全國初中數學聯賽試題詳解

前言

1981年，中國數學會開始舉辦“高中數學聯賽”，經過1981、1982、1983三年的實踐，這

-群眾性的數學競賽活動得到了全國廣大中學師生歡迎，也得到了教育行政部門、各級科學

技術協會、以及社會各階層人士的肯定和支持。"試題所涉及的知識范圍不超出現行教學大

綱”這一命題原則，也得到了更多的理解和擁護，由此“高中數學聯賽”已形成制度。同時，

全國各地都提出了舉行“初中數學聯賽”的要求。1984年，中國數學學會普及工作委員會

商定，委托天津市數學會舉辦一次初中數學邀請賽，有14個省、市、自治區參加，當時條

件較簡陋，準備時間也較倉促，但天津數學會的同志，在南開大學數學系和天津師范大學數

學系的大力支持下，極其認真負責地把這次活動搞得很成功，為后來舉辦“初中數學聯賽”

摸索了很多經驗。當年11月，在寧波召開的中國數學會第三次普及工作會議時，?致通過

了舉辦“初中數學聯賽”的決定，并詳細商定了一些具體辦法，規定每年四月的第一個星期

天舉行“初中數學聯賽”。會上湖北省數學會、山西省數學會、黑龍江省數學會分別主動承

擔了1985年、1986年、1987年的“初中數學聯賽”主辦工作，從此，“初中數學聯賽”也

形成了制度。

初中數學聯賽原來不分?試、二試。為了更好地貫徹“在普及的基礎上不斷提高”的方針，

1989年7月，在濟南召開的“數學競賽命題研討會”上，各地的代表商定，初中聯賽也分

兩試進行，并對一落千丈、二試各種題型的數目，以及評分標準作出明確的規定，使初中聯

賽的試卷走向規范化。

中國數學會所舉辦的全國高中數學聯賽、全國初中數學聯賽，以及小學數學奧林匹克，都是

群眾性的數學課外活動，是大眾化、普及型的數學競賽。高中聯賽與全國中學生數學冬令營

業員銜接，有“選拔”的作用，但初中聯賽沒有類似的作用，因此，更具有“面向大多數”

