有限與無限的問題第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五2高等數學與初等數學的區別？第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3更加全面；更加深刻；更加細微；更加本質；更加理論化；更加系統化；…………第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五4高等數學與初等數學的區別？從研究“常量”發展到研究“變量”從研究“有限”發展到研究“無限”

初等數學更多地在“有限”的領域里討論，更多地以“有限”為手段和工具進行討論；高等數學則更多地在“無限”的領域里討論，更多地以“無限”為手段和工具進行討論。第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五5什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發，經過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結論。

悖論（paradox）具體是指：由一個被承認是真的命題為前提，設為B，進行正確的邏輯推理后，得出一個與前提互為矛盾命題的結論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個悖論。所謂正確第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五6

例如：“甲是乙”與

“甲不是乙”這兩個命題中總有一個是錯的；但“本句話是七個字”與

“本句話不是七個字”又均是對的，這就是悖論。第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五7

再如：“萬物皆數”學說認為“任何數都可表為整數的比”；但以1為邊的正方形的對角線之長卻不能表為整數的比，這也是悖論。第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

1.外祖母悖論

我會穿梭時空，回到過去，把我自己的外祖母殺了。我外祖母沒了，我媽就沒了，我也就沒了。而我沒了，就沒有人殺我外祖母，我外祖母就不會死，那我又有了。而有了我，外祖母就沒了，我也就沒了……這就是悖論，自己與自己就有矛盾。

3.“說謊者循環”

A說：“下面是句謊話。

B說：“上面是句真話。”

2.說謊者悖論——自指引發的悖論

“我正在說謊”

有克利特人中的一個本地中先知說：“克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶”(《圣經·提多書》第一章)第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五物理學中“平行宇宙”

這一理論中，世界不是只有一個，而是有許多平行的世界存在，按照如今的歷史過程：羅馬帝國時代、大英帝國時代、工業時代、第一次世界大戰、第二次世界大戰、電腦網絡……如果將整個工業時代去掉，那至此以后的歷史軌跡將會得到巨大的改變，或者兩次世界大戰都不會出現，又或者世界大戰將會在我們的另外一個平行的世界里存在，也就是說另外一個世界如今的我們可能正在遭受著戰爭的陰影。這個時候“外祖母悖論”就有了合理的解釋：一個人可以回到過去殺死自己的外祖母，但這將導致世界進入兩個不同的軌道，一條中有那個人（原先的軌道），而另一條中沒有那個人。第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五《TheTimeMachine》《TheMatrix》第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五13

一、芝諾悖論---由無限引出的

芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學派創始人巴門尼德的學生。他企圖證明該學派的學說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實的；運動只是假象。于是他設計了四個例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學角度提出的。第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五1）兩分法向著一個目的地運動的物體，首先要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2如此類推，以至無窮，永遠不能到達終點。結論是：無窮是不可窮盡的過程，運動永遠不可能開始的。

第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五15

2）阿基里斯(Achilles)悖論：阿基里斯追不上烏龜。第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3）飛矢不動悖論一支飛行的箭是靜止的：由于每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運動狀態。第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五4）“操場或游行隊伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運動。從靜止的C看來，比如說，A、B都在1小時內移動了2公里；可是，從A看來，則B在1小時內就移動了4公里。由于B保持等速移動，所以移動2公里的時間應該是移動4公里時間的一半。因而一半的時間等于兩倍的時間。第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五182.癥結——“有限與無限”的矛盾無限段長度的和，可能是有限的；無限段時間的和，也可能是有限的。3.芝諾悖論的意義：

1）促進了嚴格、求證數學的發展

2）較早的“反證法”及“無限”的思想

3）尖銳地提出離散與連續的矛盾：空間和時間有沒有最小的單位？第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五19

芝諾的前兩個悖論是反對“空間和時間是連續的”，后兩個悖論則是反對“空間和時間是離散的”。在芝諾看來，這兩種理論都有毛病；所以，“運動只是假象，不動不變才是真實”。芝諾的哲學觀點雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時間是連續還是離散的問題，引起人們長期的討論，促進了認識的發展，不能不說是巨大的貢獻。第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五/paradox-box/

從驚訝到思考——數學悖論奇景第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五21二、“有無限個房間”的旅館

