廣州市番禺區(qū)初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試題本試卷共6頁，第1-2頁為選擇題和填空題，第3-6頁為解答題及答卷。請將選擇題和填空題的答案做在第3頁的答卷上。全卷共三大題20小題，滿分150分，考試時間120分鐘。選擇題（每小題5分，共40分，請將唯一正確的答案代號填在第3頁的答題卷上）60次數(shù)人數(shù)92060次數(shù)人數(shù)9202559.569.579.589.599.5第2題圖（A）－3（B）－1（C）0（D）1如右圖三個半圓的半徑均為R，它們的圓心A、B、C在一條直線上,且每一個半圓的圓心都在另一個半圓的圓周上,⊙D與這三個半圓均相切，設(shè)⊙D的半徑為r，則R：r的值為（A）15：4（B）11：3（C）4：1（D）3：1是的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既非充分條件又非必要條件某旅館底層客房比二層客房少5間，某旅游團(tuán)有48人，若全部安排住底層，每間住4人，房間不夠；每間住5人，有的房間住不滿.又若全部安排住二層，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有的房間沒有住滿.則這家旅館的底層共有房間數(shù)為（A）9（B）10（C）11（D）12已知線段AB=10，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動（不包括A、B兩個端點(diǎn)），在線段AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作正APC和正BPD，則CD的長度的最小值為（A）4（B）5（C）6（D）已知、是不全為零的實(shí)數(shù)，則關(guān)于的方程的根的情況為（A）有兩個負(fù)根（B）有兩個正根（C）有兩個異號的實(shí)根（D）無實(shí)根已知點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，若點(diǎn)C與點(diǎn)A（－1，0）、B（1，0）構(gòu)成RtΔABC，則這樣的點(diǎn)C的個數(shù)為（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分，將答案直接填在第三頁的答題卷上）多項式的最小值為*.方程的全體實(shí)數(shù)根之積為*.如右圖，已知點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB=5cm，點(diǎn)P到邊CD的距離也為5cm，則正方形ABCD的面積為*cm2.如右圖，已知半圓O的直徑AB=6，點(diǎn)C、D是半圓的兩個三等份點(diǎn)，則弦BC、BD和弧圍成的圖形的面積為*.(結(jié)果可含有)若，且，則的取值范圍為*.三、解答題（共7小題，滿分85分.解答應(yīng)寫出必要文字說明、演算步驟和證明過程）（本題滿分10分）設(shè)實(shí)數(shù)、滿足及，求的值.（本題滿分10分）某制糖廠2003年制糖5萬噸，如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%，那么從2003年起，約幾年內(nèi)可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸？（結(jié)果保留到個位，可使用計算器，沒帶計算器的老師可參考如下數(shù)據(jù)：，，）（本題滿分12分）已知O為ΔABC的外心，I為ΔABC的內(nèi)心，若∠A+∠BIC+∠BOC=3980，求∠A、∠BIC和∠BOC的大小.（本題滿分12分）某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條農(nóng)產(chǎn)品加工線，若不計維修、保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計為萬元，且，若第1年的維修、保養(yǎng)費(fèi)為2萬元，第2年的為4萬元圖1圖2圖3求二次函數(shù)圖1圖2圖3投產(chǎn)后，這個企業(yè)在第幾年就能收回投資并開始贏利.（本題滿分13分）已知⊙O1和⊙O2外切于A（如圖1），BC是它們的一條外公切線，B、C分別為切點(diǎn)，連接AB、AC，求證：AB⊥AC將兩圓外公切線BC變?yōu)椤袿1的切線，且為⊙O2的割線BCD（如圖2），其它條件不變，猜想∠BAC+∠BAD的大小，并加以證明.將兩圓外切變?yōu)閮蓤A相交于A、D（如圖3），其它條件不變，猜想：∠BAC+∠BDC的大小？并加以證明.（本題滿分14分）如圖，已知⊙O的半徑為1，AB、CD都是它的直徑，∠AOD=600，點(diǎn)P在劣弧上運(yùn)動變化，問APC的大小隨點(diǎn)P的變化而變化？若不變化，說明理由，若變化，求出其變化范圍.線段PA+PC的長度大小隨點(diǎn)P的變化而變化？若不變化，說明理由，若變化，求出其變化范圍.（本題滿分14分）已知兩個二次函數(shù)和圖象分別與軸都有兩個交點(diǎn)，且這四個交點(diǎn)中每相鄰的兩點(diǎn)間的距離都相等,求實(shí)數(shù)，的值.2004年廣州市番禺區(qū)初中數(shù)學(xué)青年教師解題比賽試題參考答案選擇題（每小題5分，共40分）題號12345678答案ABCABBDC二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9．