的特點。目前，每年有12萬名學生參加。為了讓更多學生都能發揮他們的聰明才智，培養

興趣，充分發掘他們學習上的潛力，調動學習數學的積極性，我們力求讓試題能夠適合全國

多數參賽學生。從1991年起，我們力求降低試題的難度。題目不難，又要有點意思，還要

有競賽氣氛，要做到是不容易的。1993年，由內蒙古數學會主辦初中聯賽，內蒙古數學會

主要負責人都參加了命題工作，對試題反復進行修改，在試題的通俗化上下了很大功夫，因

此，試題很受稱贊。

所謂“聯賽”，就是各省、市、自治區聯合舉辦，輪流做莊，大家提供試題，“聯賽”充滿著

協作精神。從1984年至1993年這十年的試題，凝聚著全國許許多多數學工作者的心血，特

別是主辦單位更是認真負責，不辭辛勞，借此機會，我代表中國數學會普及工作委員會向所

有為“初中數學聯賽”作出努力和給予支持的同志表示崇高敬禮。

在每屆主辦省、市、自治區數學會精心作出的試題解答的基礎上，由中國數學會普及工作委

員會兩位副主任；劉玉翹先生、魏有先生執筆完成了這本試題集。這是中國數學會首次公開

初中聯賽的試題和解答。

缺點和錯誤恐怕難免，請廣大讀者不吝指教！

裘宗滬

1993年12月

修訂說明

由中國數學會普及工作委員會組織一批中國數學奧林匹克高級教練員編寫的《全國初中數學

聯賽試題詳解》，自1994年問世至今，經全國各地許多奧校以及各級各類學校的廣大數學愛

好者使用以后，無論在內容形式上和裝幀設計上均給予好評。不少讀者指名要購買此書。

為了提高本書的質量，不辜負廣大讀者的厚愛，應廣大讀者要求，我們對《全國初中數學聯

賽試題詳解》中存在的不足進行了技術上的修訂。第一次修訂我們除對書中存在的問題進行

了糾正和調整，更主要的是對1994年以后的試題進行了增補，還對開本和版式做了更改和

變動，并把書名更改為《歷屆全國初中數學聯賽試題詳解》。這次修訂，則是在第一次修訂

的基礎上增補了近兩年的競賽試題，書名更改為《最新全國初中數學聯賽試題詳解》，以滿

足廣大數學愛好者的需要。

真誠地希望廣大讀者繼續關心和使用本書，并對書中的不足批評指正，使之不斷完善。

目錄

試題部分

一九八四年

一九八五年

一九八六年

一九八七年

一九八八年

一九八九年

一九九O年

一九九一年

一九九二年

一九九三年

一九九四年

一九九五年

一九九六年

一九九七年

一九九八年

一九九九年

二000年

解答部分

一九八四年

一九八五年

一九八六年

一九八七年

一九八八年

一九八九年

一九九0年

一九九一年

一九九二年

一九九三年

一九九四年

一九九五年

一九九六年

一九九七年

一九九八年

一九九九年

二000年

附錄1中國數學會普及工作委員會簡介

附錄2初中數學競賽大綱(修訂稿)

試題部分

一九八四年

一、選擇題

1.若則

(A)a>0；(B)a<0；(C)a<-l；(D)-l<a<0；(E)以上結論都不對。

答()

2.以線段a=16,b=13,c=10,d=6為邊，且使a〃c作四邊形，這樣的四邊形

(A)能作一個；(B)能作二個(C)能作三個；(D)能作無數多個；(E)不能作。

答()

3.周長相同的正三角形、正方形、正六邊形的面積分別是S3,S4,S6,則

(A)S3>S4>S6(B)S6>S4>S3(C)S6>S3>S4(D)S3>S6>S4(E)S4>S6>S3

答()

4.如圖，直線h和k上點的坐標(x,y)滿足關系式

(A)lxl+lyl=0；(B)1x1+7/=1；(C)x2-lyl=l；(D)lxl+lyl=0：(E)x-lyl=0

5.方程x?+l984513x+3154891=0

(A)沒有實數根；(B)有整數根；(C)有正數根；(D)兩根的倒數和小于-1；(E)以上

結論都不對。

答（）

6.ZSABC的三條外角平分線相交成一個△LMN,則ALMN

（A）一定是直角三角形；（B）一定是鈍角三角形；（C）一定是銳角三角形；（D）不一定

是銳角三角形；（E）一定不是銳角三角形。

答（）

7.已知方程2x2+kx-2k+l=0的兩實根的平方和為29/4,則k的值為

（A）3；（B）-11；（C）3或-11；（D）11；（E）以上結論都不對。

答（）

8.一個兩位數，交換它的十位數字與個位數字所得的兩位數是原來數的7/4倍，則這樣的

兩位數有

（A）14-（B）2個；（C）4個；（D）無數多個；（E）0個。

答（）

9.半徑為13和半徑為5的兩個圓相交，圓心距為12,則這兩圓公共弦長為

（A）3A/TT；（B）65/6；（C）4后；（D）10；（E）以上結論都不對。

答（）

10.下列哪一個數一定不是某個自然數的平方（其中n為自然數）

（A）3n2-3n+3；（B）4n2+4n+4；（C）5n2-5n-5；（D）7n2-7n+7；（E）lln2+lln-ll.,

答（）

二、試推導出一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0）的求根公式。

三、已知：A=6lgp+lgq,其中p、q為質數，且滿足q-p=29。求證：3VA<4。

四、已知：如圖，AB=BC=CA=AD,AH_LCD于H,CPJ_BC交AH于P。求證：Z\ABC

的面積S=-AP?BD。A

4

五、在銳角AABC中，AC=1,AB=c,4ABC的外接圓半徑長RW1。求證:

cosA<c^cosA+V3sinAo

六、有兩種重量（設分別為p與q，且p>q）的球五個，涂紅、白、黑三種顏色，其中，兩

個紅球重量不同：兩個白球重量也不同：一個黑球不知它的重量是p還是q。由于從外形上

不能確定球的輕重，請你用一臺無祛碼的天平（只能比較輕重，不能稱出具體重量）稱兩次,

將5個球的輕重都區分出來。試敘述你的稱球辦法，并說明理由。

提示：用天平稱球比較重量的結果，可用等號或不等號表示。

一九八五年

一、選擇題

1.設ABCD為圓內接四邊形，現在給出四個關系式

（1）sinA=sinC;（2）sinA+sinC=O;（3）cosB+cosD=0;（4）cosB=cosD?

