基于“數”概念理解的數學實驗開發摘要 數學學習是一種理解性學習，學習應當圍繞概念的層階化理解展開，教師要在技術工具上做好創造性的支持。以整數、分數、負數的認識為載體，開發驗證型、探索型、理解型數學實驗，為學生搭建數學思維支點或模型，引導學生建構“數”概念理解的框架，讓靜態內容動態化、系統化，進而促進深度學習的有效開展。關鍵詞“數”概念理解數學實驗驗證性探索性理解性“數”概念是人們在實踐中，從數學對象的眾多屬長方形磁片等實驗材料。實驗步驟可以這樣展開：第性中概括、抽象出本質屬性，其高度抽象性則是“數”廠步，猜想。出示數“11"，11為什么會寫成這樣，有概念教學的重點與難點。數學實驗是以學生動手操;其他寫法嗎？這里的兩個1意思一樣嗎？第二步，驗作為支架的數學教與學的活動方式，通過實際操作，證。（1）圈11。要求學生用不同的方法圈數圖片中在認知與非認知因素參與下進行的一種發現數學結:蘑菇的數量，如一個一個圈、五個五個圈、十個一圈等論、理解數學知識、驗證數學結論的思維活動［1］。數;方法。（2）擺11。要求學生用小棒拼擺出蘑菇的數量，學實驗能夠將“做、學、思”合一，讓學生在猜想（或假;方法有10個小棒擺一排，1個小棒單獨放的；10個設）、驗證、歸納等活動中提煉出“數”概念產生的現實!小棒捆在一起，1個小棒單獨放……（3）寫11。方法I意義、文化背景和思想方法等，有利于學生對概念本;有：兩個1中左邊特別胖，右邊特別瘦；左邊寫得高，I質的探索和理解。 ：右邊寫得矮;左邊寫得大，右邊寫得小……學生嘗試I一、開發驗證性數學實驗，讓“數”概念的理，用不同的方法表示10個1和1個1,即探討“11”的解可視化 ，表示，區別11中兩個1的不同意義。第三步，歸納。驗證性數學實驗作為促進數學概念理解的一種；任意選?。?0+幾）個長方形磁片，用十個十個圈數的具身認知工具，是基于自身經驗對學習對象的起始性，方法，探究10個長方形磁片疊加表示十位上的1，這理解,讓學生通過動手操作、觀察模型、試驗分析等手，里的1放在哪里合適？通過位置關系證明十位上的1段，檢驗自己得出的數學結論（或猜想）的正確性的，與個位上的1的區別。第四步，應用。繼續利用長方一種實踐活動［2］。在“數”概念教學中，驗證性實驗，形磁片在黑板上展示，學生自主增加磁片數量、確定可以使學生在物、圖與數的對應關系中多感官參與活，擺放位置,表達對12~19的理解。動，擺脫經驗性理解的束縛，逐步向數學化符號表征［ 實驗結果顯示，通過數學實驗活動，能夠使學生轉化，抽象出概念的本質屬性。如“11~20的認識”教，在實驗操作中發現知識生長的原點。學生最早對數學難點在于怎樣突破位值制和十進制，教學中可借助［的認識，正是其觸摸、點數（shu）物體的動作經驗的內驗證性實驗，幫助學生突破學習難點。 ，化。學生從實驗現象獲得數的感性認識，再經過理性本課可準備11個無序排列的蘑菇圖、磁性小棒、分析，對結論的真偽作出判斷，這種差異性和多元性,充分反映了每位學生不同的已有經驗和理解起點。從實驗結果可以看出：從實驗前對11的猜想到“圈”“擺”“寫”，學生在實; 首先，從“一個圓”開始，學生在等分的變化中感物直觀的基礎上理解十位上1的意義，經歷經驗性理;受分數中核心知識的整體性與關聯性，進而加深對分解的修正、再創造過程，有效還原“11”原本的形態，充;數的理解。兒童早期在分割幾何圖形時采用的是“分分獲得體驗“十進制”的經驗。在理解“十進制”的數件”的策略，并重復分半。因此，使用“偶數等分”認學原理、數學方法的基礎上，學生逐步建立位次感、位i識分數，正是學生等分物體動作經驗的內化。一個實I值感，從工具操作的具象，到表象歸納，再到抽象的符■中學生要想得到圓片的3，通常需要以兩次對折的號演繹，運用物、圖、形等多元表征，對數的關鍵屬性； I 4與本質的獲得奠定基礎。 :方式得到4，這一活動順應學生的認知過程，激活學二、開發探索性數學實驗，讓“數”概念的理住已有的知識經驗，在等分的過程中直觀感知部分與解結構化 ，整體的關系，即其中的1份為1，任意的3份為3，在探索性數學實驗是學生在教師設置的問題情境j直觀操作中感知一個圓的1的大小。