310.6011.6412.13.三、解答題14.解:由于，則，則（1分）當(dāng)時,，則,為方程的兩個根（3分），不妨設(shè)，,則,,（5分），所以（7分）當(dāng)時，即,因此=2.（10分）綜上：當(dāng)時，=；當(dāng)時，=2（10分）注：沒有綜述但其它均正確者不扣分.另直接求出a,b的值再計算也可以15.解：設(shè)表示制糖廠第年的制糖量(1分)，則，，，…(5分)，顯然是公比為1.1的等比數(shù)列(7分)，設(shè)年內(nèi)的總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸，則(9分),則,所以(11分),答:經(jīng)過5年可使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸.(12分)16.解:當(dāng)∠A時，顯然∠BOC=2∠A,(1分)∠BIC=1800－∠IBC－∠ICB=1800－(∠ABC+∠ACB)=1800－(1800－∠A)=900+∠A(2分)由于∠A+∠BIC+∠BOC=3980,則∠A+900+∠A+2∠A=3980(3分)解之得∠A=880(4分)∴∠BOC=2∠A=1760(5分)∠BIC=900+∠A=1340(6分)當(dāng)∠A為鈍角時，∠BOC=2（1800－∠A）=3600－2∠A(7分)，∠BIC=900+∠A（8分），則∠A+900+∠A+3600－2∠A=3980，解得∠A=1040（9分），∠BOC=3600－2∠A=1520（10分），∠BIC=900+∠A=1420（11分）故∠A=880,∠BOC=1760,∠BIC=1340或∠A=1040，∠BOC=1520,∠BIC=1420（12分）注：只有一個正確結(jié)果者扣6分.17.解:(1)依題意得,(2分)解之得(4分)即函數(shù)解析式為(6分).(2)當(dāng)時方能收回投資并開始贏利(8分),即(8分),顯然不是不等式的解,而是不等式的解(11分),因此投產(chǎn)后，這個企業(yè)在第4年就能收回投資并開始贏利.(12分)18．(1)證明：過A作兩圓的內(nèi)公切線,交BC于D,則由切線的性質(zhì)知DB=DA=DC，則三角形ABC為直角三角形.即AB⊥AC（3分）（2）猜想：∠BAC+∠BAD=1800（4分）證明：過點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線,交BC于E，由切線的性質(zhì)得，∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠ABC+∠ADC（7分），因此∠BAC+∠BAD=∠ABC+∠ADC+∠BAD=1800（8分）（3）猜想：∠BAC+∠BDC=1800（9分），連結(jié)AD，由于BC是它們的一條外公切線，由切線的性質(zhì)得，則∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠DBC+∠DCB（12分），所以∠BAC+∠BDC=∠DBC+∠DCB+∠BDC=1800（13分）.19．解：（1）APC=AOC=（18000）=600，它不會隨著點(diǎn)P的變化而變化.（3分）（2）解法1：設(shè)AP與CD交于M，PC與AB交于N，連結(jié)BC，易證ΔAMO≌ΔCNB，∴AM=CN，MO=NB，(5分)又∠AOD=∠APN，∠MAO=∠NAP=600，∴ΔAMO∽ΔANP，∴，即①(7分)同理，亦即②(9分)，①+②得，，∴(11分)，而AM(12分)，因此PA+PC,故PA+PC的值會隨著點(diǎn)P的變化而變化，其變化范圍為PA+PC.(13分)解法2：由于三角形AOC為等腰三角形，且AOC=1200，AO=OC=1，因此AC=（5分），在ΔAPC中，由余弦定理得：，即，因此（8分），要確定AP+PC有無變化或其變化范圍，只需研究的值有無變化或其變化范圍，而，故只需ΔAPC的面積有無變化或其變化范圍.由于底邊AC為定值，點(diǎn)P在上運(yùn)動，則點(diǎn)P到AC的距離是變化的，因此ΔAPC的面積是變化的，從而的值也是變化的，且隨點(diǎn)P到AC的距離的增大而增大（10分），由于點(diǎn)P到AC的距離的最大值為，此時點(diǎn)P為的中點(diǎn)，三角形APC為正三角形，PA+PC的值為（11分）.點(diǎn)P到AC的距離的最小值為，此時點(diǎn)P與點(diǎn)D或點(diǎn)B重合，PA+PC的值為3（12分），因此，PA+PC值的變化范圍為PA+PC（13分）注:1、本題能得出結(jié)果但不能證明者扣分.2、本題還可以用O、M、P、N四點(diǎn)共圓、高中解析幾何方法等方法證明20．解：設(shè)函數(shù)與軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A，B且（1分），函數(shù)與軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為C，D,且（2分），則則，（4分），同理則，（6分），則A、B、C、D在軸上的左右順序為A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B（7分）若按A，C，