其中總能成立的關系式的個數是

（A）?個；（B）兩個；（C）三個；（D）四個。

答（）

2.若n是大于1的整數，則

p=n+（〃2-1）2的值

（A）一定是偶數；（B）一定是奇數；（C）是偶數但不是2；（D）可以是偶數也可以是奇數。

答（）

3.在平行四邊形ABCD中，P為BC的中點，過P作BD的平行線交CD于Q,連PA、PD、

QA、QB,則圖中與4ABP面積相等的三角形，除4ABP外還有

AD

BPC

（A）三個；（B）四個；（C）五個；（D）六個。

答（）

4.函數y=l-lx-x2|的圖像大致形狀是

（A）圖1中的實線部分；（B）圖2中的實線部分;

(C)圖3中的實線部分；(D)圖4中的實線部分。

5.[x]表示取數x的整數部分，例如[15/4]=3等，若

X=1,8,11,14時,y=l；

x=2,5,12,15時，y=2；

x=3,6,9,16時、y=3；

x=4,7,10,13時,y=0o

則表達式中的u等于

6.如圖，在等腰aABC中，CD是底邊AB上的高，E是腰BC的中點，AE交CD于F,

現在給出三條路線:

(a)AfF-CfEfBfDfA；

(b)A-C-E-B-D-F-A；

(c)AfDfBfEfFfCfA。

設它們的長度分別為L(a),L(b),L(c),那么下列三種關系式:L(a)<L(b)<L(c)

中，一定能夠成立的個數是

(A)0令(B)1個；(C)2個；(D)3個。

1.設a-b=2+百,b-c=2-73,則aZ+bZQab-bc-ca的值為()。

2.設方程x2-402x+k=0的一根加3,即為另一根的80倍。那么k=()。

3.有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙

10件，丙1件，共需4.20元。現在購甲、乙、丙各1件共需()元。

4.不等式42x?+ax<a2的解為()。

5.已知x(x#0,±1)和1兩個數，如果只許用加法、減法，1作被除數的除法三種運算

(可以使用括號)，經過六步算出x?,那么計算的表達式是()。

6.在正實數集上定義一個運算*,其規則為：當a2b時，a*b=ba；當a〈b時，a*b=b2。根

據這個原則，方程3*x=27的解是()。

三、如圖，O為凸五邊形ABCDE內一點，且Nl=/2,Z3=Z4,Z5=Z6,Z7=Z8O

求證：N9與/10相等或互補。

8/1

OB

四、如圖。0卜。。2外切于A,半徑分別為n和摩PB、PC分別為兩圓的切線，B、C為

切點；PB：PC=r,：r2；又PA交。O2于E點。求證：△PABSZ^PEC。

五、有一長、寬、高分別為正整數m、n、r(mWnWr)的長方體，表面涂上紅色后切成棱

長為1的正方體，已知不帶紅色的正方體個數與兩面帶紅色的正方體個數之和，減去一面帶

紅的正方體個數得1985。求m、n、r的值。

一九八六年

一、選擇題

1.已知logxa=a(a為大于1的正整數)，則x的值為:

(Ig。)(Iga)a］。,

(A)10a，s：,：(B)10J:(C)10u；(D)I。“1

2.如果a<b,那么J-(x+a)3(x+b)等于

(A)(x+a)J-(x+a)(x+C)；(B)(x+a)J(x+a)(x+b)；

(C)-(x+a)J-(x+a)(x+/?)；(D)-(x+a)J(x+a)(x+b)。

3.若關于Ixl的方程k-2用1=2有三個整數解，則a的值是

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。

4.記號［x］表示不超過x的最大整數(例如［石］=2)。設n是自然數，且

I=(n+l)2+n-［7(?+1)2+n+lf,那么

(A)I>0(B)KO(C)1=0(D)當n取不同的值時，以上三種情況都可能出現。

答()

