本文格式為Word版，下載可任意編輯——超靜定結構（精）第4章超靜定結構

§4.1超靜定結構特性

●由于多余約束的存在產生的影響

1.內力狀態單由平衡條件不能惟一確定，必需同時考慮變形條件。2.具有較強的防護能力，抗爭突然破壞。

3.內力分布范圍廣，分布較靜定結構均勻，內力峰值也小。4.結構剛度和穩定性都有所提高。●各桿剛度改變對內力的影響

1.荷載作用下內力分布與各桿剛度比值有關，與其絕對值無關。2.計算內力時，允許采用相對剛度。

3.設計結構斷面時，需要經過一個試算過程。4.可通過改變桿件剛度達到調整內力狀態目的。●溫度和沉陷等變形因素的影響

1.在超靜定結構中，支座移動、溫度改變、材料收縮、制造誤差等因素都可以引起內力，即在無荷載下產生自內力。

2.由上述因素引起的自內力，一般與各桿剛度的絕對值成正比。不應盲目增大結構截面尺寸，以期提高結構抗爭能力。

3.預應力結構是主動利用自內力調理超靜定結構內力的典型范例。

§4.2力法原理

●計算超靜定結構的最基本方法

超靜定結構是具有多余聯系（約束）的靜定結構，其反力和內力（歸根結底是內力）不能或不能全部根據靜力平衡條件確定。力法計算超靜定結構的過程一般是在去掉多余聯系的靜定基本結構上進行，并選取多余力（也稱贅余力）為基本未知量（其個數等于原結構的超靜定次數）。根據基本體系應與原結構變形一致的位移條件建立方程，求解多余力后，原結構就轉化為在荷載和多余力共同作用下的靜定基本結構的計算問題。這里，基本體系起了從超靜定到靜定、從靜定再到超靜定的過渡作用，即把未知的超靜定問題轉換成已知的靜定問題來解決。

●基本結構的選擇（解題技巧）

1.尋常選取靜定結構；也可根據需要采用比原結構超靜定次數低的、內力已知的超靜定結構；甚至可取幾何可變（但能維持平衡）的特別基本結構。

2.根據結構特點靈活選取，使力法方程中盡可能多的副系數δij=0。

3.應選易于繪制彎矩圖或使彎矩圖限于局部、并且便于圖乘計算的基本結構。

4.對稱取基本結構；或利用對稱性取半結構；或求彈性中心；以減少未知力數目，并使力法方程解耦。●力法典型方程

典型方程可寫成矩陣形式：

δX+Δ=C(4.2.1)

式中，δ為柔度系數矩陣（對稱方陣）；X為多余未知力列陣；Δ為自由項列陣（外因作用下的廣義位移列陣）；C為原結構多余聯系處的已知位移（不一定為零）列陣。●力法的解題步驟

1.確定基本未知量，合理選取基本結構。

2.根據多余聯系處的位移（變形）協調條件，建立力法方程。

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3.計算力法方程中的柔度系數和自由項。

繪制基本結構的Mi圖、MP圖（或寫出彎矩方程），并圖乘（或積分）。其它外因下的自由項由位移公式求得。對于桁架結構，只考慮相應的軸力圖。對于超靜定拱，求方程系數、自由項時圖乘法不再適用，位移系數計算時往往要考慮軸力或曲率的影響。

4.解力法方程（線性代數方程組），求出多余未知力。5.繪制超靜定結構的內力圖。

對于受彎結構，一般先繪M圖，再按M、Q、N的順序依次作圖。可利用已有的Mi圖、

MP圖，根據疊加公式M??MiXi?MP繪制；也可將已求的多余力和荷載加在基本結

構上，按靜定結構方法計算繪制最終內力圖。桁架結構按疊加公式N??NiXi?NP標

注軸力圖。

6.內力計算校核（包括平衡條件校核和變形條件校核）。

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例1圖4.2.1a所示連續梁為28a號工字鋼，I=7114cm，E=210GPa，l=10m，P=50kN。若欲使梁內最大正、負彎矩的絕對值相等，問應將中間支座升高或降低多少？

