聯校正裝置,使系統滿足：輸入速度為時,穩態速度誤差不大于；許可的放大器增益不變；相角裕度不小于,截止頻率為。解：繪待校正系統,由圖6-9a得,算出。表明待校正系統不穩定,且要求,宜采用串聯滯后－超前校正。圖6-9a系統對數幅頻特性由圖知,,則,于是在時,的斜率均為－20。由于要求,故可得因此,已校正系統開環頻率特性為令,由可以求出,于是校正網絡為驗算：,滿足指標要求。6-10已知單位反饋系統的開環傳遞函數為：試設計串聯滯后超前校正裝置使校正后系統具有相角裕度,增益穿越頻率,靜態速度誤差系數。解：由題意可得所以增益校正后的開環傳遞函數為由題意,采用超前和滯后分別設計的滯后超前裝置,即其中,且不一定等于1。設計超前部分：根據題目要求,超前部分至少應再提供超前角,故取超前裝置的最大超前角為,由此可算的,由,故因此,超前部分的傳遞函數為由于它的零點和對象的一個極點十分接近,故該取所以設計滯后部分：要使成為增益穿越頻率,必須滿足,可解得,即令,得,所以滯后部分的傳遞函數為從而可得,超前滯后裝置的傳遞函數為校正后的開環傳遞函數為驗算,,符合要求。6-11已知系統開環傳遞函數為：試設計PID校正裝置,使系統,且。解：令,作待校正系統,如圖6-11a。由圖6-7