5.四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA之長分別是1,9,8,6(如圖)，對于以下命題:

a.四邊形ABCD外切于圓；八D

b.四邊形ABCD不內接于圓；

c.對角線不互相垂直：

d.NADC290°；

e.ABCD是等腰三角形。

正確的認識是

（A）a真、b假、d真（B）c真、d假、e真;

（C）c真、d假、e假；（D）b假、c假、d真。

答（）

6.如圖，等腰梯形ABCD的對角線相交于點O,△OBC、△OCD、Z\ODA及梯形ABCD

的面積分別為Si、S2、S3、S,對于以下三個結論：

a.已知Si：S,就可以求出AD：BC；

b.已知（S1+S2）：S,就可以求出AD：BC；

c.已知S2：S,就可以求出AD：BCo

正確的認識是

（A）只有a是正確的；（B）只有b是正確的；

（C）只有a、b是正確的；（D）a、b、c都是正確的。

二、填空題

1.如果方程x2+px+q=0的一根為另一根的2倍，那么p、q所滿足的關系式是（）。

2.如圖，在直角AABC中，AC=BC,5示的圓心為A,如果圖中兩個陰影部分的面積相

等，那么AD：DB=（）。

A

D

BC

E

F

3.將自然數N接寫在每個自然數的右面（例如，將2接寫在35的右面得352）,如果得

到的新數都能被N整除，那么N稱為魔術數，在小于130的自然數中，魔術數的個數為

（）o

4.設a,b,c,d都是整數，且m=a2+b2,n=c2+d2,則mn也可表示成兩個整數的平方和，

其形式是：mn=（）?

X4-6X3-2X2+18X+23

5.若x=719-873,則分式

x2-8x+15

6.已知拋物線y=-x，2x+8與x軸交于B、C兩點，點D平分BC,若在x軸上側的A點,

為拋物線上的動點，且NBAC為銳角，則AD的取值范圍是（）。

三、設P、Q為線段BC上兩定點，且BP=CQ,A為BC外一動點（如圖），當點A運動到

使NBAP=/CAQ時，△ABC是什么三角形？試證明你的結論。

四、設a,b,c是三個互不相等的正整數，求證：在a3b-ab3,b'c-tx?,c3a-ca3三個數中，至

少有一個數能被10整除。

一九八七年

第一試

一、選擇題

1.已知實數a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8,那么！+，+」的值

abc

（A）是正數；（B）是零；（C）是負數；（D）正、負不能確定。

2.在一條直線上已知四個不同的點依次是A,B,C,D,那么到A,B,C,D的距離之和

最小的點

（A）可以是直線AD上的某一點；（B）只是B點或C點（C）只是線段AD的中點；（D）

有無窮多個。

3.如圖，AB是半圓的直徑，。是圓心，

CD1AB,DE±OC?如果AD,BD和CD

的長都是有理數，那么命題

甲：OE的長是有理數。

乙：DE的長是有理數。I

丙：圖中所有字母表示的線段的長都是有理數。ADO

（A）只有甲正確；（B）只有乙正確；

（C）只有甲、乙正確；（D）甲、乙、丙都正確。

4.已知方程lxl=ax+l有一個負根而且沒有正根，那么a的取值范圍是

（A）a>-l；（B）a=l；（C）a2l；（D）非上述答案。

5.己知四邊形ABCD內有一點E,連接AE,BE,CE,DE,將四邊形ABCD分成四個面

積相等的三角形，那么命題

甲：ABCD是凸四邊形；

乙：E是對角線AC的中點或對角線BD的中點；

丙：ABCD是平行四邊形。

在以上三條中

（A）只有甲正確；（B）只有乙正確；（C）甲、乙、丙都正確；（D）甲、乙、丙都不正確。

答（）

6.把由1開始自然數依次寫下去，直寫到第198位為止：

----------V----------'