1.“客滿”后又來1位客人（“客滿”？）

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2345┅k+1┅

空出了1號房間

第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五22

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數號房間

第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五23

3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個的空房間

第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五24全面、深刻地揭示本質的回答

是容易推廣的。第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五25

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

2468┅2k┅

空下了奇數號房間

共兩個這樣的旅游團，所以把房間兩個一份、兩個一份地分，可以讓兩個旅游團的1號客人、2號客人、。。。分別入住。

第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五26

3.客滿后又來了一萬個旅游團，每個團中都有無窮個客人

1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅

10001200023000340004┅10001×k┅

給出了一萬個、又一萬個的空房間

第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五27全面、深刻地揭示本質的回答

是容易推廣的。該旅館客滿后又來了9857個旅游團，每個團中都有無窮個客人，如何安排？該旅館客滿后又來了10億個旅游團，每個團中都有無窮個客人，如何安排？第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五28是否有人想提什么問題？第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五29

4.該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？

“無窮大！任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個其他觀點都不曾如此有效地激勵人類的智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清……”----Hilbert第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五30三、無限與有限的區別和聯系

1.區別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質），而在有限的情況下，部分總是小于全體。第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五31

當初的伽利略悖論，就是因為沒有看到

“無限”的這一個特點而產生的。

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對應，于是推出兩集合的元素個數相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數不相等。這就形成悖論。]第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五32

2.）

“有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立

（1）實數加法的結合律在“有限”的情況下，加法結合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，

a，b，c

第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五33

在“無限”的情況下，加法結合律不再成立。如第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五34

（2）有限級數一定有“和”。√

是個確定的數無窮級數一定有“和”。×

則不是個確定的數。稱為該級數“發散”。反之稱為“收斂”。第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五35

2.聯系

在“有限”與“無限”間建立聯系的手段，往往很重要。

1）數學歸納法

通過有限的步驟，證明了命題對無限個自然數均成立。

2）極限

通過有限的方法，描寫無限的過程。

如：；自然數N，都，使時，。

第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五36

3）無窮級數

通過有限的步驟，求出無限次運算的結果，如

4）遞推公式,n=2,3,…

第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五37

3.數學中的無限在生活中的反映

1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的（整體看又是圓的）

2）銼刀銼一個光滑零件：每一銼銼下去都是直的（許多刀合在一起的效果又是光滑的）第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五38

3）不規則圖形的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。規則圖形的面積→不規則圖形的面積？法Ⅰ.用方格套（想像成透明的）。方格越小（格子的數目越多），所得面積越準。

第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五39

法Ⅱ.首先轉化成求曲邊梯形的面積，（不規則圖形→若干個曲邊梯形），再設法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，矩形面積之和近似等于曲邊梯形面積；越小，就越精確；再取極，就得到曲邊梯形的面積。第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五40

四、潛無限與實無限

1．潛無限與實無限簡史

潛無限是指把無限看成一個永無終止的過程，認為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個實體。第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五41

從古希臘到康托以前的大多數哲學家和數學家都持這種潛無限的觀點。他們認為“正整數集是無限的”來自我們不能窮舉所有正整數。例如，可以想象一個個正整數寫在一張張小紙條上，從1，2，3，…寫起，每寫一張，就把該紙條裝進一個大袋子里，那么，這一過程將永無終止。因此，把全體正整數的袋子看作一個實體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。亞里士多德只承認潛無限，不承認直線是由點構成。

第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五42

但康托不同意這一觀點，他很愿意把這個裝有所有正整數的袋子看作一個完整的實體。這就是實無限的觀點。康托的工作是劃時代的，對現代數學產生了巨大的影響，但當時，康托的老師克羅內克爾，卻激烈反對康托的觀點。所以康托當時的處境和待遇都不太好。高斯反對實無限：反對把無窮量作為現實的實體，認為無限只不過是一種說話的方式

第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五實無限、潛無限只是一個硬幣的兩個面兩種無窮思想經歷了此消彼長，兩種無限在現代數學中都是有用武之地。微積分采用潛無限，非標準分析采用實無限無窮本身是一個矛盾體，既是一個需無窮逼近的過程，也是一個可供研究的實體Hilbert認為：無窮是一個永恒之謎，無窮是人類心情寧靜的最大敵人第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五44康托GeorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國數學家，集合論的創始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時入瑞士蘇黎世大學,翌年轉入柏林大學,主修數學，從學于E.E.庫默爾、K.（T.W.）外爾斯特拉斯和L.克羅內克。1866年曾去格丁根學習一學期。1867年在庫默爾指導下以數論方面的論文獲博士學位。1869年在哈雷大學通過講師資格考試，后即在該大學任講師，1872年任副教授，1879年任教授。第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五由于康托爾的無窮學說從根本上否定了“整體大于部分”的觀念，而且他在無限王國走得如此遠，以至于同時代的數學家和哲學家都不能理解他的觀點，懼怕集合論。有人說，康托爾的集合論是一種“疾病”，康托爾的概念是“霧中之霧”，甚至說康托爾是“瘋子”。來自數學權威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進精神病醫院。1918年1月6日，康托爾在一家精神病院去世。