同樣，如果圓片中，通過動手操作、觀察、驗證、類比、歸納等方式，發； 4現全新數學結論的實踐活動，特點是過程開放、探索，的大小不同，其4的大小均是不同的，但是其中的1性強、生成度高［3］。在探究現實問題、揭示數學現象;份都是4。這里，實物紙片均分實驗使知識存在于具背后的數學原理、理解可推廣的數學結論等方面，探:體的、情境性的、可感知的活動中，將抽象的分數概念索性數學實驗發揮著重要的作用。如''分數的意義"”具體化，使得學生的經驗化理解逐步升華為數學的形教學中，分數具有“份數、商、測量運算以及比”等不同j式化理解。層次的意義，如何突破對整體的等分，體現分數的價［其次，“多個圓”驗證能夠有效聯結分數的多層意值？這里，可以借助探索性數學實驗重點突破兩個學； 3習難點：第一，整體等分，包括對具體T的等分以及;義。對2?4個圓片4的探討，學生最易表示出4個圓許多合并成的整體的等分；第二,分數兩種量的比較，，片的3，直接涂出3個即可；其次是2個圓的4，第一也就是比的意義，所以分數在某種意義上來說也是； 4 4比，它主要是兩種量比較的時候，這兩種量可以相互種情況,有8°%的學生將兩個圓看成一個整體，平均作為單位度量的意義，體現在應用當中。 ［分成4份,每半個圓表示1份,第二種情況,少數學生本課準備的實驗材料有兩種大小不同的圓形紙;將2個圓分別看成一個獨立的個體,將每個圓平均分片若干個，彩色筆、剪刀、粘膠。實驗可以這樣展開：成4份，分別表示出4;對學生來說，將3個圓看作一第一步嘗試畫圖表示分數。在1個圓形紙片中畫圖;個整體均分四份是最困難的，一個一個均分雖能達成表示出4。要求學生獨立操作后集體交流想法。第二4 _ _j目的，但比較復雜。那么，使用怎樣的方式更加簡單步，再試。依次出示2個、3個、4個圓一組的圖形，畫，呢？學生通常是將3個圓疊加，累積成一個整體再均一 3 1圖表示出一組圖形的4。在學生獨立操作后集體討論j分4份。既含有3平均分成4份，又蘊含3除以4的不同方法并想辦法驗證。第三步，驗證。借助剪刀現，除法意義，除法與分數意義的聯結，促進學生多層級場剪下并展示在黑板上，理解多個圓片的3的表示方理解分數。34 最后，列表分析歸納則有利于整體建構分數綜合法。第四步，列表對比。出示多組圓的4,討論、歸納;意義。列表對比將知識過程與結果、操作活動與思維

I不同數量圓片用相同分數表示，并能從自然數1過渡［參與、實驗論證與主動探索有機融合，逐步從形式化到整體“1”,逐步理解單位“1”的喻意。 ;向理解走向結構化理解。從1個圓到多個圓均看成

一個整體，為整體建構分數意義提供了綜合性載體。相對位置；以字母B為觀察點，描繪數字3和5的相從現實情境過渡到數學意義上來，體現為一種逐步豐:對位置；以字母C為觀察點，表述右邊數據、推想左富、精細化的發展趨勢，實現數學學習過程的可見。邊數據，試想一下C左邊會有多少個負數。實驗中學I從自然數1過渡到整體“1”，兩個“1”的變與不變融;生經歷觀察、質疑、推理、比較、抽象概括的認知全過圖1溫度計模型I通建構單位“1”，一方面讓學生感受被平均分對象的，程，深度理解負數的意義。廣泛意義，深刻體會分數部分與整體的含義，另一方圖1溫度計模型3面滲透集合均分思想，能夠用“部分一整體”表示4的分數意義，實現了由實物走向模式的角色轉換，逐步建立符號、模式、言語的聯結。三、開發理解性數學實驗，讓“數”概念的理解系統化理解性數學實驗是一種文化理解、外顯知識的生成過程，為抽象架起直觀理解的橋梁，使學生能從抽象的角度看待知識，理解數學問題產生的機理，根據數學問題的規律推測問題產生的變化，使得靜態知識動態化、學術知識生長化。如“認識負數”是在學生認［識了自然數、整數，初步認識分數和小數的基礎上學習的。如何借助實驗幫助學生理解負數的本質意義？:筆者借助理解性實驗展開教學。叵-4-3-200123但］叵-4-3-200123但］5■'■'■■I 、圖2由溫度計到數軸數學實驗的開發，需要教師準確定位實驗目標,I刻度，再到細分畫刻度（如圖1），在推理、概述中用現;行意義建構。I實原型概括出了負數模型。在探究體驗和直觀模型；圖的幫助下,掌握