123456789101112-

198位

那么這個數用9除的余數是

（A）4；（B）6；（C）7；（D）非上述答案。

答（）

二、填空題

1.在三邊長是連續自然數，周長不超過100的三角形中，銳角三角形的個數是（）。

2.設a、b、c分別是AABC的三個角NA,/B。NC所對邊的長，而且NA=60°,那么

-c^+―bL的值是（）o

a+ba+c

3.［a］表示不大于數a的最大整數，例如［后］=1,［-后］=-2。那么方程［3x+l］=2x」的所

2

有根的和是（）。

4.設自然數n有下面性質：從1,2,…，n中任取50個不同的數，這50個數中必有兩個

數之差等于7,這樣的n最大的一個是（）。

5.有一個五位正奇數X,將x中的所有2都換成5,所有5都換成2,其他數字不變，得到

一個新的五位數，記作y,若x和y滿足等于y=2（x+1）,那么x是（）。

弟一試

一、當a,b為何值時，方程x2+2（l+a）x+（3a?+4ab+4b?+2）=0有實根？

二、已知：D是AABC的邊AC上的一點，AD：CD=2：1,ZC=45°,NADB=60°。求

證：AB是4BCD的外接圓的切線。

三、已知存在正整數n,能使數11…11被1987整除。求證：數

y

n個

p=ll-ll99-9988-8877-77

yyy-

n個n個n個n個

和q=ll-1199—9988—8877-77

y———

n+l個n+1個n+1個n+1個

都能被1987整除。

一九八八年

第一試

一、選擇題

1.下面四個數中最大的是

(A)tg48°+ctg480(B)sin48°+cos48°(C)tg48°+cos48°(D)ctg480+sin48°

答()

2.在實數范圍內，設

\1988

J伍一2)(0-1)+版”2)(2+汩。則x的個位數字是

1+J_-

1-a)

（A）1（B）2（C）4（D）6

3.如圖，在直角梯形ABCD中，

AB=7,AD=2,BC=3,如果邊A恥的

點P使得以P、A、D為頂點的三角形和

以P、B、C為頂點的三角形相似，那么

這樣的點P有

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

4.下面有四個命題：

（1）一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊行；

（2）一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形;

（3）一組對角相等且這一組對角的頂點所連接的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行

四邊形；

（4）一組對角相等且這一組對角的頂點所連接的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平

行四邊形。

其中，正確的命題的個數是

(A)(1)；(B)(2)；(C)(3)；(D)(4)o

答（）

二、填空題

1.如果質數p、q滿足關系式3P+5q=31,那么，log2一的值是（）。

~3q+1

2.如圖，AABC的邊AB=2,AC=3,I、II、III分別表示以AB、BC、CA為邊的正方形,

則圖中三個陰影部分面積的和的最大值是（）。

IIBI

2

C3A

III

3.如果自然數X],X2，X3，X4，X5滿足X|+X2+X3+X4+X5=X|X2X3X4X5。刃口X5的最大值是（）。

A

4.如圖，A、B、C、D四點在同一圓周上,

且BC=CD=4,AE=6,線段BE和DE的長

都是正整數，則BD的長等于（）o

第二試

一、一串數1,4,7,10,697,700的規律是：第一個數是1,以后的每一個數等于它

前面的一個數加3,直到700為止，將所有這些數相乘，試求所得數的尾部零的個數，（例

如12003000尾部零的個數是3）。

二、如果p,q,女二1,竺二1都是整數，并且p>l,q>l,試求p+q的值。

qp

三、如圖，apaR和ap'Q'R'是兩個全等的等邊三角形，六邊形ABCDEF的邊長分別

記為AB=a"BC=b],CD=a2，DE=b2,EF=33,FA=630

求證：af+a；+a；=b；+b；+。；。

一九八九年

第一試

-、選擇題

1.已知最簡根式a而萬與“斫是同類根式，則滿足條件的a,b的值

(A)不存在；(B)有一組；(C)有兩組；(D)多于兩組。

答()

2.如果關于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0,沒有實數根，那么關于x的方程

(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的實根個數為

(A)2；(B)1；(C)0；(D)不確定。

答()

3.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像

如圖所示，則下列6個代數式ab,

ac,a+b+c,a-b+c.2a+b,2a-b中，

其值為正的式子個數為

(A)2金(B)3個；(C)4個；(D)4個以上。

答()