康托的無窮集合論也導致了第三次數學危機。

第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五三次數學危機與“無限的聯系

第一次數學危機的要害是不認識無理數，而無理數是無限不循環小數，它可以看成是無窮個有理數組成的數列的極限。。

第二次數學危機的要害是極限理論的邏輯基礎不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責難，也集中在“無窮小量”上。由于無窮和有窮的本質區別，所以極限的嚴格定義，極限的存在性，無窮級數的收斂性這樣一些問題就顯得特別重要。

第三次數學危機的要害是“是其本身成員的所有集合的集合”這樣界定集合的說法有毛病。人們犯了自我指謂、惡性循環的錯誤。而且“所有集合的集合”這樣的說法涉及無窮多個集合，有些矛盾可能掩蓋在其中難以發覺，特別是無窮集合之間也可能比較大小，這一新鮮事物讓許多人難以接受。第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五47

2．無限集合也有“大小”

——從“一一對應”說起

實無限的觀點讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的“大小”。正整數集合是最“小”的無限集合。實數集合比正整數集“大”。實數集合上全體連續函數的集合又比實數集合更大。不存在最“大”的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更“大”的無限集合）。第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

“無窮集合”的本質“無窮集合”中一定可以找到一個真子集，與全集一一對應。如果一個集合中能夠找到一個真子集，與全集一一對應，這個集合一定是“無窮集合”。第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五49

這需要“一一對應”的觀點。

1）“一一對應”——雙射（單射+滿射）

2）集合的勢|A|——集合中元素的多少

3）|N|=可數無窮勢a

，|Q|=a4）|R|=不可數無窮（稱連續統勢c）,

：無理數比有理數多得多。第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五50

5）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是a；不存在最大的勢。

6）“連續統假設”長期未徹底解決“連續統假設”：可數無窮a是無限集中最小的勢，連續統勢c是（否？）次小的勢。

？第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五51

康托1882年曾認為他證明了這一假設，后來發現證明有錯。直到現在，這一問題仍吸引著一些數學家的興趣。第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五無限可分與原子論很多思想家都研究過無窮大。古希臘的哲學家們就一條線段(或者就任何數量而言)，是不是可無限地被分割，或者說是不是可以最終得到一個不可分割的點(即“原子”)等問題，展開了無休止的爭論。他們的現代追隨者——物理學家們今天仍然還在設法解決同一個問題，他們使用巨大的粒子加速器尋找“基本粒子”——那些構成整個宇宙的基本磚塊。天文學家一直在從另一個極端的——無限廣闊的——尺度上思索著無窮大問題。我們的宇宙真像它所呈現在晴朗的黑夜那樣無窮無盡，或是它有一個邊界(在這個邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙的可能性似乎是對我們常識的一種挑戰。我們可以在任何方向上一直走下去而永遠也到不了“邊”，這個事實不是很清楚嗎？但是我們將不難看出，當研究無窮大時，“常識”是一個非常差勁的向導！

第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

古希臘哲學家、詩人盧克萊修認為宇宙是無限的，在其哲理長詩《物性論》中曾提到：如果你說宇宙是有限的，那么我的拐杖就能扔出這個有限的宇宙去！第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五德國數學家黎曼對這一問題給出了解答，舉例說明：一只圓盤的表面是有限的，也是有界的，一只螞蟻走到圓盤的邊界就會掉下去；而一個足球的表面是有限的，卻是無界的，無論螞蟻在球面上怎么走都不會碰到邊界．這種對“無限”和“無界”的區分，尤其是有限無界的提法具有很重要的哲學意義：否定了宇宙是無限的說法。

即：這個宇宙是有限的，而不是無限的；這個宇宙不是無限宇宙中的有限宇宙，在這個宇宙之外已經沒有任何空間了！第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五55

五．哲學中的無限

1．哲學對“無限”的興趣

哲學是研究整個世界的科學。自從提出“無限”的概念，就引起了哲學家廣泛的關注和研究。現在我們知道哲學中有下邊一些命題：

第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五56

物質是無限的；時間與空間是無限的；物質的運動形式是無限的。一個人的生命是有限的；一個人對客觀世界的認識是有限的。第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五57

2．數學對“無限”的興趣

數學則更嚴密地研究有限與無限的關系，大大提高了人類認識無限的能力。在有限環境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過程中體現出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對無限的認識成果，則是人類智慧與熱情的共同結晶。一個人，若把自己的智慧與熱情融入數學學習和數學研究之中，就會產生一種特別的感受。如果這樣，數學的學習不僅不是難事，而且會充滿樂趣。第57頁，共6