幾何結構之折疊、旋轉（講義）知識點睛折疊（軸對稱）的思考層次（1）全等變換：對應邊相等、對應角相等．（2）對應點與對稱軸：對稱軸所在直線是對應點連線的垂直平分線．（對應點所連線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的點到對應點的距離相等）（3）常見組合搭配①矩形背景下的折疊常出現等腰三角形；AA②兩次折疊往往會出現特殊角：45。，60°,90°等.（4）應用，作圖（構造）核心是確定對稱軸和對應點，一般先確定對應點和對稱軸，然后再補全圖形特征舉例：折痕運動但過定點，則折疊后的對應點在圓上；對應點確定，折痕為對應點連線的垂直平分線.旋轉思考層次（1） 全等變換：對應邊相等、對應角相等．（2） 對應點與旋轉中心旋轉會出現等線段共端點（對應點到旋轉中心的距離相等）；對應點與旋轉中心的連線所夾的角等于旋轉角；對應點所連線段的垂直平分線都經過旋轉中心；旋轉會產生圓（圓弧）．（3） 常見組合搭配旋轉會出現相似的等腰三角形；旋轉60°會出現等邊三角形；旋轉90°會出現等腰直角三角形；相似三角形對應點重合時會出現旋轉放縮模型．（4）應用，作圖（構造）當題目（背景）中出現等線段共端點時，會考慮補全旋轉構造全等.（常見背景有正方形、等邊三角形、等腰三角形）注：讀題標注時，往往要弄清楚旋轉三要素；旋轉方向不確定需要分類討論；常將圖形的旋轉轉化為點、線段的旋轉進行操作．（有時只需保留研究目標即可）

精講精練1.小明用不同的方式來折疊一個邊長為8的正方形紙片ABCD,折痕MN分別與邊AD，BC交于點M,N,沿MN將四邊形ABNM折疊，點A，B的對應點分別為點A，,夕.他得到了以下結論：①如圖1,當點歹落在DC的中點處時，BN=5．②如圖2,當點歹落在CD上時，延長NB，交AD的延長線于點E,HNEM為等腰三角形?③如圖2,當點B落在CD上時，連接BB，,此時BB，=MN,BB'LMN.④如圖3,先將正方形沿MN對折，使AB與DC重合，再將AB沿過點A的直線折疊，使點B，落在MN上，則ZMAB=60°.其中正確結論的序號是 ．DB'DB'圖1 圖2圖32.如圖，在△ABC中，ZACB=90。，點D,E分別在AC,BC上，且ZCDE=ZB,將ACDE沿DE折疊，點C恰好落在AB邊上的點F處.若AC=8,AB=10,貝VCD的長為 3.如圖1,在矩形紙片ABCD中，AB=8^3,AD=10,點E是CD的中點.將這張紙片依次折疊兩次：第一次折疊紙片使點A與點E重合，如圖2,折痕

為MN,連接ME,NE；第二次折疊紙片使點N與點E重合，如圖3,點B落在歹處，折痕為HG,連接HE,則tanZEHG= .4.圖14.5.第4題圖第5題圖如圖，在矩形ABCD中，AB=4\；3,BC=15,把AABE沿BE折疊，使點A落在點/處，點E是5.第4題圖第5題圖如圖，在矩形ABCD中，AB=4\；3,BC=15,把AABE沿BE折疊，使點A落在點/處，點E是AD邊上一點，連接BE,點F是CD邊上一點，連接EF,把ADEF沿EF折疊，使點D落在直線E/上的點。處，當點D落在BC邊上時，AE的長為 .6.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=60。，AC=3,點F在邊AC上，且AF=1,點E為邊BC上的動點，將ACEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則當點P落在線段AB上時，線段PB的長為 .7.如圖，在AABC中，AB=AC,BC=24,tanC=2，如果將AABC沿直線l翻折后，點B落在邊AC的中點E處，直線l與邊BC交于點D,那么BD的長為（）A．13B.A．13B.1527C.27D．128.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點P在線段AB上.若將8.A處，貝VAP的長為△DAP沿DP折疊，使點A處，貝VAP的長為9.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8cm,BC=20cm,O是BC的中點，沿過O的直線翻折.若點B恰好落在AD上，那么折痕的長度為 .OO

OO10.如圖1,在四邊形ABCD中，AD^BC,ZA=ZC,點P在邊AB上.判斷四邊形ABCD的形狀并加以證明.若AB=AD，以過點P的直線為對稱軸，將四邊形ABCD折疊，使點B，C分別落在點B，C處，且線段BC經過點D,折痕與四邊形的另一交點為Q.在圖2中作出四邊形PBCQ(保留作圖痕跡，不必說明作法和理由).AP如果ZC=60。，那么——為何值時，BP丄AB.PB圖1 圖2

11.如圖，在Rt^ACB中，ZACB=90。，AC=BC.D是AB上的一個動點（不與點A,B重合），連接CD.過點C作CD的垂線，點E是該垂線上一點，且滿足△ACEQ'BCD，連接DE，DE與AC相交于點F.下列結論：①△BCD繞點C順時針旋轉90°得到△ACE；②若BC=2,則（C四邊形ADCE）min=4/2；③若ZBCD=25°,則ZAED=65°；④DE2=2CF?CA；⑤若AB=3j2,AD=2BD,則AF=5.其中正確的結論是 （填寫所有正確結論的序號）.3EEEE第11題圖第12題圖12.如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=30°,將ADCB繞點C順時針旋轉60°后,點D的對應點恰好與點A重合，得到△ACE.若AB=3,BC=4，貝卩BD= .13.如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點O是△ABC的中心，ZFOG=120°,繞點O旋轉/FOG,分別交線段AB,BC于D,E兩點，連接DE,給出下列四個結論：①OD=OE:②S“DE=S厶bde:③四邊形ODBE的面積始終等于占3.上述結論中正確的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．314.如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點D順時針旋轉90°,點A,C分別落在點A',C處，如果點A',C,B在同一條直線上，那么tanZABA，的值為

AAAA15.如圖，△ABC,△BDE都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,AC=4,DE=2邁.將ABDE繞點B逆時針方向旋轉a(0°<a<360。)，連接AD,CE,記直線AD,CE的交點為P.以下結論中：①厶ABD9MBE:②ZAPC=90°；③點P始終在以AC為直徑的圓上運動.其中正確的是 .當點E恰好落在線段AD上時,①畫出對應圖形；②此時AD= 16.一副三角板如圖放置，將三角板ADE繞點A逆時針旋轉a(0°<a<90°),使得三角板ADE的一邊所在的直線與BC垂直，則a的度數為 .

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.1.參考答案】①②③④25T5、污~6~v10To"211-、132A5躬cm或4j5cm1)四邊形ABCD為平行四邊形，理由略；(2)①圖略；②當竺二上3二1時，BP丄AB.PB2①②③④C<5-12(1)①②③(2)<6+邁60°或15°幾何結構之折疊、旋轉(隨堂測試)如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O.有直角ZMPN,使直角頂點P與點O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合,然后逆時針旋轉ZMPN，旋轉角為3(0°<6?<90°)，PM，PN分別交AB,BC于E，F兩點，連接EF交OB于點G,則下列結論：①EF=j2OE；②S OEBF：S abcd=1：4；③BE+BF=J2OA；④在旋轉過程中，設四邊形OEBF正方形ABCD1BE=x，則