4.在三角形內(不在邊上)有3個點，連同原三角形的3個頂點，共有6個點，以這六個

點為頂點作出所有不重疊的三角形，如果這6個點中無三點共線，所有三角形的個數為m，

那么

(A)n0=ri|=n2；(B)no>n,>n2；(C)no>ni2n2：(D)n()Nni>n2。

答()

5.水池裝有編號為a,b,c,d,e的5條水管，其中有些是進水管，有些是出水管，如果

同時開放兩條水管，注滿水池的時間如下表：

開放水管號a>bb>cc、dd、ee>a

注滿水池的時間(小時)2156310

那么單開一條水管，最快注滿水池的水管編號為

(A)a：(B)b；(C)d：(D)c或e。

答()

二、填空題

1.如圖，四邊形ABCD中，

點E,F分別在BC,CDk,

DFCE

1,—=2,若4ADF的

~FC~EB

面枳為m,四邊形AECF的面積

為n(n>m),則四邊形ABCD面積為(

2.在十進位中，各位數碼是。或1,并且能被225整除的最小自然數是(

3.已知x、y都是大于10的實數，Igx的首數是a,尾數是b；Igy的首數是c,尾數是d,

且11-al+Jc-4=1,b+d=1，則xy=()o

4.已知三角形的外接圓半徑為4cm,一個內角為60°,夾這個角的兩邊之差為4cm,那么,

這個三角形的面積為()cm。

5.如圖，正方形ABCD的中心為0,面積為

1989cm2,P為正方形內一點，且NOPB=45°,

PA：PB=5：14,貝ijPB=()cm。

第二試

一、如圖，Z\ABC中，D,E分別是邊BC,

AB上的點，且N1=N2=N3,如果AABC,

△EBD,Z\ADC的周長依次為m,m”m2,

證明：山上

ffl4

二、首項系數不相等的兩個二次方程

(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0①

及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2a)=0②

(其中a,b為正整數)有個公共根。

a"+b"

求1----的值。

a-b+b-a

三、設A”A2,A3,A4,AS，A6是平面上的六點，其中任三點不共線。

(1)如果這些點之間任意連接13條線段，證明：必存在4點，它們每兩點之間都有線段連

接。

(2)如果這些點之間只連有12條線段，請你畫出一個圖形，證明(1)的結論不成立(不

必用文字說明)。

一九九O年

第一試

一、選擇題

112

1.3+3+三的值是

1+V31-V31+V3

(A)1；(B)-1；(C)2；(D)-2o

答()

2.在AABC中，AD是高，J.AD2=BD-CD,那么NBAC的度數是

(A)小于90°；(B)等于90°；(C)大于90°；(D)不確定。

答()

3.方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是實數)有兩個實根a、0,g.0<a<1,1<p<2,那么

k的取值范圍是

(A)3<k<4；(B)-2<k<-l；(C)3<kV4或-2Vk<-l；(D)無解。

答()

4.恰有35個連續自然數的算術平方根的整數部分相同，那么這個相同整數是

(A)17；(B)18；(C)35；(D)36。

答()

5.AABC中，AB=2&,AC=收,BC=2,設P為BC邊上任一點，則

(A)PA2<PB?PC；(B)PA2=PB?PC；(C)PA2>PB?PC；(D)PA?與PB?PC的大小

關系并不確定。

答()

6.若六邊形的周長等于20,各邊長都是整數，且以它的任意三條邊為邊都不能構成三角形,

那么，這樣的六邊形

(A)不存在；(B)只有一個；(C)有有限個，但不只一個；(D)有無窮多個。

答()

7.若logab的尾數是零，且loga4>loga、/份>10gba2,那么下列四個結論：

h

2；；

(I)—>y[b>a(2)logab+logba=0(3)0<a<b<l；(4)ab-l=0。

h

中，正確的結論的個數是

(A)1；(B)2；(C)3；(D)4o

答()

8.如圖，點P,Q,R分別在AABC的邊

AB、BC、CA上，且BP=PQ=QR=RC=1,

那么，AABC面積的最大值是

(A)飛；(B)2；(C)底(D)3。

()

二、填空題

1-1r2l

1.已知/+X2=8,則--+--=()。

x

2.I2,22,32,…，1234567892的和的個位數的數字是()?