解：選取如圖4.2.1b所示基本體系，依題意有M?Pl/4?M/2，得M?Pl/6，作M圖（圖4.2.1c）。

求中間支座B處位移，取如圖4.2.1d所示的基本結構，作M1圖。圖乘得

?By2?1Pll1Pll?Pl3????l?????l???EI?263244?144EI?50?103/(144?210?106?7114?10?8)?0.0232m(?)

需要注意，對于連續梁，常取多跨簡支梁為基本結構，不僅易于作彎矩圖，并使彎矩圖限于局部，而且直接得到作為多余未知力的梁支承處的負彎矩（控制設計）。由于選取了圖4.2.1d的基本結構，使?PAB?R??0，故求?PCBy時不必疊加支座移動影響。PAMPCB(a)PABPl/6Pl/6(b)PCPl/6ABX1=1Cl/2(c)M圖圖4.2.1例4-1圖(d)M1圖●對稱結構計算對稱結構在對稱荷載（指廣義荷載，包括各種外因）作用下只產生對稱分布的內力（變2

形），在反對稱荷載作用下只產生反對稱分布的內力（變形）。利用對稱性可選取半結構計算，根據內力和變形特點，在對稱軸處加上相應的支座約束，可求得原結構的解，并減少計算量。對稱結構受任意荷載作用時，也可將荷載分解成對稱和反對稱兩組，分別利用對稱性計算后，疊加所得結果即可得到原問題的解答。

例2計算圖4.2.2a所示剛架，繪出彎矩圖，并求出C點的豎向位移。E=常數。解：該結構內部12次超靜定（數框格），而且對稱，支座本不對稱，但結構外部靜定，易求得支座反力HA=0。因此，對稱結構在對稱力作用下（對稱軸為CD線，圖4.2.2b），取半結構計算（圖4.2.2c）。與原結構相比，A點可以上下位移，但C點約束，其相對位移是一致的。若將A處的4P力分組為作用在A和A’點的對稱與反對稱力，對稱時僅AA’桿受軸向壓力2P,反對稱時再取半結構計算（圖4.2.2d）。同樣處理，還可以再取半結構（圖4.2.2e）。此時，原結構的1/8結構已降為一次超靜定，選基本體系（圖4.2.2f），作M1圖和MP圖（圖4.2.2g、h），圖乘得

1aa2aaa7a3EI?11???????a??22232222431aPaEI?1P???Pa?a???224則X1???1P?11Pa3246??3?P

477a由部分M圖按對稱或反對稱狀況復制成原結構M圖（圖4.2.2b）。

求原結構C點豎直向下位移，就是求C點相對于A點的豎直向下位移，或者說是A點相對于C點的豎直向上位移。因此既可以在原結構的C點處，也可以在原結構的某一基本結構（圖4.2.2f）的A點上加單位力作M圖（圖4.2.2i）與相應的部分M圖（圖4.2.2j）圖乘，求得C點豎向位移：3?CV?1?1?a2(?1?3?2?4)Pa?5PaEI2373742EI(?)8PII2I2IICI2I2IIAIID8PA'I2IIIIAIBCBAAIICIC4P4P4P2P

(a)(b)M(×Pa)(c)(d)3

IAICIAICP(e)P(f)(g)M1ACACP(h)MPP=1(i)M(j)部分M圖(×Pa)圖4.2.2對稱性利用●超靜定結構位移計算由于超靜定結構的位移解答是唯一的，它可以看作是從任一基本結構上求得的，只要已知超靜定結構的內力分布，即可從任一基本體系出發，按該靜定結構受多種外因作用求位移的方法，求得超靜定結構在某外因下的位移。因此，基本體系的選取直接關系到求位移的計算量。以圖乘法求位移為例，選取一個便于計算的基本結構，作虛彎矩圖（即M圖）；將原超靜定結構的最終M圖作為基本結構求位移的實際“荷載彎矩圖〞；M與M圖乘得超靜定結構位移，但該位移僅在原結構受荷載外因作用時才是正確的。由于在溫度變化和支座移動等外因作用時，超靜定結構位移既要考慮內力（彎矩）產生的位移，也要考慮靜定基本結構因溫度變化和支座移動等產生的位移。因此，超靜定平面結構位移計算的一般公式為：

????kdsMMdsNNds??tM??????????tNds???ds??Rc(4.2.2)EIEAGAh式中，M、N、Q為超靜定結構在各種外因作用下的實際內力；M、N、Q為基本結構在單位力作用下的虛內力；R為基本結構在單位力作用下的虛反力；c為支座的實際位移。

§4.3位移法與漸近法

●基本未知量與基本體系

1.位移法的基本未知量為結構結點處獨立的角位移和線位移，與超靜定次數無關，因

此位移法也可解靜定結構。桿件自由端和滑動支承端的線位移及鉸結端的角位移不作為基本

未知量；組合結點（半鉸）處的角位移應視為基本未知量；剛性梁結點處轉角視為已知位移。待求結構中若有靜定部分，其內力可用平衡方程直接獲得，其位移不作為基本未知量考慮；但彈性支座處位移要作為基本未知量。為了減少基本未知量，受彎桿件一般不考慮軸向變形。

2.在原結構剛結點上附加剛臂，在獨立線位移方向上附加鏈桿，將結構離散成具有已知形常數和載常數的單根固端桿件處理，從而形成更高次超靜定的位移法基本體系，附加約束數同基本未知量數。要恢復原結構，附加約束上的總反力應等于零，據此建立位移法典型方程，求出結點位移（稱典型方程法或基本結構法）。●轉角位移方程

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用位移法計算超靜定剛架時，每根桿件均可看作是單根超靜定梁，因此需要計算這種梁在桿端A、B發生的轉角φA、φB和側移ΔAB（兩端在垂直于桿軸方向上的相對線位移）以及在荷載等外因作用下的桿端彎矩和剪力（載常數）。所謂轉角位移方程就是求桿端彎矩的一般計算公式，由力法導出等截面桿轉角位移方程中的形常數（由位移引起的桿端內力）和載常數。結構較簡單時，可逐桿寫出轉角位移方程，以結點或結構部分為對象，建立與各結點獨立位移相應的廣義力平衡條件，得到位移法方程，解決位移計算（稱平衡方程法）。●位移法典型方程

1.一般形式：

?rZijj?RiP?0(i=1,2,…,n；j=1,2,…k.)(4.3.1)

式中，n為附加約束數，k為基本未知量數，rij為反力系數（剛度系數），RiP為自由項。

2.矩陣形式：KΔ+R=0(4.3.2)式中，K為結構剛度矩陣（對稱矩陣），Δ為未知位移列陣，R為廣義荷載反力列陣。

位移法方程實際上是每個剛結點處與轉角相應的力矩平衡方程和與獨立結點線位移相應的截面平衡方程（力的投影方程），平衡方程的個數與基本未知量的個數彼此相等，可解出全部基本未知量。●位移法的解題步驟

1.確定基本未知量，附加約束形成基本結構。2.利用基本體系建立位移法典型方程。

3.由基本結構的Mi圖、MP圖求系數和自由項。4.解位移法方程，求結點位移Zi.5.按M??MZii?MP疊加得最終彎矩圖。

6.用平衡條件校核內力圖。

例3用位移法計算如圖4.3.1a所示剛架，繪制彎矩圖。E=常數。

解：取基本體系如圖4.3.1b。設E結點轉角為Z1，DF桿水平位移為Z2，作M1圖、M圖、MP圖（圖4.3.1c、d、e）。計算系數和自由項：