3.方程(x-a)(x-8)-1=0,有兩個整數根，則2=(

4.AABC中，AB=AC=2,BC邊有100個不同的點P”P2…，Pioo,記明=人口2+8但召C(1=1,

2,…，100),則mi+m2+~+mi()o=()。

第二試

一、已知在凸五邊形ABCDE中，NBAE=3a,BC=CD=DE,KZBCD=ZCDE=180°-2a,

求證：ZBAC=ZCAD=ZDAEo

A

BE

CD

二、[x]表示不超過實數X的最大整數，令{x}=x-[x]°

(1)找出一個實數X,滿足{x}+{L}=l；

X

(2)證明：滿足上述等式的x,都不是有理數。

三、設有2nx2n的正方形方格棋盤，在其中任意的3n個方格中各有一枚棋子。求證：可以

選出n行和n列，使得3n枚棋子都在這n行和n列中。

一九九一年

第一試

一、選擇題

1.設等式Ja(x-a)+Ja(y-a)=Jx—a-]a-y在實數范圍內成立,其中a,x,y是

兩兩不同的實數，則以"+*'—)：的值是

x一盯+y

(A)3；(B)1/3；(C)2；(D)5/3o

2.如圖，AB〃EF〃CD,已知AB=20,

CD=80,BC=1OO,那么EF的值是

(A)10；(B)12；(C)16；(D)18。

3.方程x2-lxl-l=0的解是

3?上好*i

222

答()

4.已知：x=-(1991；-199f；)(n是自然數)，那么，)n的值是

2

(A)19911；(B)-1991'；(C)(-1)n1991；(D)(-1)n199r'.,

答()

5.若1X2X3X…義99義100=12"1^,斛M為自然數，n為使得等式成立的最大的自然數,

則M

(A)能被2整除，但不能被3瞬；(B)能被3整除，但不能被2整除；

(C)能被4整除，但不能被3瞬；(D)不能被3整除，也不能被2整除。

答()

6.若a,c,d是整數，b是正整數，且滿足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么a+b+c+d的最大

值是

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)lo

7.如圖，正方形OPQR內接于△ABC,

已知△AOR、ZXBOP和ACPQ的面

積分別是S]=L$2=3和S3=1,那么,

正方形OPQR的邊長是

(A)V2(B)(C)2(D)3

答()

8.在銳角AABC中，AC=1,AB=c,NA=60°,△ABC的外接圓半徑R<1,貝ij

(A)-<c<2(B)0<c^-(C)c>2(D)c=2。

22

答()

二、填空題

1.E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，AE交對角線BD于G,如果4BEG的面積是1,

則平行四邊形ABCD的面積是()。

2.已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數解。甲由于看錯了二次項系數，誤求得

兩根為2和4；乙由于看錯了某一項系數的符號，誤求得兩根為-1和4,那么，

2b+3c,、

3.設m,n,p,q為非負整數，且對一切x>0,十0“一1=。+恒成立,

xnxq

則(n?+2n+p)2q=()o

4.四邊形ABCD中，ZABC=135°,ZBCD=120°，AB=V6,BC=5-飛，CD=6,則

AD=()o

第二試

一、實數X與y,使得x+y,x-y,xy,x/y四個數中的三個有相同的數值，求出所有具有這

樣性質的數對(x,y)?

二、ZXABC中，ABVACVBC,D點在BC上，E點在BA的延長線上，且BD=BE=AC,

△BDE的外接圓與Z\ABC的外接圓交于F點(如圖)。求證：BF=AF+CF

B

D

三、將正方形ABCD分割為M個相等的小方格(n是自然數)，把相對的頂點A,C染成紅

色，把B,D染成藍色，其他交點任意染成紅、藍兩色中的一種顏色，證明：恰有三個頂點

同色的小方格的數目必是偶數。

一九九二年

第一試

一、選擇題

1.滿足la-bl+ab=l的非負整數對(a,b)的個數是

(A)1；(B)2；(C)3；(D)4。

答()

2.若xo是一元二次方程ax,bx+cHHa#。)的根，貝IJ判別式△=b?-4ac與平方式M=(2ax0+b)

2的關系是

(A)A>M(B)A=M(C)A<M(D)不確定。

答()

3.若X2-13X+1=0,則x,+x”的個位數字是

(A)1；(B)3；(C)5；(D)7。

答()

4.在半徑為1的圓中有一內接多邊形，若它的邊長皆大于1且小于J5,則這個多邊形的

邊數必為

(A)7；(B)6；(C)5；(D)4。

5.如圖，正比例函數y=x和y=ax

(a>0)的圖像與反比例函數y=與

x

(k>0)的圖像分別相交于A點和C

點。若RtAAOB和Rtz^COD的面積

分別為S)和S2,則Si與S2的關系是

(A)S|>S2(B)S1=S2

(C)S,<S2(D)不確定。

6.在一個由8X8個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內放一個半徑為4的圓，若把圓周經

過的所有小方格的圓內部分的面積之和記為S,,把圓周經過的所有小方格的圓外部分的面

積之和記為S2,則二二的整數部分是

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。

7.如圖，在等腰梯形ABCD中，

AB〃CD,AB=2CD,ZA=60°,

又E是底邊AB上一點，且FE=

FB=AC,FA=AB,,貝ljAE：EB等于

(A)1：2；(B)1：3；

(C)2：5：(D)3：10。

答()

8.設X],x2,x3,…，X9均為正整數，且Xi〈X2V…<X9,X]+X2+…+X9=220,則當X]+X2+

X3+X4+X5的值最大時，X9-X,的最小值是

(A)8；(B)9；(C)10；(D)Ho

答()

二、填空題

1.若一等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等于15cm,則這個等腰三角形的

面積等于()。

■J\+X2+X4—A/1+X4

2.若x#0,則十七十k_匕三的最大值是()。

X

3.MABC41ZC=90°,/A和/B的平分線相交于P點又PEJ_AB于E點若BC=2,

AC=3o貝ljAE?EB=()。

4.若a,b都是正實數，且』一一L=O』lJ(2)3+(g)3=()。

aba+bah

第二試

一、設等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程x2-6x+a=0的兩根，當這樣的三角形只有一

個時，求a的取值范圍。

二、如圖,在△ABC中,AB=AC,D是底邊BC上一點,E是線段AD上一點,且NBED=2CED=

NA。求證：BD=2CDo

三、某個信封上的兩個郵政編碼M和N均由0,1,2,3,5,6這六個不同數字組成，現

有四個編碼如下：

A：320651,B：105263；C：612305；D：316250。

已知編碼A、B、C、D各恰有兩個數字的位置與M和N相同，D恰有三個數字的位置與M

和N相同。試求：M和N。

一九九三年

第一試

一、選擇題

1.多項式/2出6+1除以x2-l的余式是

(A)1；(B)-1；(C)x-1；(D)x+1。

答()

2.對于命題

I.內角相等的圓內接五邊形是正五邊形。

II.內角相等的圓內接四邊形是正四邊形，以下四個結論中正確的是

(A)I,n都對；(B)I對，II錯(c)I錯，n對(D)I,n都錯。

答()

3.設x是實數,y=lx-ll+lx+ll,下列四個結論:

Ly沒有最小值；

II.只有一個x使y取到最小值；

III.有有限多個x(不止一個)使y取到最大值；

IV.有無窮多個x使y取到最小值。

其中正確的是

(A)I；(B)II；(C)III；(D)IVo

答()

4.實數X],X2，Xj,X4,X5滿足方程組

X|+X2+X3=at；X2+X3+X4=a2；X3+X4+X5=a3；X4+X5+Xt=a4；X5+X]+X2=a5。

其中a1，a2,a3,如，a$是實常數，且ai>a2>a3>a4>a5，則x”x2,x3,X4,X5的大小順序

是

(A)X|>X2>X3>X4>X5(B)X4>X2>X|>X3>X5

(C)X3>X|>X4>X2>X5(D)X5>X3>X|>X4>X2